Крайняя точка

Точка не между двумя другими точками

Выпуклое множество окрашено в голубой цвет, а его крайние точки - в красный.

В математике крайняя точка выпуклого множества в вещественном или комплексном векторном пространстве — это точка , которая не лежит ни в одном открытом отрезке , соединяющем две точки . В задачах линейного программирования крайнюю точку также называют вершиной или угловой точкой. ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

Определение

Всюду предполагается, что это действительное или комплексное векторное пространство . ${\displaystyle X}$

Для любого сказать, что ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ ${\displaystyle p}$ лежит между ^[2] иеслии существуеттакое, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

Если является подмножеством и тогда называется ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K,}$ ${\displaystyle p}$крайняя точка ^[2], еслиона не лежит между какими-либо двумяразличнымиточкамиТо есть, если несуществуетитакая, чтоиМножество всех крайних точекобозначается через ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

Обобщения

Если является подмножеством векторного пространства, то линейное подмногообразие (то есть аффинное подпространство ) векторного пространства называется ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$опорное многообразие, еслионо встречается(то естьне пусто), и каждый открытый сегмент, внутренняя часть которого пересекается,обязательно является подмножеством^[3]. 0-мерное опорное многообразие называется крайней точкой^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap S}$ ${\displaystyle I\subseteq S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle S.}$

Характеристики

The средняя точка ^[2]двух элементовив векторном пространстве — это вектор ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

Для любых элементов и в векторном пространстве множество называется ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$замкнутый сегмент линии илизамкнутый интервал междуиThe ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$сегмент открытой линии илиоткрытый интервал междуиестькогдапока этокогда^[2]Точкииназываются ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$конечные точки этого интервала. Говорят, что интервал – этоневырожденный интервал илиправильный интервал, если его концы различны. середина интервала является серединой его концов.

Замкнутый интервал равен выпуклой оболочке if (и только тогда) Итак, if выпукло и тогда ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

Если является непустым подмножеством и является непустым подмножеством, то называется ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$грань ^[2]: есливсякий раз, когда точкалежит между двумя точками,то эти две точки обязательно принадлежат ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p\in F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F.}$

Теорема ^[2]  —  Пусть — непустое выпуклое подмножество векторного пространства и пусть Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K.}$

1. ${\displaystyle p}$является крайней точкой ${\displaystyle K.}$
2. ${\displaystyle K\setminus \{p\}}$является выпуклым.
3. ${\displaystyle p}$не является серединой невырожденного отрезка, содержащегося в ${\displaystyle K.}$
4. для любого если тогда ${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle p\in [x,y]}$ ${\displaystyle x=p{\text{ or }}y=p.}$
5. если таково, что оба и принадлежат тогда ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p+x}$ ${\displaystyle p-x}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x=0.}$
6. ${\displaystyle \{p\}}$является лицом ${\displaystyle K.}$

Примеры

Если два действительных числа, то и являются крайними точками отрезка . Однако открытый интервал не имеет крайних точек. ^[2] Любой открытый интервал в не имеет крайних точек, в то время как любой невырожденный замкнутый интервал, не равный имеет крайние точки (то есть конечные точки замкнутого интервала). В более общем смысле любое открытое подмножество конечномерного евклидова пространства не имеет крайних точек. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Крайними точками замкнутого единичного круга является единичная окружность . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Периметр любого выпуклого многоугольника на плоскости является гранью этого многоугольника. ^[2] Вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости являются крайними точками этого многоугольника. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Инъективное линейное отображение переводит крайние точки выпуклого множества в крайние точки выпуклого множества ^[2] . Это также верно для инъективных аффинных отображений. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle F(X).}$

Характеристики

Крайние точки выпуклого компакта образуют пространство Бэра (с топологией подпространства), но в ^[2] это множество может оказаться не замкнутым. ${\displaystyle X.}$

Теоремы

Теорема Крейна – Милмана

Теорема Крейна -Мильмана , пожалуй, одна из самых известных теорем о крайних точках.

Теорема Крейна – Милмана  .  Есливыпукло и компактно в локально выпуклом топологическом векторном пространстве , тоэто замкнутая выпуклая оболочка его крайних точек: в частности, такое множество имеет крайние точки. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Для банаховых пространств

Эти теоремы относятся к банаховым пространствам со свойством Радона–Никодима .

Теорема Йорама Линденштрауса утверждает, что в банаховом пространстве со свойством Радона–Никодима непустое замкнутое и ограниченное множество имеет крайнюю точку. (В бесконечномерных пространствах свойство компактности сильнее, чем совместное свойство замкнутости и ограниченности. ^[4] ).

Теорема  (Джеральд Эдгар)  .  Пусть — банахово пространство со свойством Радона-Никодима, пусть — сепарабельное, замкнутое, ограниченное, выпуклое подмножество и точка в. Тогда существует вероятностная мера на универсально измеримых множествах в такая, что – барицентр и множество крайних точек имеет -меру 1. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p}$

Из теоремы Эдгара следует теорема Линденштрауса.

Связанные понятия

Замкнутое выпуклое подмножество топологического векторного пространства называется строго выпуклым, если каждая из его (топологических) граничных точек является крайней точкой. ^[6] Единичный шар любого гильбертова пространства является строго выпуклым множеством. ^[6]

k -крайние точки

В более общем смысле, точка в выпуклом множестве является -экстремальной, если она лежит внутри -мерного выпуклого множества, но не внутри -мерного выпуклого множества . Таким образом, крайняя точка также является -крайней точкой. Если - многогранник, то -крайние точки - это в точности внутренние точки -мерных граней. В более общем смысле, для любого выпуклого множества -крайние точки разбиваются на -мерные открытые грани. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Конечномерная теорема Крейна-Мильмана, принадлежащая Минковскому, может быть быстро доказана с использованием понятия -крайних точек. Если замкнуто, ограничено и -мерно, а если является точкой в, то для некоторых является -крайним. Теорема утверждает, что является выпуклой комбинацией крайних точек. Если то это немедленно. В противном случае лежит на отрезке, на котором можно максимально продолжить (поскольку замкнуто и ограничено). Если концы отрезка равны , то их крайний ранг должен быть меньше, чем у , и теорема следует по индукции. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\leq n.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p,}$

Смотрите также

• Теория Шоке  - Область функционального анализа и выпуклого анализа
• Ударно-взрывной контроль ^[7]

Цитаты

1. Зальцман, Мэтью. «В чем разница между угловыми точками и крайними точками в задачах линейного программирования?».
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 275–339.
3. Гротендик 1973, с. 186.
4. Артштейн, Цви (1980). «Дискретные и непрерывные челноки и лицевые пространства, или: Ищите крайние точки». Обзор СИАМ . 22 (2): 172–185. дои : 10.1137/1022026. JSTOR  2029960. МР  0564562.
5. Эдгар Г.А. Некомпактная теорема Шоке. Труды Американского математического общества. 1975;49(2):354-8.
6. Халмос 1982, с. 5.
7. Артштейн, Цви (1980). «Дискретные и непрерывные челноки и лицевые пространства, или: Ищите крайние точки». Обзор СИАМ . 22 (2): 172–185. дои : 10.1137/1022026. JSTOR  2029960. МР  0564562.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Пол Э. Блэк, изд. (17 декабря 2004 г.). «крайняя точка». Словарь алгоритмов и структур данных . Национальный институт стандартов и технологий США . Проверено 24 марта 2011 г.
• Боровский, Эфраим Дж.; Борвейн, Джонатан М. (1989). «крайняя точка». Словарь математики . Словарь Коллинза. ХарперКоллинз . ISBN 0-00-434347-6.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. ОСЛК  8169781.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.