В общей теории относительности аргумент дырки представляет собой очевидный парадокс, который сильно беспокоил Альберта Эйнштейна при разработке его знаменитых уравнений поля .
Некоторые философы физики используют этот аргумент , чтобы поднять проблему многообразного субстанционализма , доктрины, согласно которой множество событий в пространстве-времени является «субстанцией», которая существует независимо от определенного на нем метрического поля или материи внутри него. Другие философы и физики не согласны с этой интерпретацией и вместо этого рассматривают этот аргумент как путаницу в отношении калибровочной инвариантности и фиксации калибровки . [ нужна цитата ]
В обычном уравнении поля знание источника поля и граничных условий определяет поле повсюду. Например, если нам даны плотность тока и заряда и соответствующие граничные условия, уравнения Максвелла определяют электрические и магнитные поля. Однако они не определяют векторный потенциал, поскольку векторный потенциал зависит от произвольного выбора калибровки.
Эйнштейн заметил, что если уравнения гравитации вообще ковариантны , то метрика не может быть определена однозначно по ее источникам как функция координат пространства-времени. В качестве примера: рассмотрим источник гравитации, такой как Солнце. Тогда существует некоторое гравитационное поле, описываемое метрикой g(r). Теперь выполните преобразование координат r r', где r' такое же, как r для точек, находящихся внутри Солнца, но r' отличается от r вне Солнца. Координатное описание внутренней части Солнца преобразование не затрагивает, но функциональный вид метрики g' для новых значений координат вне Солнца изменяется. Из-за общей ковариантности уравнений поля эта преобразованная метрика g' также является решением в непреобразованной системе координат.
Это означает, что один источник, Солнце, может быть источником множества, казалось бы, разных показателей. Решение сразу же: любые два поля, которые различаются только таким «дырочным» преобразованием, физически эквивалентны, точно так же, как два разных векторных потенциала, которые отличаются калибровочным преобразованием, физически эквивалентны. Тогда все эти математически различные решения физически не различимы — они представляют собой одно и то же физическое решение уравнений поля.
Существует множество вариаций этого кажущегося парадокса. В одной версии рассмотрим поверхность начальных значений с некоторыми данными и найдем метрику как функцию времени. Затем выполните преобразование координат, которое перемещает точки в будущем по поверхности начального значения, но не влияет на исходную поверхность или любые точки на бесконечности. Вывод может заключаться в том, что общековариантные уравнения поля не определяют будущее однозначно, поскольку эта новая метрика, преобразованная в координаты, является в равной степени действительным решением тех же уравнений поля в исходной системе координат. Таким образом, проблема начального значения не имеет однозначного решения в общей теории относительности. Это справедливо и для электродинамики, поскольку вы можете выполнить калибровочное преобразование, которое повлияет только на векторный потенциал завтра. Решением в обоих случаях является использование дополнительных условий для фиксации датчика.
Вывод Эйнштейном уравнений гравитационного поля был отложен из-за аргумента дыры, который он создал в 1913 году. [1] Однако проблема не была такой, как указано в разделе выше. К 1912 году, когда Эйнштейн начал то, что он называл «борьбой со смыслом координат», [2] он уже знал, что нужно искать тензорные уравнения, поскольку на них не влияет изменение координат. Он уже нашел форму гравитационного поля (а именно, как тетраду или поле системы отсчета или метрику ) и уравнения движения материи в данном гравитационном поле (которые следуют из максимизации собственного времени, заданного ). [3] Очевидно, что это инвариантно относительно преобразований координат.
То, что его беспокоило, было следствием его принципа общей ковариантности и вытекало из следующего. [4] Общая ковариация утверждает, что законы физики должны принимать одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета (ускоряющихся или нет) и, следовательно, во всех системах координат, и поэтому дифференциальные уравнения, которые являются уравнениями гравитационного поля, должны принимать одну и ту же математическую форму. форму во всех системах координат. Другими словами, при наличии двух систем координат, скажем, координат и координат, в обеих приходится решать одно и то же дифференциальное уравнение, за исключением того, что в одной независимая переменная равна , а в другой независимая переменная равна . Это означает, что как только в системе координат найдена метрическая функция, которая решает уравнения поля, можно просто записать ту же самую функцию, но заменить все буквы на , что решает уравнения поля в системе координат. Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, но принадлежат разным системам координат, они накладывают разную геометрию пространства-времени. Обратите внимание, что это второе решение не связано с первым преобразованием координат, но, тем не менее, оно является решением. Вот проблема, которая так беспокоила Эйнштейна: если эти системы координат различаются только после того, как существует два решения; у них одинаковые начальные условия, но они налагают разную геометрию после . На основе этого наблюдения Эйнштейн провел три года в поисках необщековариантных уравнений поля в безумной гонке с Гильбертом . [5]
Точнее, Эйнштейн представил ситуацию, когда распределение материи известно повсюду за пределами некоторой замкнутой области пространства-времени, лишенной материи, — дыры. Тогда уравнения поля вместе с граничными условиями якобы позволяют определить метрическое поле внутри отверстия. Предположим, что координаты и различаются внутри дыры, но совпадают за ее пределами. Далее аргументация продолжается, как в предыдущем абзаце.
Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, они принимают одинаковые значения; они просто предполагают их в разных местах. Следовательно, одно решение получается из другого путем активного перетаскивания метрической функции по пространственно-временному многообразию в новую конфигурацию. Это известно как диффеоморфизм , который физики иногда называют активным диффеоморфизмом, чтобы отличить его от координатных преобразований (пассивных диффеоморфизмов). Эйнштейну не удалось найти необщековариантные уравнения поля, но он вернулся к аргументу дырки и разрешил его. По сути, это включало признание того, что эти два решения физически эквивалентны, утверждая, что то, как метрика локализована в пространственно-временном многообразии, физически не имеет значения и что отдельные точки пространства-времени, определенные в терминах пространственно-временных координат, сами по себе не имеют физического смысла (это источник проблемы многообразного субстанциализма). Чтобы придать смысл понятию «местоположение», Эйнштейн обобщил ситуацию, описанную в предыдущих абзацах, введя две частицы; тогда физические точки (внутри дыры) можно определить через совпадающие с ними мировые линии. Это работает, потому что материя перетаскивается вместе с метрикой при активных диффеоморфизмах. Без введения этих частиц было бы невозможно определить точки физического пространства-времени (внутри дыры); см. цитаты Эйнштейна, приведенные ниже в разделе «Резолюция Эйнштейна».
Для философски настроенных все же есть некоторая тонкость. Если компоненты метрики считать динамическими переменными Общей теории относительности , то условие координатной инвариантности уравнений само по себе не имеет никакого содержания. Все физические теории инвариантны относительно преобразований координат, если они сформулированы правильно. Уравнения Максвелла можно записать в любой системе координат и точно так же предсказать будущее.
Но чтобы сформулировать электромагнетизм в произвольной системе координат, необходимо ввести описание геометрии пространства-времени, не привязанное к специальной системе координат. Это описание представляет собой метрический тензор в каждой точке или соединение, которое определяет, какие близлежащие векторы параллельны. Введенный математический объект — метрика Минковского — меняет форму от одной системы координат к другой, но не является частью динамики, не подчиняется уравнениям движения. Что бы ни случилось с электромагнитным полем, оно всегда одно и то же. Он действует, не подвергаясь воздействию.
В общей теории относительности каждая отдельная локальная величина, которая используется для описания геометрии, сама по себе является локальным динамическим полем со своим собственным уравнением движения. Это накладывает серьезные ограничения, поскольку уравнение движения должно быть разумным. Оно должно определять будущее из начальных условий, оно не должно иметь убегающих неустойчивостей при малых возмущениях, оно должно определять положительно определенную энергию при малых отклонениях. Если принять точку зрения, что координатная инвариантность тривиально верна, то принцип координатной инвариантности просто утверждает, что сама метрика является динамической и ее уравнение движения не включает фиксированную фоновую геометрию.
В 1915 году Эйнштейн понял, что аргумент дыры делает предположение о природе пространства-времени: он предполагает, что есть смысл говорить о значении гравитационного поля (с точностью до простых преобразований координат) в точке пространства-времени, определяемой координатой пространства-времени — точнее, предполагается, что есть смысл говорить о физических свойствах гравитационного поля, например, является ли оно плоским или искривленным (это свойство гравитационного поля, не зависящее от координат), в точке пространства-времени. Отказавшись от этого предположения, общая ковариация стала совместимой с детерминизмом. Хотя два гравитационных поля, различающиеся активным диффеоморфизмом, выглядят по-разному геометрически, после пересчета траекторий всех частиц их взаимодействия явно определяют «физические» положения, относительно которых гравитационное поле принимает одно и то же значение при всех активных диффеоморфизмах. [6] (Обратите внимание, что если бы две метрики были связаны друг с другом простым преобразованием координат, мировые линии частиц не были бы транспонированы; это потому, что обе эти метрики налагают одну и ту же геометрию пространства-времени и потому, что мировые линии геометрически определяются как траектории максимального собственного времени — только при активном диффеоморфизме меняется геометрия и изменяются траектории.) Это было первое четкое утверждение принципа калибровочной инвариантности в физическом законе.
Эйнштейн считал, что аргумент дыры подразумевает, что единственное значимое определение местоположения и времени связано с материей. Точка в пространстве-времени сама по себе бессмысленна, потому что ярлык, который ей присваивают, не определен. Точки пространства-времени приобретают свое физическое значение только потому, что через них движется материя. По его словам:
Он считал это глубочайшим открытием общей теории относительности. Согласно этому пониманию, физическое содержание любой теории исчерпывается каталогом пространственно-временных совпадений, которые она лицензирует. Джон Стэчел назвал этот принцип аргументом совпадения точек . [1]
Обычно то, что является инвариантным относительно активных диффеоморфизмов и, следовательно, калибровочным инвариантом, - это совпадения между значением гравитационного поля и значением, которое поле материи имеет в одном и том же «месте», потому что гравитационное поле и поле материи перетаскиваются вместе друг с другом. при активном диффеоморфизме. Из этих совпадений можно составить представление о расположении материи относительно гравитационного поля. Как выразился Карло Ровелли : «Нет больше полей в пространстве-времени: только поля на полях». [4] Таков истинный смысл [ необходимо разъяснение ] поговорки: «Сцена исчезает и становится одним из действующих лиц»; Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представляется лишь одним из полей, образующих мир.
Эйнштейн назвал свое решение «превосходящим мои самые смелые ожидания».
Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) — это подход к квантовой гравитации, который пытается объединить фундаментальные принципы классической ОТО с минимальными существенными особенностями квантовой механики и не требует каких-либо новых гипотез. Физики петлевой квантовой гравитации считают независимость от фона центральным принципом в своем подходе к квантованию гравитации – классической симметрии, которая должна быть сохранена квантовой теорией, если мы хотим по-настоящему квантовать геометрию (=гравитацию). Одним из непосредственных последствий является то, что LQG является UV-конечной, поскольку малые и большие расстояния калибровочно эквивалентны, поскольку можно заменить одну метрическую функцию на другую, связанную с первой активным диффеоморфизмом. Можно привести более точную аргументацию. [8] Прямое доказательство конечности канонической ЛКГ в присутствии всех форм материи было предоставлено Тиманном. [9] Однако было предложено [ кто? ] что петлевая квантовая гравитация нарушает независимость от фона, вводя предпочтительную систему отсчета (« спиновая пена »). [ нужна цитата ]
Пертурбативная теория струн (в дополнение к ряду непертурбативных формулировок) не является «очевидно» независимой от фона, поскольку она зависит от граничных условий на бесконечности, аналогично тому, как пертурбативная общая теория относительности не «очевидно» зависит от фона. Однако некоторые разделы теории струн допускают формулировки, в которых проявляется независимость от фона, включая, в первую очередь, AdS /CFT . Считается, что теория струн в целом не зависит от фона, даже если во многих полезных формулировках это не проявляется. [10] Противоположную точку зрения см. у Смолина. [11]
