Аффинное преобразование

Геометрическое преобразование, сохраняющее линии, но не углы и начало координат.

Изображение фрактала, похожего на папоротник ( папоротник Барнсли ), демонстрирующего аффинное самоподобие . Каждый из листьев папоротника связан с каждым другим листом аффинным преобразованием. Например, красный лист может быть преобразован как в темно-синий лист, так и в любой из светло-синих листьев путем комбинации отражения, вращения, масштабирования и переноса.

В евклидовой геометрии аффинное преобразование или сродство (от латинского affinis — «связанный с») — это геометрическое преобразование , которое сохраняет прямые и параллельность , но не обязательно евклидовы расстояния и углы .

В более общем смысле, аффинное преобразование — это автоморфизм аффинного пространства (евклидовы пространства — это особые аффинные пространства), то есть функция , которая отображает аффинное пространство на себя, сохраняя как размерность любых аффинных подпространств (то есть, она переводит точки в точки, прямые в прямые, плоскости в плоскости и т. д.), так и отношения длин параллельных отрезков прямых. Следовательно, множества параллельных аффинных подпространств остаются параллельными после аффинного преобразования. Аффинное преобразование не обязательно сохраняет углы между прямыми или расстояния между точками, хотя оно сохраняет отношения расстояний между точками, лежащими на прямой.

Если X — множество точек аффинного пространства, то каждое аффинное преобразование на X может быть представлено как композиция линейного преобразования на X и переноса X. В отличие от чисто линейного преобразования, аффинное преобразование не обязательно сохраняет начало координат аффинного пространства. Таким образом, каждое линейное преобразование является аффинным, но не каждое аффинное преобразование является линейным.

Примерами аффинных преобразований являются перенос, масштабирование , гомотетия , подобие , отражение , вращение , гиперболическое вращение , сдвиговое отображение и их композиции в любой комбинации и последовательности.

Рассматривая аффинное пространство как дополнение гиперплоскости на бесконечности проективного пространства , аффинные преобразования являются проективными преобразованиями этого проективного пространства, которые оставляют гиперплоскость на бесконечности инвариантной , ограниченной дополнением этой гиперплоскости.

Обобщением аффинного преобразования является аффинное отображение ^[1] (или аффинный гомоморфизм или аффинное отображение ) между двумя (потенциально различными) аффинными пространствами над одним и тем же полем k. Пусть (X, V, k ) и ( Z , W , k ) — два аффинных пространства с X и Z — множествами точек , а V и W — соответствующими связанными векторными пространствами над полем k . Отображение f : X → Z является аффинным отображением, если существует линейное отображение m _f  : V → W такое, что m _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) для всех x, y в X . ^[2]

Определение

Пусть X — аффинное пространство над полем k , а V — его связанное векторное пространство. Аффинное преобразование — это биекция f из X на себя, которая является аффинным отображением ; это означает, что линейное отображение g из V в V хорошо определено уравнением здесь, как обычно, вычитание двух точек обозначает свободный вектор из второй точки в первую, а « хорошо определено » означает, что подразумевается, что ${\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);}$ ${\displaystyle y-x=y'-x'}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

Если размерность X не менее двух, то полуаффинное преобразование f множества X является биекцией из X на себя, удовлетворяющей условию: ^[3]

1. Для любого d -мерного аффинного подпространства S пространства X f ( S ) также является d -мерным аффинным подпространством пространства X.
2. Если S и T — параллельные аффинные подпространства X , то f ( S ) и f ( T ) параллельны.

Эти два условия удовлетворяются аффинными преобразованиями и выражают то, что именно подразумевается под выражением « f сохраняет параллельность».

Эти условия не являются независимыми, поскольку второе следует из первого. ^[4] Более того, если поле k имеет по крайней мере три элемента, первое условие можно упростить до: f является коллинеацией , то есть оно отображает линии в линии. ^[5]

Структура

По определению аффинного пространства V действует на X , так что для каждой пары в X × V связана точка y в X . Мы можем обозначить это действие как . Здесь мы используем соглашение, что есть два взаимозаменяемых обозначения для элемента V . Зафиксировав точку c в X , можно определить функцию m _c  : X → V как m _c ( x ) = cx → . Для любого c эта функция является взаимно однозначной, и поэтому имеет обратную функцию m _c ⁻¹  : V → X , заданную как . Эти функции можно использовать для превращения X в векторное пространство (относительно точки c ), определив: ^[6] ${\displaystyle (x,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\textbf {v}}}$ ${\displaystyle m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)}$

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}$и
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}$

Это векторное пространство имеет начало c и формально должно быть отделено от аффинного пространства X , но общепринятой практикой является обозначение его тем же символом и указание того, что это векторное пространство, после указания начала. Эта идентификация позволяет рассматривать точки как векторы и наоборот.

Для любого линейного преобразования λ из V мы можем определить функцию L ( c , λ ) : X → X следующим образом:

${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$

Тогда L ( c , λ ) является аффинным преобразованием X , которое оставляет точку c неподвижной. ^[7] Это линейное преобразование X , рассматриваемое как векторное пространство с началом координат c .

Пусть σ — любое аффинное преобразование X. Выберем точку c в X и рассмотрим перенос X вектором , обозначенным T _w . Переносы являются аффинными преобразованиями, а композиция аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Для этого выбора c существует единственное линейное преобразование λ множества V такое, что ^[8] ${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$

${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$

То есть произвольное аффинное преобразование X представляет собой композицию линейного преобразования X (рассматриваемого как векторное пространство ) и переноса X.

Это представление аффинных преобразований часто принимается за определение аффинного преобразования (при этом выбор начала координат подразумевается). ^{[9] [10] [11]}

Представление

Как показано выше, аффинное отображение представляет собой композицию двух функций: переноса и линейного отображения. Обычная векторная алгебра использует матричное умножение для представления линейных отображений и векторное сложение для представления переносов. Формально, в конечномерном случае, если линейное отображение представлено как умножение на обратимую матрицу , а перенос — как сложение вектора , аффинное отображение, действующее на вектор, можно представить как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

Расширенная матрица

Аффинные преобразования на 2D-плоскости могут быть выполнены линейными преобразованиями в трех измерениях. Трансляция выполняется сдвигом вдоль оси z, а вращение выполняется вокруг оси z.

Используя расширенную матрицу и расширенный вектор, можно представить как перенос, так и линейное отображение с помощью одного умножения матриц . Метод требует, чтобы все векторы были дополнены «1» в конце, а все матрицы были дополнены дополнительной строкой нулей внизу, дополнительным столбцом — вектором переноса — справа и «1» в нижнем правом углу. Если — матрица, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$

эквивалентно следующему

${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

Вышеупомянутая расширенная матрица называется матрицей аффинного преобразования . В общем случае, когда последний вектор строки не ограничен , матрица становится матрицей проективного преобразования (поскольку ее также можно использовать для выполнения проективных преобразований ). ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]}$

Это представление показывает множество всех обратимых аффинных преобразований как полупрямое произведение и . Это группа относительно операции композиции функций, называемая аффинной группой . ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

Обычное умножение матрицы на вектор всегда отображает начало координат в начало координат и, следовательно, никогда не может представлять собой перенос, в котором начало координат обязательно должно быть отображено в некоторую другую точку. Добавляя дополнительную координату «1» к каждому вектору, мы по существу рассматриваем отображаемое пространство как подмножество пространства с дополнительным измерением. В этом пространстве исходное пространство занимает подмножество, в котором дополнительная координата равна 1. Таким образом, начало координат исходного пространства может быть найдено в . Тогда возможен перенос в исходном пространстве посредством линейного преобразования пространства большей размерности (в частности, преобразования сдвига). Координаты в пространстве большей размерности являются примером однородных координат . Если исходное пространство является евклидовым , пространство большей размерности является действительным проективным пространством . ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$

Преимущество использования однородных координат заключается в том, что можно объединить любое количество аффинных преобразований в одно путем умножения соответствующих матриц. Это свойство широко используется в компьютерной графике , компьютерном зрении и робототехнике .

Пример расширенной матрицы

Предположим, у вас есть три точки, которые определяют невырожденный треугольник на плоскости, или четыре точки, которые определяют невырожденный тетраэдр в 3-мерном пространстве, или, в общем случае, n + 1 точек x ₁ , ..., x _{n +1 ,} которые определяют невырожденный симплекс в n -мерном пространстве. Предположим, у вас есть соответствующие точки назначения y ₁ , ..., y _{n +1} , где эти новые точки могут лежать в пространстве с любым числом измерений. (Более того, новые точки не должны отличаться друг от друга и не должны образовывать невырожденный симплекс.) Уникальная расширенная матрица M , которая достигает аффинного преобразования , это $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

Характеристики

Сохраненные свойства

Аффинное преобразование сохраняет:

1. коллинеарность между точками: три или более точек, лежащих на одной прямой (называемых коллинеарными точками), продолжают оставаться коллинеарными после преобразования.
2. параллельность : две или более параллельных линий продолжают оставаться параллельными после преобразования.
3. Выпуклость множеств: выпуклое множество продолжает быть выпуклым после преобразования. Более того, крайние точки исходного множества отображаются в крайние точки преобразованного множества. ^[12]
4. отношения длин параллельных отрезков: для различных параллельных отрезков, заданных точками и , и , отношение и такое же, как и . ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{4}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. барицентры взвешенных совокупностей точек.

Группы

Так как аффинное преобразование обратимо , то квадратная матрица, появляющаяся в его матричном представлении, обратима . Матричное представление обратного преобразования, таким образом, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}$

Обратимые аффинные преобразования (аффинного пространства на себя) образуют аффинную группу , которая имеет общую линейную группу степени в качестве подгруппы и сама является подгруппой общей линейной группы степени . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

Преобразования подобия образуют подгруппу, где — скаляр, умноженный на ортогональную матрицу . Например, если аффинное преобразование действует на плоскость и если определитель равен 1 или −1, то преобразование является эквиареальным отображением . Такие преобразования образуют подгруппу, называемую эквиаффинной группой . ^[13] Преобразование, которое является как эквиаффинным, так и подобием, является изометрией плоскости, взятой с евклидовым расстоянием . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Каждая из этих групп имеет подгруппу сохраняющих ориентацию или положительных аффинных преобразований: тех, где определитель положителен. В последнем случае это в 3D группа жестких преобразований ( собственные вращения и чистые переносы). ${\displaystyle A}$

Если есть фиксированная точка, мы можем взять ее за начало координат, и аффинное преобразование сведется к линейному преобразованию. Это может облегчить классификацию и понимание преобразования. Например, описание преобразования как поворота на определенный угол относительно определенной оси может дать более четкое представление об общем поведении преобразования, чем описание его как комбинации переноса и поворота. Однако это зависит от приложения и контекста.

Аффинные карты

Аффинное отображение между двумя аффинными пространствами — это отображение на точках, которое действует линейно на векторы (то есть векторы между точками пространства). В символах определяет линейное преобразование , такое что для любой пары точек : ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$

или

${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}$.

Мы можем интерпретировать это определение несколькими другими способами, как указано ниже.

Если выбрано начало координат и обозначено его изображение , то это означает, что для любого вектора : ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))}$.

Если также выбрано начало координат , то его можно разложить как аффинное преобразование , которое посылает , а именно ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle O\mapsto O'}$

${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))}$,

с последующим переносом на вектор . ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$

Вывод заключается в том, что интуитивно понятно, что он состоит из переноса и линейного отображения. ${\displaystyle f}$

Альтернативное определение

Для двух аффинных пространств и над одним и тем же полем функция является аффинным отображением тогда и только тогда, когда для каждого семейства взвешенных точек в таком, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1}$,

у нас есть ^[14]

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}$.

Другими словами, сохраняет барицентры . ${\displaystyle f}$

История

Слово «аффинное» как математический термин определено в связи с касательными к кривым в работе Эйлера 1748 года Introductio in analysin infinitorum . ^[15] Феликс Клейн приписывает термин «аффинное преобразование» Мёбиусу и Гауссу . ^[10]

Трансформация изображения

В своих приложениях к цифровой обработке изображений аффинные преобразования аналогичны печати на листе резины и растягиванию краев листа параллельно плоскости. Это преобразование перемещает пиксели, требуя интерполяции интенсивности для аппроксимации значения перемещенных пикселей, бикубическая интерполяция является стандартом для преобразований изображений в приложениях обработки изображений. Аффинные преобразования масштабируют, вращают, переводят, зеркально отображают и сдвигают изображения, как показано в следующих примерах: ^[16]

Аффинные преобразования применимы к процессу регистрации, где два или более изображений выравниваются (регистрируются). Примером регистрации изображений является генерация панорамных изображений, которые являются продуктом нескольких изображений, сшитых вместе.

Аффинное искривление

Аффинное преобразование сохраняет параллельные линии. Однако, преобразования растяжения и сдвига деформируют формы, как показано в следующем примере:

Это пример деформации изображения. Однако аффинные преобразования не облегчают проекцию на криволинейную поверхность или радиальные искажения .

В самолете

Центральное расширение. Треугольники A1B1Z, A1C1Z и B1C1Z отображаются в A2B2Z, A2C2Z и B2C2Z соответственно.

Аффинные преобразования в двух действительных измерениях включают в себя:

• чистые переводы,
• масштабирование в заданном направлении относительно линии в другом направлении (не обязательно перпендикулярном) в сочетании с переносом, который не полностью соответствует направлению масштабирования; если рассматривать «масштабирование» в обобщенном смысле, оно включает случаи, когда коэффициент масштабирования равен нулю ( проекция ) или отрицателен; последний включает отражение , а в сочетании с переносом оно включает скользящее отражение ,
• вращение в сочетании с гомотетией и трансляцией,
• отображение сдвига в сочетании с гомотетией и трансляцией, или
• сжатие карт в сочетании с гомотетией и трансляцией.

Чтобы визуализировать общее аффинное преобразование евклидовой плоскости , возьмем помеченные параллелограммы ABCD и A′B′C′D′ . Какой бы ни был выбор точек, существует аффинное преобразование T плоскости, переводящее A в A′ , и каждую вершину аналогично. Предположим, что мы исключаем вырожденный случай, когда ABCD имеет нулевую площадь , существует единственное такое аффинное преобразование T. Рисуя целую сетку параллелограммов, основанную на ABCD , изображение T ( P ) любой точки P определяется, замечая, что T ( A ) = A′ , T, примененное к отрезку AB, равно A′B′ , T, примененное к отрезку AC, равно A′C′ , и T уважает скалярные кратные векторов, основанных на A . [Если A , E , F коллинеарны, то отношение длины ( AF )/длины ( AE ) равно длине ( A ′ F ′)/длине ( A ′ E ′).] Геометрически T преобразует сетку, основанную на ABCD , в сетку, основанную на A′B′C′D′ .

Аффинные преобразования не учитывают длины и углы; они умножают площадь на постоянный коэффициент.

площадь A′B′C′D′ / площадь ABCD .

Заданное значение T может быть либо прямым (соблюдение ориентации), либо косвенным (обратная ориентация), и это может быть определено его влиянием на знаковые области (как определено, например, перекрестным произведением векторов).

Примеры

По сравнению с реальными цифрами

Функции с и в и , являются в точности аффинными преобразованиями действительной прямой . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\neq 0}$

В плоской геометрии

Простое аффинное преобразование на вещественной плоскости

Эффект применения различных матриц аффинного преобразования 2D на единичном квадрате. Обратите внимание, что матрицы отражения являются частными случаями матрицы масштабирования.

В преобразовании, показанном слева, используется карта, заданная следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$

Преобразование трех угловых точек исходного треугольника (красного цвета) дает три новые точки, которые формируют новый треугольник (синего цвета). Это преобразование наклоняет и перемещает исходный треугольник.

На самом деле, все треугольники связаны друг с другом аффинными преобразованиями. Это также верно для всех параллелограммов, но не для всех четырехугольников.

Смотрите также

• Анаморфоз – художественное применение аффинных преобразований
• Аффинная геометрия
• 3D проекция
• Омография
• Плоский (геометрия)
• Функция изгиба

Примечания

1. Бергер 1987, стр. 38.
2. Сэмюэл 1988, стр. 11.
3. Снаппер и Тройер 1989, стр. 65.
4. Снаппер и Тройер 1989, стр. 66.
5. Снаппер и Тройер 1989, стр. 69.
6. Снаппер и Тройер 1989, стр. 59.
7. Снаппер и Тройер 1989, стр. 76,87.
8. Снаппер и Тройер 1989, стр. 86.
9. Ван 1993, стр. 19–20.
10. Klein 1948, стр. 70.
11. Браннан, Эсплен и Грей 1999, с. 53.
12. Рейнхард Шульц. "Аффинные преобразования и выпуклость" (PDF) . Получено 27 февраля 2017 г.
13. Освальд Веблен (1918) Проективная геометрия , том 2, стр. 105–107.
14. Шнайдер, Филип К.; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики. Морган Кауфманн. стр. 98. ISBN 978-1-55860-594-7.
15. Эйлер, Леонард (1748). Introductio in analysin infinitorum (на латыни). Том. II.Книга II, разд. XVIII, ст. 442
16. Гонсалес, Рафаэль (2008).«Цифровая обработка изображений, 3-е место». Пирсон Холл. ISBN 9780131687288.

Ссылки

• Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Бреннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия (новое издание), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Клейн, Феликс (1948) [1939], Элементарная математика с продвинутой точки зрения: Геометрия , Дувр
• Сэмюэль, Пьер (1988), Проективная геометрия , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Шарп, Р. В. (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989) [1971], Метрическая аффинная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-66108-7
• Ван, Чжэ-сянь (1993), Геометрия классических групп над конечными полями , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с аффинным преобразованием на Wikimedia Commons
• «Аффинное преобразование», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Геометрические операции: аффинное преобразование, Р. Фишер, С. Перкинс, А. Уокер и Э. Вольфарт.
• Вайсштейн, Эрик В. «Аффинная трансформация». Математический мир .
• Аффинное преобразование Бернара Вюйемье, проект Wolfram Demonstrations .
• Аффинное преобразование с помощью MATLAB