stringtranslate.com

Операция (математика)

Элементарные арифметические операции:
  • +, плюс (сложение)
  • −, минус (вычитание)
  • ÷, обелус (деление)
  • ×, раз (умножение)

В математике операция это функция множества в себя . Например, операция над действительными числами будет принимать действительные числа и возвращать действительное число. Операция может принимать ноль или более входных значений (также называемых « операндами » или «аргументами») в четко определенное выходное значение. Количество операндов — это арность операции.

Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (т. е. операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. е. операции арности 1), такие как аддитивная обратная и мультипликативная обратная . Операция арности ноль, или нульарная операция , является константой . [1] [2] Смешанное произведение является примером операции арности 3, также называемой тернарной операцией .

Обычно арность считается конечной. Однако иногда рассматриваются бесконечные операции , [1] в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитными операциями .

Частичная операция определяется аналогично операции, но с частичной функцией вместо функции.

Виды операций

Бинарная операция принимает два аргумента и и возвращает результат .

Существует два распространенных типа операций: унарные и бинарные . Унарные операции включают только одно значение, например, отрицание и тригонометрические функции . [3] Бинарные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . [4]

Операции могут включать математические объекты, отличные от чисел. Логические значения true и false можно комбинировать с помощью логических операций , таких как and , or, and not . Векторы можно складывать и вычитать. [5] Вращения можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя сначала вращение, а затем второе. Операции над множествами включают бинарные операции union и crossing и унарную операцию addition . [6] [7] [8] Операции над функциями включают композицию и convolution . [9] [10]

Операции не могут быть определены для каждого возможного значения ее области определения . Например, в действительных числах нельзя делить на ноль [11] или извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют множество, называемое ее областью определения или активной областью определения . Множество, содержащее полученные значения, называется областью значений , но множество фактических значений, достигаемых операцией, является ее областью значений, активной областью значений, образом или диапазоном . [12] Например, в действительных числах операция возведения в квадрат производит только неотрицательные числа; область значений — это множество действительных чисел, но диапазон — это неотрицательные числа.

Операции могут включать в себя разнородные объекты: вектор можно умножить на скаляр , чтобы получить другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ) [13] , а операция скалярного произведения двух векторов дает величину, которая является скалярной. [14] [15] Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. д.

Объединенные значения называются операндами , аргументами или входами , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного множества входов [1] ).

Оператор похож на операцию в том, что он ссылается на символ или процесс, используемый для обозначения операции, поэтому их точки зрения различаются. Например, часто говорят об «операции сложения» или «операции сложения», когда фокусируются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда фокусируются на процессе, или с более символической точки зрения, на функцию + : X × XX (где X — это множество, такое как множество действительных чисел).

Определение

n -арная операция ω на множестве X это функция ω : X nX . Множество X n называется областью определения операции, выходное множество называется областью определения операции, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция — арность два. Операция с арностью ноль, называемая нуль-арной операцией, является просто элементом области определения Y . n -арная операция также может рассматриваться как ( n + 1) -арное отношение , которое является полным на своих n входных областях и уникальным на своей выходной области.

Частичная операция n-арного порядка ω из X n в X является частичной функцией ω : X n X. Частичную операцию n -арного порядка можно также рассматривать как ( n + 1) -арное отношение, уникальное в своей выходной области.

Выше описано то, что обычно называют финитной операцией , ссылаясь на конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, где арность берется как бесконечный ординал или кардинал , [1] или даже как произвольный набор, индексирующий операнды.

Часто использование термина операция подразумевает, что область функции включает степень кодомена (т.е. декартово произведение одной или нескольких копий кодомена), [16] хотя это ни в коем случае не является универсальным, как в случае скалярного произведения , где векторы умножаются и в результате получается скаляр. n -арная операция ω : X nX называетсявнутренняя операция .n-арная операция ω : X i × S × X ni − 1 X , где0 ≤ i < n, называетсявнешней операциейскалярнымнаборомилинабором операторов S.В частности, для бинарной операции ω : S × X X называетсялево-внешней операциейSω : X × S → X называется право-внешней операцией S. Примером внутренней операции является сложение векторов , когдадвавектораскладываютсяив результате получается вектор. Примером внешней операции являетсяскалярное умножение, когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.

N- арный многофункциональный илиМультиоперация ω— это отображение декартовой степени множества в множество подмножеств этого множества, формально.[17]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcd "Алгебраическая операция - Энциклопедия математики". www.encyclopediaofmath.org . Получено 10.12.2019 .
  2. ^ DeMeo, William (26 августа 2010 г.). "Universal Algebra Notes" (PDF) . math.hawaii.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-05-19 . Получено 2019-12-09 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Унарная операция". MathWorld .
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция». MathWorld .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Вектор». MathWorld .«Векторы можно складывать (сложение векторов), вычитать (вычитание векторов)…»
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Complementation". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Convolution". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  12. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Coomain". MathWorld .
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Скалярное умножение". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  14. ^ Джейн, П.К.; Ахмад, Халил; Ахуджа, Ом П. (1995). Функциональный анализ. New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Внутренний продукт". mathworld.wolfram.com . Получено 27.07.2020 .
  16. ^ Burris, SN; Sankappanavar, HP (1981). «Глава II, Определение 1.1». Курс универсальной алгебры. Springer.
  17. ^ Бруннер, Дж.; Дрешер, Т.; Пёшель, Р.; Зайдель, Х. (январь 1993 г.). «Степеньевые алгебры: клоны и отношения» (PDF) . EIK (Электронная информация и кибернетика) . 29 : 293–302 . Проверено 25 октября 2022 г.