Динамический бильярд — это динамическая система , в которой частица чередует свободное движение (обычно по прямой) и зеркальные отражения от границы. Когда частица сталкивается с границей, она отражается от нее без потери скорости (т. е. упругие столкновения). Бильярды — это гамильтоновы идеализации игры в бильярд , но где область, ограниченная границей, может иметь форму, отличную от прямоугольной, и даже быть многомерной. Динамические бильярды также могут изучаться на неевклидовых геометриях ; действительно, первые исследования бильярдов установили их эргодическое движение на поверхностях постоянной отрицательной кривизны . Изучение бильярдов, которые находятся вне области, а не находятся в области, известно как теория внешнего бильярда .
Движение частицы в бильярде представляет собой прямую линию с постоянной энергией между отражениями от границы ( геодезической, если риманова метрика бильярдного стола не плоская). Все отражения являются зеркальными : угол падения непосредственно перед столкновением равен углу отражения непосредственно после столкновения. Последовательность отражений описывается бильярдной картой , которая полностью характеризует движение частицы.
Бильярды охватывают всю сложность гамильтоновых систем, от интегрируемости до хаотического движения , без трудностей интегрирования уравнений движения для определения его отображения Пуанкаре . Биркгоф показал, что бильярдная система с эллиптическим столом интегрируема.
Гамильтониан для частицы массой m, свободно движущейся без трения по поверхности, имеет вид:
где — потенциал, равный нулю внутри области , в которой может двигаться частица, и бесконечности в противном случае:
Эта форма потенциала гарантирует зеркальное отражение на границе. Кинетический член гарантирует, что частица движется по прямой линии, без изменения энергии. Если частица должна двигаться по неевклидову многообразию , то гамильтониан заменяется на:
где — метрический тензор в точке . Ввиду очень простой структуры этого гамильтониана уравнения движения частицы, уравнения Гамильтона–Якоби , представляют собой не что иное, как геодезические уравнения на многообразии: частица движется вдоль геодезических .
Биллиарды Адамара касаются движения свободной точечной частицы на поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшей компактной римановой поверхности с отрицательной кривизной, поверхности рода 2 (бублик с двумя дырками). Модель точно решаема и задается геодезическим потоком на поверхности. Это самый ранний пример детерминированного хаоса , когда-либо изученный, введенный Жаком Адамаром в 1898 году.
Биллиард Артина рассматривает свободное движение точечной частицы на поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, на простейшей некомпактной римановой поверхности , поверхности с одним острием. Она примечательна тем, что точно решаема, и при этом не только эргодична , но и сильно перемешивает . Это пример системы Аносова . Эта система была впервые изучена Эмилем Артином в 1924 году.
Пусть M — полное гладкое риманово многообразие без края, максимальная секционная кривизна которого не больше K и с радиусом инъективности . Рассмотрим набор из n геодезически выпуклых подмножеств (стенок) , , таких, что их границы являются гладкими подмногообразиями коразмерности один. Пусть , где обозначает внутренность множества . Множество будем называть бильярдным столом. Рассмотрим теперь частицу, которая движется внутри множества B с единичной скоростью по геодезической, пока не достигнет одного из множеств B i (такое событие называется столкновением), где она отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (если она достигает одного из множеств , , то траектория не определена после этого момента). Такая динамическая система называется полурассеивающим бильярдом . Если стенки строго выпуклые, то бильярд называется рассеивающим . Название мотивировано наблюдением, что локально параллельный пучок траекторий расходится после столкновения со строго выпуклой частью стены, но остается локально параллельным после столкновения с плоским участком стены.
Рассеивающая граница играет для бильярдов ту же роль, что и отрицательная кривизна для геодезических потоков, вызывая экспоненциальную неустойчивость динамики. Именно этот рассеивающий механизм придает рассеивающим бильярдам их сильнейшие хаотические свойства, как это установил Яков Г. Синай . [ 1] А именно, бильярды являются эргодическими , перемешивающими , бернуллиевскими , имеющими положительную энтропию Колмогорова-Синая и экспоненциальный распад корреляций .
Хаотические свойства обычных полурассеивающих бильярдов изучены недостаточно хорошо, однако свойства одного важного типа полурассеивающих бильярдов, твердого шарового газа , изучались довольно подробно с 1975 года (см. следующий раздел).
Общие результаты Дмитрия Бураго и Сержа Ферлегера [2] по равномерной оценке числа столкновений в невырожденных полурассеивающих бильярдах позволяют установить конечность их топологической энтропии и не более чем экспоненциальный рост периодических траекторий. [3] Напротив, вырожденные полурассеивающие бильярды могут иметь бесконечную топологическую энтропию. [4]
Стол газа Лоренца (также известный как бильярд Синая) представляет собой квадрат с удаленным из его центра диском; стол плоский, не имеющий кривизны. Бильярд возникает из изучения поведения двух взаимодействующих дисков, отскакивающих внутри квадрата, отражающихся от границ квадрата и друг от друга. Исключая центр масс как переменную конфигурации, динамика двух взаимодействующих дисков сводится к динамике в бильярде Синая.
Биллиард был представлен Яковом Григорьевичем Синаем как пример взаимодействующей гамильтоновой системы , которая проявляет физические термодинамические свойства: почти все (до нулевой меры) ее возможные траектории являются эргодическими и она имеет положительный показатель Ляпунова .
Величайшим достижением Синая в этой модели было то, что он показал, что классический ансамбль Больцмана–Гиббса для идеального газа по сути представляет собой максимально хаотичный бильярд Адамара.
Частица подвергается воздействию постоянной силы (например, гравитации Земли) и рассеивается неупруго на периодически гофрированном вибрирующем полу. Когда пол сделан из дуг или окружностей - в определенном интервале частот - можно дать полуаналитические оценки скорости экспоненциального разделения траекторий. [5]
Стол, называемый стадионом Бунимовича, представляет собой прямоугольник, увенчанный полукругами, фигура, называемая стадионом . До того, как он был представлен Леонидом Бунимовичем , считалось, что бильярды с положительными показателями Ляпунова нуждаются в выпуклых рассеивателях, таких как диск в бильярде Синая, чтобы производить экспоненциальное расхождение орбит. Бунимович показал, что, рассматривая орбиты за пределами фокусной точки вогнутой области, можно получить экспоненциальное расхождение.
Магнитные бильярды представляют собой бильярды, в которых заряженная частица распространяется в присутствии перпендикулярного магнитного поля. В результате траектория частицы меняется с прямой линии на дугу окружности. Радиус этой окружности обратно пропорционален напряженности магнитного поля. Такие бильярды были полезны в реальных приложениях бильярдов, обычно моделируя наноустройства (см. Приложения).
Обобщенные бильярды (ББ) описывают движение материальной точки (частицы) внутри замкнутой области с кусочно-гладкой границей . На границе скорость точки преобразуется при действии на частицу обобщенного закона бильярда. ББ были введены Л. Д. Пустыльниковым в общем случае [6] и в случае, когда — параллелепипед [7] в связи с обоснованием второго начала термодинамики . С физической точки зрения ББ описывают газ, состоящий из конечного числа частиц, движущихся в сосуде, при этом стенки сосуда нагреваются или остывают. Суть обобщения заключается в следующем. При попадании частицы на границу ее скорость преобразуется с помощью заданной функции , определенной на прямом произведении (где — вещественная прямая, — точка границы, — время), по следующему закону. Предположим, что траектория частицы, движущейся со скоростью , пересекается в точке в момент времени . Тогда в момент времени частица приобретает скорость , как если бы она испытала упругий толчок со стороны бесконечно тяжелой плоскости , касательной к в точке , и в момент времени движется по нормали к в со скоростью . Подчеркнем, что положение самой границы фиксировано, а ее воздействие на частицу определяется через функцию .
Положительное направление движения плоскости мы принимаем внутрь . Таким образом , если производная , то частица ускоряется после удара.
Если скорость , приобретённая частицей в результате указанного выше закона отражения, направлена внутрь области , то частица покинет границу и продолжит движение до следующего столкновения с . Если скорость направлена наружу от , то частица останется в точке , пока в какой-то момент взаимодействие с границей не заставит частицу покинуть её.
Если функция не зависит от времени , т. е. , то обобщенный биллиард совпадает с классическим.
Этот обобщенный закон отражения очень естественен. Во-первых, он отражает очевидный факт, что стенки сосуда с газом неподвижны. Во-вторых, воздействие стенки на частицу по-прежнему представляет собой классический упругий толчок. По сути, мы рассматриваем бесконечно мало движущиеся границы с заданными скоростями.
Рассматривается отражение от границы как в рамках классической механики (ньютоновский случай), так и теории относительности (релятивистский случай).
Основные результаты: в ньютоновском случае энергия частицы ограничена, энтропия Гиббса постоянна, [7] [8] [9] (в примечаниях), а в релятивистском случае энергия частицы, энтропия Гиббса, энтропия относительно фазового объема возрастают до бесконечности, [7] [9] (в примечаниях), ссылки на обобщенные биллиарды.
Квантовая версия биллиарда легко изучается несколькими способами. Классический гамильтониан для биллиарда, приведенный выше, заменяется стационарным уравнением Шредингера или, точнее,
где — Лапласиан . Потенциал, который бесконечен вне области, но равен нулю внутри нее, переводится в граничные условия Дирихле :
Как обычно, волновые функции считаются ортонормальными :
Любопытно, что уравнение Шредингера для свободного поля такое же, как и уравнение Гельмгольца ,
с
Это означает, что двух- и трехмерные квантовые бильярды могут быть смоделированы классическими резонансными модами радиолокационной полости заданной формы, что открывает путь к экспериментальной проверке. (Изучение мод радиолокационной полости должно быть ограничено поперечными магнитными (ТМ) модами, поскольку именно они подчиняются граничным условиям Дирихле).
Полуклассический предел соответствует , что можно считать эквивалентным , масса увеличивается так, что она ведет себя классически.
В качестве общего утверждения можно сказать, что всякий раз, когда классические уравнения движения интегрируемы ( например, прямоугольные или круглые бильярдные столы), то квантово-механическая версия бильярда полностью разрешима. Когда классическая система хаотична, то квантовая система, как правило, не является точно разрешимой и представляет многочисленные трудности в ее квантовании и оценке. Общее исследование хаотических квантовых систем известно как квантовый хаос .
Особенно яркий пример рубцевания на эллиптическом столе дает наблюдение так называемого квантового миража .
Бильярды, как квантовые, так и классические, применялись в нескольких областях физики для моделирования весьма разнообразных систем реального мира. Примерами служат лучевая оптика , [10] лазеры , [11] [12] акустика , [13] оптические волокна (например, волокна с двойной оболочкой [14] [15] ) или квантово-классическое соответствие. [16] Одним из наиболее частых их применений является моделирование частиц, движущихся внутри наноустройств, например, квантовых точек , [17] [18] pn-переходов , [19] сверхрешеток антиточек, [20] [21] и других. Причина такой широко распространенной эффективности бильярдов как физических моделей заключается в том, что в ситуациях с небольшим количеством беспорядка или шума движение, например, частиц, таких как электроны или световые лучи, очень похоже на движение точечных частиц в бильярдах. Кроме того, энергосберегающий характер столкновений частиц является прямым отражением закона сохранения энергии гамильтоновой механики.
Открытое программное обеспечение для моделирования бильярда существует для различных языков программирования. От самого последнего к самому старому, существующее программное обеспечение: DynamicalBilliards.jl (Julia), Bill2D (C++) и Billiard Simulator (Matlab). Анимации, представленные на этой странице, были сделаны с помощью DynamicalBilliards.jl.
{{cite web}}
: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка )