Антипризма

Многогранник с параллельными основаниями, соединенными треугольниками

Восьмиугольная антипризма

В геометрии n -угольная антипризма или n -антипризма — это многогранник, состоящий из двух параллельных прямых копий (не зеркальных отображений) n -стороннего многоугольника , соединенных чередующейся полосой из 2 n треугольников . Они представлены обозначением Конвея A n .

Антипризмы являются подклассом призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип плосконосого многогранника .

Антипризмы похожи на призмы , за исключением того, что основания повернуты относительно друг друга, а боковые грани (соединяющие основания) представляют собой 2n треугольников , а не n четырехугольников .

Двойственный многогранник n -угольной антипризмы является n -угольным трапецоэдром .

История

В своей книге 1619 года «Harmonices Mundi » Иоганн Кеплер наблюдал существование бесконечного семейства антипризм. ^[1] Это традиционно считается первым открытием этих форм, но они могли быть известны и раньше: неподписанный печатный блок для развёртки шестиугольной антипризмы приписывается Иерониму Андреа , который умер в 1556 году. ^[2]

Немецкая форма слова «антипризма» использовалась для этих форм в 19 веке; Карл Хайнце приписывает ее введение Теодору Виттштейну  [de] . ^[3] Хотя английское «антипризма» использовалось ранее для обозначения оптической призмы, используемой для нейтрализации эффектов первичного оптимального элемента, ^[4] первое использование «антипризмы» в английском языке в геометрическом смысле, по-видимому, относится к началу 20 века в работах Г. С. М. Коксетера . ^[5]

Особые случаи

Правая антипризма

Для антипризмы с правильными n- угольными основаниями обычно рассматривают случай, когда эти две копии повернуты на угол ⁠180/н⁠ градусов.

Осью правильного многоугольника называется прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника и лежащая в его центре.

Для антипризмы с равными правильными n -угольными основаниями, повернутой на угол ⁠180/н⁠ градусов, большая регулярность получается, если основания имеют одну и ту же ось: соосны ; т. е. (для некомпланарных оснований ): если линия, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям оснований. Тогда антипризма называется прямой антипризмой , а ее 2 n боковых граней являются равнобедренными треугольниками .

Равномерная антипризма

Однородная n -антипризма имеет два конгруэнтных правильных n -угольника в качестве оснований и 2 n равносторонних треугольников в качестве боковых граней.

Однородные антипризмы образуют бесконечный класс вершинно-транзитивных многогранников, как и однородные призмы. Для n = 2 мы имеем двуугольную антипризму (вырожденную антипризму), которая визуально идентична правильному тетраэдру ; для n = 3 — правильный октаэдр как треугольная антипризма (невырожденная антипризма).

Диаграммы Шлегеля этих полуправильных антипризм следующие:

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин прямой n -антипризмы (т.е. с правильными n -угольниками в основании и 2 n равнобедренными треугольными боковыми гранями, радиус описанной окружности оснований равен 1) равны:

${\displaystyle \left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)}$

где 0 ≤ k ≤ 2 n – 1 ;

если n -антипризма однородна (т.е. если треугольники равносторонние), то: $${\displaystyle 2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.}$$

Объем и площадь поверхности

Пусть a — длина ребра однородной n- угольной антипризмы; тогда объем равен: $${\displaystyle V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},}$$

а площадь поверхности равна: $${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.}$$

Кроме того, объем правильной прямой n-угольной антипризмы с длиной стороны ее основания l и высотой h определяется по формуле: $${\displaystyle V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).}$$

Вывод

Радиус описанной горизонтальной окружности правильного -угольника в основании равен ${\displaystyle n}$

${\displaystyle R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Вершины основания находятся в

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;}$

вершины наверху находятся в

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.}$

С помощью линейной интерполяции точки на внешних треугольных ребрах антипризмы, соединяющие вершины внизу с вершинами вверху, находятся в

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1}$

и в

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(h-z)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.}$

Построив суммы квадратов координат и в одном из предыдущих двух векторов, квадрат радиуса описанной окружности этого сечения на высоте равен ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}].}$

Горизонтальное сечение на высоте над основанием представляет собой -угольник (усеченный -угольник) со сторонами длины , чередующимися со сторонами длины . (Они выводятся из длины разности предыдущих двух векторов.) Его можно разбить на равнобедренные треугольники с ребрами и (полупериметр ) плюс равнобедренные треугольники с ребрами и (полупериметр ). Согласно формуле Герона площади этих треугольников равны ${\displaystyle 0\leq z\leq h}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{1}(z)=l(1-z/h)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{2}(z)=lz/h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(z),R(z)}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle R(z)+l_{1}(z)/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(z),R(z)}$ ${\displaystyle l_{2}(z)}$ ${\displaystyle R(z)+l_{2}(z)/2}$

${\displaystyle Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(h-z)\left[(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}}$

и

${\displaystyle Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi }{n}}+h-z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}.}$

Площадь сечения равна , а объем равен ${\displaystyle n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]}$

${\displaystyle V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Обратите внимание, что объем прямой n -угольной призмы с теми же l и h равен: что меньше объема антипризмы. $${\displaystyle V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$$

Симметрия

Группа симметрии прямой n -антипризмы (т.е. с правильными основаниями и равнобедренными боковыми гранями) равна D _{n d} = D _{n v} порядка 4 n , за исключением случаев:

• n = 2 : правильный тетраэдр , имеющий большую группу симметрии T _d порядка 24 = 3 × (4 × 2) , которая имеет три версии D _2d в качестве подгрупп;

• n = 3 : правильный октаэдр , имеющий большую группу симметрии O _h порядка 48 = 4 × (4 × 3) , которая имеет четыре версии D _3d в качестве подгрупп.

Группа симметрии содержит инверсию тогда и только тогда, когда n нечетно.

Группа вращения имеет порядок D _n 2 n , за исключением случаев:

• n = 2 : правильный тетраэдр, имеющий большую группу вращения T порядка 12 = 3 × (2 × 2) , которая имеет три версии D ₂ в качестве подгрупп;

• n = 3 : правильный октаэдр, имеющий большую группу вращения O порядка 24 = 4 × (2 × 3) , которая имеет четыре версии D ₃ в качестве подгрупп.

Примечание: Прямые n -антипризмы имеют равные правильные n -угольники в основаниях и равные равнобедренные треугольные боковые грани, поэтому имеют ту же (двугранную) группу симметрии, что и однородная n -антипризма, для n ≥ 4 .

Обобщения

В более высоких измерениях

Четырехмерные антипризмы можно определить как имеющие два дуальных многогранника в качестве параллельных противоположных граней, так что каждая трехмерная грань между ними происходит из двух дуальных частей многогранников: вершины и дуального многоугольника, или двух дуальных ребер. Каждый трехмерный выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен одной из двух противоположных граней четырехмерной антипризмы, построенной из ее канонического многогранника и ее полярного дуала. ^[6] Однако существуют четырехмерные полихоры, которые не могут быть объединены со своими дуалами для формирования пятимерных антипризм. ^[7]

Самопересекающиеся многогранники

Здесь показаны все незвездчатые и звездчатые антипризмы до 15 сторон, а также антипризмы 29-угольника.

Однородные звездчатые антипризмы называются по их звездчатым многоугольным основаниям, { p / q }, и существуют в прямых и обратных (скрещенных) решениях. Скрещенные формы имеют пересекающиеся вершинные фигуры и обозначаются «перевернутыми» дробями: p /( p – q ) вместо p / q ; например: 5/3 вместо 5/2.

Прямая звездчатая антипризма имеет две конгруэнтные соосные правильные выпуклые или звездчатые многоугольники в основании и 2 n равнобедренных треугольных боковых граней.

Любую звездчатую антипризму с правильными выпуклыми или звездчатыми многоугольными основаниями можно сделать прямой звездчатой ​​антипризмой (перемещая и/или поворачивая одно из ее оснований, если необходимо).

В ретроградных формах, но не в проградных, треугольники, соединяющие выпуклые или звездчатые основания, пересекают ось вращательной симметрии. Таким образом:

• Ретроградные звездчатые антипризмы с основаниями в виде правильных выпуклых многоугольников не могут иметь все равные длины ребер, и поэтому не могут быть однородными. «Исключение»: ретроградная звездчатая антипризма с основаниями в виде равносторонних треугольников (конфигурация вершин: 3,3/2,3,3) может быть однородной; но тогда она имеет вид равностороннего треугольника: это вырожденный звездчатый многогранник.

• Аналогично, некоторые ретроградные звездные антипризмы с правильными звездными многоугольными основаниями не могут иметь все равные длины ребер, и поэтому не могут быть однородными. Пример: ретроградная звездная антипризма с правильными звездными 7/5-угольными основаниями (конфигурация вершин: 3.3.3.7/5) не может быть однородной.

Также можно построить звездные антипризменные соединения с правильными звездными p / q -угольниками, если p и q имеют общие множители. Пример: звездная 10/4-антипризма является соединением двух звездных 5/2-антипризм.

Смотрите также

• Большая антипризма , четырёхмерный многогранник
• Косой многоугольник — трёхмерный многоугольник, выпуклая оболочка которого является антипризмой.

Ссылки

1. Кеплер, Иоганн (1619). «Книга II, Определение X». Harmonices Mundi (на латыни). стр. 49.См. также иллюстрацию А семиугольной антипризмы.
2. Шрайбер, Питер; Фишер, Гизела ; Стернат, Мария Луиза (июль 2008 г.). «Новый свет на повторное открытие архимедовых тел в эпоху Возрождения». Архив истории точных наук . 62 (4): 457–467. JSTOR  41134285.
3. Хайнце, Карл (1886). Лаке, Франц (ред.). Genetische Stereometrie (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер. п. 14.
4. Смит, Пиацци (1881). "XVII. О строении линий, формирующих низкотемпературный спектр кислорода". Труды Королевского общества Эдинбурга . 30 (1): 419–425. doi :10.1017/s0080456800029112.
5. Coxeter, HSM (январь 1928). «Чистые архимедовы многогранники в шести и семи измерениях». Математические труды Кембриджского философского общества . 24 (1): 1–9. doi :10.1017/s0305004100011786.
6. Грюнбаум, Бранко (2005). «Действительно ли скучны призмы и антипризмы? (Часть 3)» (PDF) . Геомбинаторика . 15 (2): 69–78. MR  2298896.
7. Доббинс, Майкл Джин (2017). «Безантипризменность, или: сведение комбинаторной эквивалентности к проективной эквивалентности в задачах реализуемости для многогранников». Дискретная и вычислительная геометрия . 57 (4): 966–984. doi :10.1007/s00454-017-9874-y. MR  3639611.

Дальнейшее чтение

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Антипризмами на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Антипризм». MathWorld .
• Невыпуклые призмы и антипризмы
• Бумажные модели призм и антипризм