Ультралимит

В математике ультрапредел — это геометрическая конструкция, которая назначает предельное метрическое пространство последовательности метрических пространств . Концепция охватывает предельное поведение конечных конфигураций в пространствах, используя ультрафильтр для обхода необходимости повторного рассмотрения подпоследовательностей для обеспечения сходимости. Ультрапределы обобщают сходимость Громова–Хаусдорфа в метрических пространствах. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Ультрафильтры

Ультрафильтр , обозначаемый как ω , на множестве натуральных чисел — это множество непустых подмножеств (функцию включения которого можно рассматривать как меру), которое замкнуто относительно конечного пересечения, замкнуто вверх, а также которое для любого подмножества X из содержит либо X , либо \ X . Ультрафильтр на является неглавным, если он не содержит конечного множества. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Предел последовательности точек относительно ультрафильтра

В дальнейшем ω — неглавный ультрафильтр на . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Если — последовательность точек в метрическом пространстве ( X , d ) и x ∈ X , то точка x называется ω - пределом x _n и обозначается как , если для каждого выполняется следующее: ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

Замечено, что,

• Если ω -предел последовательности точек существует, то он единствен.
• Если в стандартном смысле, . (Чтобы это свойство сохранялось, крайне важно, чтобы ультрафильтр был неглавным.) ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

Фундаментальный факт ^[1] утверждает, что если ( X , d ) компактно и ω является неглавным ультрафильтром на , то ω -предел любой последовательности точек в X существует (и обязательно единственный). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

В частности, любая ограниченная последовательность действительных чисел имеет хорошо определенный ω -предел в , поскольку замкнутые интервалы компактны . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ультрапредел метрических пространств с указанными базовыми точками

Пусть ω — неглавный ультрафильтр на . Пусть ( X _n , d _n ) — последовательность метрических пространств с указанными базовыми точками p _n ∈ X _n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Предположим, что последовательность , где x _n ∈ X _n , допустима. Если последовательность действительных чисел ( d _n ( x _n , p _n )) _n ограничена, то есть существует положительное действительное число C такое, что , то обозначим множество всех допустимых последовательностей через . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Из неравенства треугольника следует, что для любых двух допустимых последовательностей и последовательность ( d _n ( x _n , y _n )) _n ограничена и, следовательно, существует ω -предел . Можно определить отношение на множестве всех допустимых последовательностей следующим образом. Для , существует всякий раз, когда Это помогает показать, что является отношением эквивалентности на ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Ультрапредел по отношению к ω последовательности ( X _n , d _n , p _n ) представляет собой метрическое пространство, определяемое следующим образом. ^[2] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

Написано как набор, . ${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

Для двух классов эквивалентности допустимых последовательностей и существует ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Это показывает, что определено хорошо и является метрикой на множестве . ${\displaystyle d_{\infty }}$ ${\displaystyle X_{\infty }}$

Обозначим . ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

О базовых точках в случае равномерно ограниченных пространств

Предположим, что ( X _n , d _n ) — последовательность метрических пространств равномерно ограниченного диаметра, то есть существует действительное число C > 0 такое, что diam( X _n ) ≤ C для любого . Тогда для любого выбора p _n базовых точек в X _n любая последовательность допустима. Следовательно, в этой ситуации выбор базовых точек не обязательно должен быть указан при определении ультрапредела, и ультрапредел зависит только от ( X _n , d _n ) и от ω , но не зависит от выбора последовательности базовых точек . В этом случае пишут . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$ ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

Основные свойства ультрапределов

1. Если ( X _n , d _n ) — геодезические метрические пространства , то — также геодезическое метрическое пространство. ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. Если ( X _n , d _n ) — полные метрические пространства , то также является полным метрическим пространством. ^{[3] [4]} ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

На самом деле, по построению, предельное пространство всегда полно, даже когда ( X _n , d _n ) является повторяющейся последовательностью пространства ( X , d ), которое не является полным. ^[5]

1. Если ( X _n , d _n ) — компактные метрические пространства, которые сходятся к компактному метрическому пространству ( X , d ) в смысле Громова–Хаусдорфа (это автоматически означает, что пространства ( X _n , d _n ) имеют равномерно ограниченный диаметр), то ультрапредел изометричен ( X , d ). ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Предположим, что ( X _n , d _n ) — собственные метрические пространства и что — базовые точки, такие, что отмеченная последовательность ( X _n , d _n , p _n ) сходится к собственному метрическому пространству ( X , d ) в смысле Громова–Хаусдорфа . Тогда ультрапредел изометричен ( X , d ). ^[1] ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. Пусть κ ≤0 и пусть ( X _n , d _n ) — последовательность CAT( κ )-метрических пространств . Тогда ультрапредел также является CAT( κ )-пространством. ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. Пусть ( X _n , d _n ) — последовательность CAT( κ _n )-метрических пространств , где Тогда ультрапределом является действительное дерево . ^[1] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Асимптотические конусы

Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство, пусть ω — неглавный ультрафильтр на и пусть p _n  ∈  X — последовательность базовых точек. Тогда ω —ультрапредел последовательности называется асимптотическим конусом X относительно ω и и обозначается . Часто последовательность базовых точек считается постоянной, p _n = p для некоторого p ∈ X ; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается или просто . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают квазиизометрические инварианты метрических пространств в целом и конечно порожденных групп в частности. ^[6] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений. ^[7]

Примеры

1. Пусть ( X , d ) — компактное метрическое пространство и положим ( X _n , d _n )=( X , d ) для каждого . Тогда ультрапредел изометричен ( X , d ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Пусть ( X , dX ₎ и ( Y , dY ) — два различных компактных метрических пространства, и пусть ( _Xn , dn ) — _{последовательность метрических} пространств, такая что для каждого n либо ( _Xn , dn )=( X, dX), либо (Xn, dn ) _{= (} Y , _dY ) _. Пусть и . Таким образом , A1 _, A2 не _{пересекаются} и Следовательно , один из _A1 , A2 имеет ω - меру 1 , а другой — ω -меру 0. Следовательно, изометричен ( X , dX ), если ω ₍ A1 )=1, и изометричен ₍ Y _, dY ) , _если ω ₍ A2 ) = 1 . Это показывает, что ультрапредел _может зависеть от выбора ультрафильтра ω . ${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$ ${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. Пусть ( M , g ) — компактное связное риманово многообразие размерности m , где g — риманова метрика на M. Пусть d — метрика на M , соответствующая g , так что ( M , d ) — геодезическое метрическое пространство . Выберем базовую точку p ∈ M. Тогда ультрапредел (и даже обычный предел Громова-Хаусдорфа ) изометричен касательному пространству T _p M к M в точке p с функцией расстояния на T _p M, заданной скалярным произведением g(p) . Следовательно, ультрапредел изометричен евклидову пространству со стандартной евклидовой метрикой . ^[8] ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. Пусть — стандартное m -мерное евклидово пространство со стандартной евклидовой метрикой. Тогда асимптотический конус изометричен . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. Пусть будет двумерной целочисленной решеткой , где расстояние между двумя точками решетки задается длиной кратчайшего реберного пути между ними в сетке. Тогда асимптотический конус изометричен , где есть метрика такси (или L ¹ -метрика) на . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. Пусть ( X , d ) — δ- гиперболическое геодезическое метрическое пространство для некоторого δ ≥0. Тогда асимптотический конус — это действительное дерево . ^{[1] [9]} ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
7. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство конечного диаметра. Тогда асимптотический конус — это единственная точка. ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
8. Пусть ( X , d ) — CAT(0)-метрическое пространство . Тогда асимптотический конус также является CAT(0)-пространством. ^[1] ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Сноски

1. М. Капович Б. Либ. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрий фундаментальных групп 3-многообразий , Геометрический и функциональный анализ , т. 5 (1995), № 3, стр. 582–603
2. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2 ; Определение 7.19, стр. 107.
3. Л. Ван ден Драйс, А. Дж. Уилки, О теореме Громова относительно групп полиномиального роста и элементарной логики . Журнал алгебры , т. 89 (1984), стр. 349–374.
4. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Предложение 7.20, стр. 108. 
5. Бридсон, Хефлигер "Метрические пространства неположительной кривизны" Лемма 5.53
6. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
7. Корнелия Друцу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира), Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , том 44 (2005), № 5, стр. 959–1058.
8. Ю. Бураго, М. Громов, Г. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами , Успехи математических наук, т. 47 (1992), с. 3–51; перевод в: Обзоры по математике, т. 47, № 2 (1992), с. 1–58
9. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Пример 7.30, стр. 118. 

Ссылки

• Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Гл. 7. 
• Л. Ван ден Драйс, А. Дж. Уилки, О теореме Громова относительно групп полиномиального роста и элементарной логики . Журнал алгебры , т. 89 (1984), стр. 349–374.
• М. Капович, Б. Либ. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрий фундаментальных групп 3-многообразий , Геометрический и функциональный анализ , т. 5 (1995), № 3, стр. 582–603
• М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы. Биркхойзер, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Гл. 9. 
• Корнелия Друцу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира), Древовидно-градуированные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , том 44 (2005), № 5, стр. 959–1058.
• М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Гл. 3. 
• Б. Кляйнер и Б. Либ, Жесткость квазиизометрий для симметричных пространств и евклидовых зданий. Publications Mathématiques de L'IHÉS . Том 86, номер 1, декабрь 1997 г., стр. 115–197.

Смотрите также

• Геометрическая теория групп