Баланс массы

В физике баланс массы , также называемый материальным балансом , является приложением закона сохранения массы ^[1] к анализу физических систем . Учет поступления и выхода материала из системы позволяет определить потоки массы , которые могли быть неизвестны или трудноизмеримы без этой техники. Точный закон сохранения, используемый при анализе системы, зависит от контекста проблемы, но все они вращаются вокруг закона сохранения массы, т. е. того, что материя не может исчезнуть или возникнуть спонтанно. ^[2]^{: 59–62}

Поэтому массовые балансы широко используются в инженерном и экологическом анализе . Например, теория массового баланса используется для проектирования химических реакторов , для анализа альтернативных процессов производства химикатов, а также для моделирования рассеивания загрязнений и других процессов физических систем. Массовые балансы составляют основу проектирования технологических процессов. ^[3] Тесно связанные и взаимодополняющие методы анализа включают баланс популяции , энергетический баланс и несколько более сложный баланс энтропии . Эти методы необходимы для тщательного проектирования и анализа таких систем, как холодильный цикл .

В экологическом мониторинге термин « расчеты бюджета» используется для описания уравнений баланса массы, где они используются для оценки данных мониторинга (сравнение ввода и вывода и т. д.). В биологии динамическая теория энергетического бюджета для метаболической организации явно использует баланс массы и энергии.

Введение

Общая форма, приведенная для баланса масс, выглядит следующим образом: Масса, которая поступает в систему, должна, в силу закона сохранения массы, либо покинуть систему, либо накопиться в ней .

Математически баланс массы для системы без химической реакции выглядит следующим образом: ^[2]^{: 59–62}

${\text{Input}}={\text{Output}}+{\text{Accumulation}}$

Строго говоря, приведенное выше уравнение справедливо также для систем с химическими реакциями , если члены в уравнении баланса относятся к общей массе, т. е. сумме всех химических видов системы. При отсутствии химической реакции количество любых химических видов, поступающих и выходящих, будет одинаковым; это приводит к уравнению для каждого вида, присутствующего в системе. Однако, если это не так, то уравнение баланса массы должно быть изменено, чтобы учесть генерацию или истощение (потребление) каждого химического вида. Некоторые используют один член в этом уравнении для учета химических реакций, который будет отрицательным для истощения и положительным для генерации. Однако обычная форма этого уравнения записана для учета как положительного члена генерации (т. е. продукта реакции), так и отрицательного члена потребления (реагентов, используемых для получения продуктов). Хотя в целом один член будет учитывать общий баланс в системе, если это уравнение баланса должно применяться к отдельному виду, а затем ко всему процессу, необходимы оба члена. Это модифицированное уравнение можно использовать не только для реактивных систем, но и для балансов популяций, которые возникают в задачах механики частиц . Уравнение приведено ниже; обратите внимание, что оно упрощается по сравнению с предыдущим уравнением в случае, если член генерации равен нулю. ^[2]^{: 59–62}

${\text{Input}}+{\text{Generation}}={\text{Output}}+{\text{Accumulation}}\ +{\text{Consumption}}$

При отсутствии ядерной реакции число втекающих и вытекающих атомов должно оставаться одинаковым, даже при наличии химической реакции.
Для формирования баланса необходимо четко определить границы системы.
Балансы масс можно рассчитывать для физических систем в различных масштабах.
Балансы масс можно упростить, предположив стационарное состояние , в котором член накопления равен нулю.

Наглядный пример

Простой пример может проиллюстрировать концепцию. Рассмотрим ситуацию, в которой шлам течет в отстойник для удаления твердых частиц из резервуара. Твердые частицы собираются на дне с помощью конвейерной ленты, частично погруженной в резервуар, а вода выходит через сливное отверстие.

В этом примере есть два вещества: твердые частицы и вода. Выход перелива воды несет повышенную концентрацию воды относительно твердых частиц по сравнению с входом шлама, а выход конвейерной ленты несет повышенную концентрацию твердых частиц относительно воды.

Предположения

Устойчивое состояние
Нереактивная система

Анализ

Предположим, что состав пульпы на входе (по массе) состоит на 50% из твердого вещества и на 50% из воды, при этом массовый расход составляет100 кг / мин . Предполагается, что резервуар работает в устойчивом состоянии, и, как таковое, накопление равно нулю, поэтому вход и выход должны быть равны как для твердых веществ, так и для воды. Если мы знаем, что эффективность удаления для резервуара для шлама составляет 60%, то выход воды будет содержать20 кг / мин твердых веществ (40% времени100 кг / мин умножить на 50% твердых веществ). Если мы измерим расход комбинированных твердых веществ и воды, и выход воды будет показан как65 кг / мин , то количество воды, выходящей через ленту конвейера, должно быть5 кг / мин . Это позволяет нам полностью определить, как масса была распределена в системе, имея лишь ограниченную информацию и используя соотношения баланса массы через границы системы. Баланс массы для этой системы можно описать в табличной форме:

Массовая обратная связь (переработка)

Градирни являются хорошим примером системы рециркуляции.

Массовые балансы могут быть выполнены в системах, которые имеют циклические потоки. В этих системах выходные потоки возвращаются на вход блока, часто для дальнейшей переработки. ^[2]^{: 97–105}

Такие системы распространены в схемах измельчения , где зерно измельчается, а затем просеивается, чтобы вывести из схемы только мелкие частицы, а более крупные частицы возвращаются в вальцовую мельницу (измельчитель). Однако потоки рециркуляции никоим образом не ограничиваются операциями по механике твердых тел; они используются также в потоках жидкостей и газов. Одним из таких примеров являются градирни , где вода прокачивается через башню много раз, и при каждом проходе отбирается лишь небольшое количество воды (для предотвращения накопления твердых частиц), пока она не испарится или не выйдет с откачиваемой водой. Массовый баланс для воды составляет $M = D + W +$ E.

Использование рециркуляции способствует повышению общей конверсии исходных продуктов, что полезно для процессов с низкой конверсией за проход (например, процесса Хабера ).

Дифференциальные балансы масс

Баланс масс также может быть взят дифференциально . Концепция та же, что и для большого баланса масс, но он выполняется в контексте предельной системы (например, можно рассмотреть предельный случай по времени или, чаще, по объему). Дифференциальный баланс масс используется для генерации дифференциальных уравнений , которые могут предоставить эффективный инструмент для моделирования и понимания целевой системы.

Дифференциальный баланс масс обычно решается в два этапа: сначала необходимо получить набор основных дифференциальных уравнений, а затем эти уравнения необходимо решить либо аналитически, либо, в случае менее поддающихся решению задач, численно.

Следующие системы являются хорошими примерами применения дифференциального баланса масс:

Идеальный (перемешиваемый) реактор периодического действия
Идеальный реактор-корпус, также называемый реактором непрерывного перемешивания (CSTR)
Идеальный реактор идеального вытеснения (PFR)

Идеальный реактор периодического действия

Идеальный полностью смешанный реактор периодического действия представляет собой закрытую систему. Предполагается изотермические условия , а перемешивание предотвращает градиенты концентрации, поскольку концентрации реагентов уменьшаются, а концентрации продуктов увеличиваются с течением времени. ^[4]^{: 40–41} Многие учебники по химии неявно предполагают, что изучаемая система может быть описана как реактор периодического действия, когда они пишут о кинетике реакции и химическом равновесии . Баланс массы для вещества A становится

${\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\0&+&r_{\rm {A}}V&=&0&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}$

где

$r A$ обозначает скорость, с которой производится вещество A;
$V$ — объем (может быть постоянным или нет);
$n A —$ число молей ( $n$ ) вещества A.

В реакторе периодического действия некоторые реагенты/ингредиенты добавляются непрерывно или импульсами (сравните приготовление каши, при котором сначала смешиваются все ингредиенты, а затем кипятится, что можно описать как реактор периодического действия, или сначала смешиваются только вода и соль и доводятся до кипения, прежде чем добавляются другие ингредиенты, что можно описать как реактор периодического действия). Балансы масс для реакторов периодического действия становятся немного сложнее.

Реактивный пример

В первом примере мы покажем, как использовать баланс масс для получения соотношения между процентом избыточного воздуха для сгорания углеводородного мазута и процентом кислорода в газообразном продукте сгорания. Во-первых, нормальный сухой воздух содержит0,2095 моль кислорода на моль воздуха, то есть один моль O
₂в4,773 моль сухого воздуха. Для стехиометрического сгорания соотношение между массой воздуха и массой каждого горючего элемента в мазуте следующее:

${\begin{array}{rccc}{\text{Carbon:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of C}}}&=&{\frac {4.773\times 28.96}{12.01}}&=&11.51\\[2pt]{\text{Hydrogen:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of H}}}&=&{\frac {{\frac {1}{4}}(4.773)\times 28.96}{1.008}}&=&34.28\\[6pt]{\text{Sulfur:}}&{\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of S}}}&=&{\frac {4.773\times 28.96}{32.06}}&=&4.31\end{array}}$

Учитывая точность типичных аналитических процедур, уравнение для массы воздуха на массу топлива при стехиометрическом сгорании имеет вид:

${\frac {\text{mass of air}}{\text{mass of fuel}}}=\mathrm {AFR} _{\text{mass}}=11.5\,w_{\rm {C}}+34.3\,w_{\rm {H}}+(w_{\rm {S}}-w_{\rm {O}})$

где $w C, w H, w S, w O$ относятся к массовой доле каждого элемента в топливе, сера сгорает до SO ₂ , а $масса$ $AFR$ относится к соотношению воздуха и топлива в единицах массы.

Для1 кг мазута содержит 86,1% С, 13,6% Н, 0,2% О и 0,1% S, стехиометрическая масса воздуха составляет14,56 кг , поэтому AFR = 14,56. Масса продукта сгорания тогда равна15,56 кг . При точной стехиометрии O
₂должно отсутствовать. При 15% избытке воздуха АФР = 16,75, а масса продукта сгорания газа составляет17,75 кг , что содержит0,505 кг избыточного кислорода. Таким образом, газ сгорания содержит 2,84 процента O
₂по массе. Соотношение между процентом избытка воздуха и % O
₂в газообразном продукте сгорания точно выражаются квадратными уравнениями, справедливыми в диапазоне избытка воздуха от 0 до 30 процентов:

${\begin{aligned}&\%{\text{ excess air}}=1.2804\times (\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}})^{2}+4.49\times (\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}})\\[4pt]&\%{\ce {O2}}{\text{ in combustion gas}}=-0.00138\times (\%{\text{ excess air}})^{2}+0.210\times (\%{\text{ excess air}})\end{aligned}}$

Во втором примере мы воспользуемся законом действующих масс для вывода выражения для константы химического равновесия .

Предположим, что у нас есть закрытый реактор, в котором происходит следующая жидкофазная обратимая реакция:

$a\mathrm {A} +b\mathrm {B} \leftrightarrow c\mathrm {C} +d\mathrm {D}$

Баланс массы для вещества А становится

${\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\0&+&r_{\rm {A}}V&=&0&+&\displaystyle {\frac {dn_{\mathrm {A} }}{dt}}\end{array}}$

Поскольку у нас реакция в жидкой фазе, мы можем (обычно) предположить постоянный объем, и поскольку мы получаем $n_{\rm {A}}=V*C_{\rm {A}}$

$r_{\rm {A}}V=V{\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}$

или

$r_{\rm {A}}={\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}$

Во многих учебниках это дается как определение скорости реакции без указания неявного предположения, что речь идет о скорости реакции в закрытой системе с единственной реакцией. Это досадная ошибка, которая сбивала с толку многих студентов на протяжении многих лет.

Согласно закону действующих масс скорость прямой реакции можно записать как

$r_{1}=k_{1}[\mathrm {A} ]^{a}[\mathrm {B} ]^{b}$

и скорость обратной реакции как

$r_{-1}=k_{-1}[\mathrm {C} ]^{c}[\mathrm {D} ]^{d}$

Скорость, с которой производится вещество А, таким образом, равна

$r_{\mathrm {A} }=a(r_{-1}-r_{1})$

и поскольку при равновесии концентрация А постоянна, мы получаем

$r_{\mathrm {A} }=a(r_{-1}-r_{1})={\frac {dC_{\mathrm {A} }}{dt}}=0$

или, переставленный

${\frac {k_{1}}{k_{-1}}}={\frac {[\mathrm {C} ]^{c}[\mathrm {D} ]^{d}}{[\mathrm {A} ]^{a}[\mathrm {B} ]^{b}}}=K_{eq}$

Идеальный реактор-емкость/реактор с непрерывным перемешиванием

Непрерывно перемешиваемый резервуарный реактор представляет собой открытую систему с входящим потоком реагентов и выходящим потоком продуктов. ^[4]^{: 41} Озеро можно рассматривать как резервуарный реактор, а озера с большим временем оборота (например, с низким отношением потока к объему) для многих целей можно рассматривать как непрерывно перемешиваемые (например, однородные во всех отношениях). Тогда баланс масс становится

${\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}&+&r_{\rm {A}}\cdot V&=&Q\cdot C_{\rm {A}}&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}$

где

$Q 0$ — объемный расход в системе;
$Q$ — объемный расход из системы;
$C A,0$ – концентрация А в притоке ;
$C A$ — концентрация A в оттоке .

В открытой системе мы никогда не сможем достичь химического равновесия. Однако мы можем достичь устойчивого состояния , в котором все переменные состояния (температура, концентрации и т. д.) остаются постоянными ( $ACC = 0$ ).

Пример

Рассмотрим ванну, в которой растворена соль для купания. Теперь мы наливаем больше воды, оставляя нижнюю пробку закрытой. Что происходит?

Поскольку реакции нет, то $PROD = 0$ , а поскольку нет оттока, то $Q = 0.$ Баланс массы становится

${\begin{array}{ccccccc}{\text{IN}}&+&{\text{PROD}}&=&{\text{OUT}}&+&{\text{ACC}}\\Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}&+&0&=&0\cdot C_{\rm {A}}&+&\displaystyle {\frac {dn_{\rm {A}}}{dt}}\end{array}}$

или

$Q_{0}\cdot C_{\rm {A,0}}={\frac {dC_{\rm {A}}V}{dt}}=V{\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}+C_{\rm {A}}{\frac {dV}{dt}}$

Однако, используя баланс масс для общего объема, очевидно, что и что Таким образом, мы получаем ${\tfrac {dV}{dt}}=Q_{0}$ $V=V_{t=0}+Q_{0}t.$

${\frac {dC_{\rm {A}}}{dt}}={\frac {Q_{0}}{(V_{t=0}+Q_{0}t)}}\left(C_{\rm {A,0}}-C_{\rm {A}}\right)$

Обратите внимание, что нет реакции и, следовательно, нет скорости реакции или закона скорости , и все же . Таким образом, мы можем сделать вывод, что скорость реакции не может быть определена в общем виде с помощью . Сначала необходимо записать баланс масс, прежде чем можно будет найти связь между и скоростью реакции. Однако многие учебники определяют скорость реакции как ${\tfrac {dC_{\rm {A}}}{dt}}\neq 0$ ${\tfrac {dC}{dt}}$ ${\tfrac {dC}{dt}}$

$r={\frac {dC_{\mathrm {A} }}{dt}}$

не упоминая, что это определение неявно предполагает, что система замкнута, имеет постоянный объем и что существует только одна реакция.

Идеальный реактор идеального вытеснения (PFR)

Идеализированный реактор с поршневым потоком представляет собой открытую систему, напоминающую трубу без смешивания в направлении потока, но с идеальным смешиванием перпендикулярно направлению потока, часто используемую для таких систем, как реки и водопроводы, если поток турбулентный. Когда для трубы делается баланс массы, сначала рассматривается бесконечно малая часть трубы и делается баланс массы по ней с использованием модели идеального резервуарного реактора. ^[4]^{: 46–47} Затем этот баланс массы интегрируется по всему объему реактора, чтобы получить:

${\frac {d(Q\cdot C_{\rm {A}})}{dV}}=r_{\rm {A}}$

В числовых решениях, например, при использовании компьютеров, идеальная трубка часто преобразуется в ряд реакторов-емкостей, поскольку можно показать, что PFR эквивалентна бесконечному числу последовательно соединенных резервуаров с мешалкой, но последний часто проще анализировать, особенно в стационарном состоянии.

Более сложные проблемы

В реальности реакторы часто неидеальны, в которых для описания системы используются комбинации моделей реакторов, приведенных выше. Не только скорости химических реакций, но и скорости массопереноса могут быть важны в математическом описании системы, особенно в гетерогенных системах. ^[5]

Поскольку скорость химической реакции зависит от температуры, часто необходимо составить как энергетический баланс (часто тепловой баланс, а не полноценный энергетический баланс), так и баланс масс для полного описания системы. Для энергетического баланса может потребоваться другая модель реактора: Система, которая закрыта по отношению к массе, может быть открыта по отношению к энергии, например, поскольку тепло может поступать в систему через проводимость .

Коммерческое использование

На промышленных технологических заводах, используя тот факт, что масса, входящая и выходящая из любой части технологического завода, должна быть сбалансирована, алгоритмы проверки и согласования данных могут быть использованы для корректировки измеренных потоков, при условии, что существует достаточная избыточность измерений потока, чтобы обеспечить статистическое согласование и исключение обнаруживаемых ошибочных измерений. Поскольку все реальные измеренные значения содержат неотъемлемую ошибку, согласованные измерения обеспечивают лучшую основу, чем измеренные значения, для финансовой отчетности, оптимизации и нормативной отчетности. Существуют программные пакеты, которые делают это коммерчески осуществимым на ежедневной основе.

Смотрите также

Ссылки

^ Нандагопал, Н. С. (2023). Принципы и применение химической инженерии . Springer.
^ abcd Himmelblau, Дэвид М. (1967). Основные принципы и расчеты в химической инженерии (2-е изд.). Prentice Hall .
^ Синнотт, РК (2005). Химическая инженерия Коулсона и Ричардсона (4-е изд.). Амстердам Париж: Elsevier Butterworth-Heinemann. стр. 34. ISBN 978-0-7506-6538-4.
^ abc Вебер, Уолтер Дж. младший (1972). Физико-химические процессы для контроля качества воды . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-92435-0.
^ Перри, Роберт Х.; Чилтон, Сесил Х.; Киркпатрик, Сидней Д. (1963). Справочник инженеров-химиков (четвертое изд.). McGraw-Hill . С. 4–21.

Внешние ссылки

Расчеты материального баланса
Основы материального баланса
Материальный баланс для химических реакторов
Материальный и энергетический баланс
Метод теплового и материального баланса управления технологическим процессом на нефтехимических и нефтеперерабатывающих заводах, патент США 6751527
Моррис, Артур Э.; Гейгер, Гордон; Файн, Х. Алан (2011). Справочник по расчетам материального и энергетического баланса в обработке материалов (3-е изд.). Wiley . ISBN 978-1-118-06565-5.