В математике антикоммутативность — это специфическое свойство некоторых некоммутативных математических операций . Перестановка позиций двух аргументов антисимметричной операции даёт результат, который является обратным результату с непереставленными аргументами. Понятие обратного относится к групповой структуре на области значений операции , возможно, с другой операцией. Вычитание является антикоммутативной операцией, поскольку коммутация операндов a − b даёт b − a = −( a − b ); например, 2 − 10 = −(10 − 2) = −8. Другим ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .
В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, или даже просто в полилинейной алгебре эти операции в основном (полилинейные по отношению к некоторым векторным структурам и далее) называются антисимметричными операциями , и когда их арность не больше двух, они расширяются в ассоциативном контексте для охвата более двух аргументов .
Если есть две абелевы группы , то билинейное отображение антикоммутативно , если для всех имеем
В более общем смысле, полилинейное отображение является антикоммутативным, если для всех мы имеем
где - знак перестановки .
Если абелева группа не имеет 2- кручения , то это означает, что если то , то любое антикоммутативное билинейное отображение удовлетворяет
В более общем случае, путем транспонирования двух элементов любое антикоммутативное полилинейное отображение удовлетворяет условию
если любые из равны; такое отображение называется чередующимся . Наоборот, используя мультилинейность, любое чередующееся отображение является антикоммутативным. В бинарном случае это работает следующим образом: если является чередующимся, то по билинейности имеем
и доказательство в многолинейном случае такое же, но только для двух входных данных.
Примеры антикоммутативных бинарных операций включают в себя:
