Астроид

Кривая, полученная путем прокатки круга внутри другого круга с радиусом, увеличенным в 4 или (4/3) раза.

Астроид

Гипоциклоидное строение астроиды.

Астроида x ^{2 ⁄ 3} + y ^{2 ⁄ 3} знак равно r ^{2 ⁄ 3} как общая оболочка семейства эллипсов уравнения ( x ⁄ a ) ² + ( y ⁄ b ) ² = r ² , где a + b = 1 .

Огибающая лестницы (цветные линии в правом верхнем квадранте), скользящей по вертикальной стене, и ее отражения (другие квадранты) — это астроида. Средние точки очерчивают круг, а другие точки очерчивают эллипсы, подобные предыдущему рисунку. В файле SVG наведите указатель мыши на лестницу, чтобы выделить ее.

Астроид как эволюция эллипса

В математике астроида — это особый тип кривой рулетки : гипоциклоида с четырьмя точками возврата . В частности, это геометрическое положение точки на окружности, когда она катится внутри фиксированного круга с радиусом , в четыре раза превышающим . ^[1] При двойном порождении это также геометрическое место точки на окружности, когда она катится внутри фиксированного круга с радиусом, в 4/3 раза превышающим его радиус. Его также можно определить как огибающую отрезка линии фиксированной длины, который перемещается, сохраняя при этом конечную точку на каждой из осей. Следовательно, это оболочка движущегося стержня в «пути Архимеда» .

Его современное название происходит от греческого слова « звезда ». Первоначально она была предложена в форме «Astrois» Йозефом Иоганном фон Литтроу в 1838 году . ^{[2] [3]} Кривая имела множество названий, в том числе тетракуспидальный (используется до сих пор), кубоциклоидный и парациклический . По форме он почти идентичен развороту эллипса.

Уравнения

Если радиус неподвижного круга равен а , то уравнение имеет вид ^[4]

$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

суперэллипсом

Параметрические уравнения

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$

Уравнение педали относительно начала координат:

$${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$

уравнение Уэвелла _

$${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$

уравнение Чезаро

$${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$$

Полярное уравнение имеет вид ^[5]

$${\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}$$

Астроида — вещественное геометрическое место плоской алгебраической кривой нулевого рода . Оно имеет уравнение ^[6]

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$

Следовательно, астроида представляет собой действительную алгебраическую кривую шестой степени.

Вывод полиномиального уравнения

Полиномиальное уравнение может быть получено из уравнения Лейбница с помощью элементарной алгебры:

$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Кубик с обеих сторон:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}$$

Снова нарежьте кубиками обе стороны:

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}$$

Но с тех пор:

$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$$

Следует, что

$${\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}$$

Поэтому:

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}$$

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}$$

Метрические свойства

Огороженная территория ^[7]

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Длина кривой

${\displaystyle 6a}$

Объем поверхности вращения охватываемой области вокруг оси x .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

Площадь поверхности вращения вокруг оси x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Характеристики

Астроид имеет четыре точки возврата в реальной плоскости, точки на звезде. У него есть еще две сложные особенности возврата на бесконечности и четыре комплексные двойные точки, всего десять особенностей.

Двойная кривая астроиды - это крестообразная кривая с уравнением. Эволюта астроиды - это астроида в два раза больше. ${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

У астроида есть только одна касательная линия в каждом ориентированном направлении, что делает его примером ежа . ^[8]

Смотрите также

• Кардиоида – эпициклоида с одним острием.
• Нефроид – эпициклоид с двумя бугорками.
• Дельтоида – гипоциклоида с тремя бугорками.
• Астроид Стоунера – Вольфарта - использование этой кривой в магнетизме.
• Спирограф

Рекомендации

1. Йейтс
2. Джей Джей против Литтроу (1838). «§99. Die Astrois». Kurze Anleitung zur Gesammten Mathematik . Вена. п. 299.
3. Лория, Джино (1902). Специальные алгебраические и трансцендентные упражнения. Теория и история. Лейпциг. стр. 224.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
4. Йейтс, для раздела
5. Вайсштейн, Эрик В. «Астроид». Математический мир .
6. Вывод этого уравнения приведен на стр. 3 из http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
7. Йейтс, для раздела
8. Нисимура, Такаши; Сакеми, Ю (2011). «Вид изнутри». Математический журнал Хоккайдо . 40 (3): 361–373. дои : 10.14492/hokmj/1319595861 . МР  2883496.

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 4–5, 34–35, 173–174. ISBN 0-486-60288-5.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
• Р. К. Йейтс (1952). «Астроид». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 1 и след.

Внешние ссылки

• «Астроид», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Астроид» в архиве истории математики MacTutor
• «Астроид» в Энциклопедии замечательных математических форм
• Статья на 2dcurves.com
• Визуальный словарь специальных плоских кривых, Кса Ли
• Бары астроида, Шандор Кабай, Демонстрационный проект Вольфрама .