Уничтожение векторного поля

Вектор поля на римановом многообразии, сохраняющий метрику

В математике векторное поле Киллинга (часто называемое полем Киллинга ), названное в честь Вильгельма Киллинга , представляет собой векторное поле на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии ), которое сохраняет метрику . Поля Киллинга являются бесконечно малыми генераторами изометрий ; то есть потоки, генерируемые полями Киллинга, являются непрерывными изометриями многообразия . Проще говоря, поток порождает симметрию , в том смысле , что перемещение каждой точки объекта на одно и то же расстояние в направлении вектора Киллинга не исказит расстояния на объекте.

Определение

В частности, векторное поле является полем Киллинга, если производная Ли по метрике равна нулю: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}$

С точки зрения связи Леви-Чивита , это

${\displaystyle g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,}$

для всех векторов и . В локальных координатах это равносильно уравнению Киллинга ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

Это условие выражается в ковариантной форме. Поэтому достаточно установить его в предпочтительной системе координат, чтобы оно выполнялось во всех системах координат.

Примеры

Поле смерти на круге

Поле смерти на круге и поток вдоль поля смерти.

Векторное поле на окружности, направленное против часовой стрелки и имеющее одинаковую длину в каждой точке, является векторным полем Киллинга, поскольку перемещение каждой точки окружности вдоль этого векторного поля просто вращает окружность.

Поля смерти на гиперболической плоскости

Поле Киллинга на модели верхней полуплоскости, на полукруглом выборе точек. Это векторное поле Киллинга генерирует специальное конформное преобразование. Цвет указывает величину векторного поля в этой точке.

Игрушечный пример для векторного поля Киллинга находится на верхней полуплоскости, снабженной метрикой Пуанкаре . Пара обычно называется гиперболической плоскостью и имеет векторное поле Киллинга (используя стандартные координаты). Это должно быть интуитивно понятно, поскольку ковариантная производная переносит метрику вдоль интегральной кривой, порожденной векторным полем (чье изображение параллельно оси x). ${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$

Более того, метрика не зависит от , из чего мы можем сразу сделать вывод, что это поле Киллинга, используя один из результатов, приведенных ниже в этой статье. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

Группа изометрий модели верхней полуплоскости (или, скорее, компонент, связанный с тождеством) есть (см. Модель полуплоскости Пуанкаре ), а два других поля Киллинга могут быть получены из рассмотрения действия генераторов на верхней полуплоскости. Два других генерирующих поля Киллинга — это дилатация и специальное конформное преобразование . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$ ${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$

Поля смерти на 2-сфере

Поле Киллинга на сфере. Это векторное поле Киллинга генерирует вращение вокруг оси z. Цвет указывает высоту базовой точки каждого вектора в поле. Увеличить для анимации потока вдоль поля Киллинга.

Поля Киллинга двумерной сферы , или, в более общем смысле, -сферы, должны быть очевидны из обычной интуиции: сферы, имеющие вращательную симметрию, должны обладать полями Киллинга, которые генерируют вращения вокруг любой оси. То есть, мы ожидаем иметь симметрию под действием группы вращения 3D SO(3) . То есть, используя априорное знание того, что сферы могут быть вложены в евклидово пространство, можно сразу угадать форму полей Киллинга. Это невозможно в общем случае, и поэтому этот пример имеет весьма ограниченную образовательную ценность. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Обычная диаграмма для 2-сферы, вложенной в декартовы координаты, имеет вид ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

так что это параметризует высоту и параметризует вращение вокруг оси. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z}$

Обратный путь стандартной декартовой метрики дает стандартную метрику на сфере, ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Интуитивно понятно, что вращение вокруг любой оси должно быть изометрией. На этой диаграмме векторное поле, которое генерирует вращения вокруг оси : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

В этих координатах все компоненты метрики не зависят от , что показывает, что является полем Киллинга. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \partial _{\phi }}$

Вектор поля

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

не является полем Киллинга; координата явно появляется в метрике. Поток, генерируемый идет с севера на юг; точки на северном полюсе расходятся, на южном сходятся. Любое преобразование, которое сближает или удаляет точки, не может быть изометрией; следовательно, генератор такого движения не может быть полем Киллинга. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \partial _{\theta }}$

Генератор распознается как вращение вокруг оси ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

Второй генератор, для вращения вокруг оси -, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle X=z\partial _{y}-y\partial _{z}}$

Третий генератор, для вращения вокруг оси -, имеет вид ${\displaystyle y}$

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

Алгебра, заданная линейными комбинациями этих трех генераторов, замыкается и подчиняется соотношениям

${\displaystyle [X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.}$

Это алгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Выражая и через сферические координаты, получаем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

и

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

То, что эти три векторных поля на самом деле являются полями Киллинга, можно определить двумя разными способами. Один из них — явные вычисления: просто подставьте явные выражения для и заставьте себя показать, что Это стоящее упражнение. С другой стороны, можно распознать и являются генераторами изометрий в евклидовом пространстве, и поскольку метрика на сфере наследуется от метрики в евклидовом пространстве, изометрии также наследуются. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$

Эти три поля Киллинга образуют полный набор генераторов для алгебры. Они не являются уникальными: любая линейная комбинация этих трех полей все еще является полем Киллинга.

В этом примере следует отметить несколько тонких моментов.

• Три поля не являются глобально ненулевыми; действительно, поле исчезает на северном и южном полюсах; аналогично, и исчезает на антиподах на экваторе. Один из способов понять это - как следствие " теоремы о волосатом шаре ". Это свойство, лысых пятен, является общим свойством симметричных пространств в разложении Картана . В каждой точке многообразия алгебра полей Киллинга естественным образом разделяется на две части, одна часть, которая касается многообразия, и другая часть, которая исчезает (в точке, где выполняется разложение). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Три поля и не имеют единичной длины. Можно нормализовать, разделив на общий множитель, входящий во все три выражения. Однако в этом случае поля больше не являются гладкими: например, является сингулярным (недифференцируемым) на северном и южном полюсах. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$
• Три поля не являются точечно-ортогональными; на самом деле, они не могут быть таковыми, поскольку в любой заданной точке касательная плоскость двумерна, в то время как существует три вектора. Для любой точки на сфере существует некоторая нетривиальная линейная комбинация и , которая обращается в нуль: эти три вектора являются сверхполным базисом для двумерной касательной плоскости в этой точке. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Z}$
• Априорное знание того, что сферы могут быть вложены в евклидово пространство и, таким образом , наследовать метрику от этого вложения, приводит к сбивающей с толку интуиции о правильном числе полей Киллинга, которое можно было бы ожидать. Без такого вложения интуиция могла бы подсказать, что число линейно независимых генераторов не будет больше размерности касательного расслоения. В конце концов, фиксируя любую точку на многообразии, можно двигаться только в тех направлениях, которые являются касательными. Размерность касательного расслоения для 2-сферы равна двум, и тем не менее найдено три поля Киллинга. Опять же, этот «сюрприз» является общим свойством симметричных пространств.

Поля смерти в пространстве Минковского

Поля смерти пространства Минковского — это 3 пространственных трансляции, временная трансляция, три генератора вращений ( маленькая группа ) и три генератора ускорений . Это

• Переводы времени и пространства

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• Векторные поля, генерирующие три вращения, часто называемые J- генераторами,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• Векторные поля, генерирующие три усиления, генераторы K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

Усиления и вращения порождают группу Лоренца . Вместе с пространственно-временными трансляциями это образует алгебру Ли для группы Пуанкаре .

Поля смерти в плоском пространстве

Здесь мы выводим поля Киллинга для общего плоского пространства. Из уравнения Киллинга и тождества Риччи для ковектора , ${\displaystyle K_{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(используя абстрактную индексную нотацию ), где — тензор кривизны Римана , для поля Киллинга можно доказать следующее тождество : ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$ ${\displaystyle X^{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

Когда базовое многообразие представляет собой плоское пространство, то есть евклидово пространство или псевдоевклидово пространство (как для пространства Минковского), мы можем выбрать глобальные плоские координаты таким образом, что в этих координатах связность Леви-Чивиты и, следовательно, кривизна Римана везде исчезают, что дает ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

Интегрирование и наложение уравнения Киллинга позволяет нам записать общее решение в виде ${\displaystyle X_{\rho }}$

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

где антисимметрично. Принимая соответствующие значения и , мы получаем базис для обобщенной алгебры Пуанкаре изометрий плоского пространства: ${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$ ${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle c^{\rho }}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

Они генерируют псевдоповороты (повороты и усиления) и трансляции соответственно. Интуитивно они сохраняют (псевдо)метрику в каждой точке.

Для (псевдо-)евклидова пространства полной размерности всего имеется генераторов, делающих плоское пространство максимально симметричным. Это число является общим для максимально симметричных пространств. Максимально симметричные пространства можно рассматривать как подмногообразия плоского пространства, возникающие как поверхности постоянного собственного расстояния ${\displaystyle n(n+1)/2}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

которые имеют симметрию O( p ,  q ) . Если подмногообразие имеет размерность , эта группа симметрий имеет ожидаемую размерность (как группа Ли ). ${\displaystyle n}$

Эвристически мы можем вывести размерность алгебры поля Киллинга. Рассматривая уравнение Киллинга вместе с тождеством как систему дифференциальных уравнений второго порядка для , мы можем определить значение в любой точке при заданных начальных данных в точке . Начальные данные определяют и , но уравнение Киллинга требует, чтобы ковариантная производная была антисимметричной. В общей сложности это независимые значения начальных данных. ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{a}(p)}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$ ${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$

Конкретные примеры см. ниже для плоского пространства (пространства Минковского) и максимально симметричных пространств (сферы, гиперболического пространства).

Поля смерти в общей теории относительности

Поля Киллинга используются для обсуждения изометрий в общей теории относительности (в которой геометрия пространства -времени , искаженная гравитационными полями, рассматривается как 4-мерное псевдориманово многообразие). В статической конфигурации, в которой ничего не меняется со временем, вектор времени будет вектором Киллинга, и, таким образом, поле Киллинга будет указывать в направлении поступательного движения во времени. Например, метрика Шварцшильда имеет четыре поля Киллинга: метрика не зависит от , следовательно, является времениподобным полем Киллинга. Остальные три являются тремя генераторами вращений, обсуждавшимися выше. Метрика Керра для вращающейся черной дыры имеет только два поля Киллинга: времениподобное поле и поле, генерирующее вращения вокруг оси вращения черной дыры. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$

Пространство де Ситтера и анти-де Ситтера являются максимально симметричными пространствами, причем -мерные версии каждого из них обладают полями Киллинга. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

Поле смерти постоянной координаты

Если метрические коэффициенты в некотором координатном базисе не зависят от одной из координат , то — вектор Киллинга, где — дельта Кронекера . ^[3] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle dx^{a}\,}$ ${\displaystyle x^{\kappa }\,}$ ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$ ${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }\,}$

Чтобы доказать это, предположим . Тогда и ${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$ ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$ ${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

Теперь давайте рассмотрим условие убийства.

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

и из . Условие убийства становится ${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

то есть , что является правдой. ${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$

• Физический смысл, например, заключается в том, что если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, то многообразие автоматически должно иметь вектор Киллинга, подобный времени.
• Говоря простым языком, если объект не трансформируется или не «эволюционирует» со временем (когда время идет), то течение времени не изменит мер объекта. Сформулированный таким образом результат звучит как тавтология, но нужно понимать, что пример очень надуманный: Поля смерти применимы также к гораздо более сложным и интересным случаям.

Наоборот, если метрика допускает поле Киллинга , то можно построить координаты, для которых . Эти координаты строятся путем взятия гиперповерхности такой, что нигде не касается . Возьмем координаты на , затем определим локальные координаты , где обозначает параметр вдоль интегральной кривой на основе на . В этих координатах производная Ли сводится к производной координаты, то есть, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle (t,x^{i})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle (x^{i})}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

и по определению поля Киллинга левая часть исчезает.

Характеристики

Поле Киллинга однозначно определяется вектором в некоторой точке и его градиентом (т.е. всеми ковариантными производными поля в этой точке).

Скобка Ли двух полей Киллинга по-прежнему является полем Киллинга. Таким образом, поля Киллинга на многообразии M образуют подалгебру Ли векторных полей на M. Это алгебра Ли группы изометрий многообразия , если M полно . Риманово многообразие с транзитивной группой изометрий является однородным пространством .

Для компактных коллекторов

• Отрицательная кривизна Риччи подразумевает, что нетривиальных (ненулевых) полей Киллинга не существует.
• Неположительная кривизна Риччи подразумевает, что любое поле Киллинга параллельно, т.е. ковариантная производная вдоль любого векторного поля тождественно равна нулю.
• Если кривизна сечения положительна и размерность M четная, поле Киллинга должно иметь ноль.

Ковариантная дивергенция каждого векторного поля Киллинга исчезает.

Если — векторное поле Киллинга, а — гармоническое векторное поле , то — гармоническая функция . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g(X,Y)}$

Если — векторное поле Киллинга и — гармоническая p-форма , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.}$

Геодезические

Каждый вектор Киллинга соответствует величине, которая сохраняется вдоль геодезических . Эта сохраняющаяся величина является метрическим произведением между вектором Киллинга и геодезическим касательным вектором. Вдоль аффинно параметризованной геодезической с касательным вектором, затем заданным вектором Киллинга , величина сохраняется: ${\displaystyle U^{a}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle U^{b}X_{b}}$

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

Это помогает аналитически изучать движения в пространстве-времени с симметриями. ^[4]

Тензор энергии-напряжения

При наличии сохраняющегося симметричного тензора , то есть удовлетворяющего и , которые являются свойствами, типичными для тензора энергии-импульса , и вектора Киллинга , мы можем построить сохраняющуюся величину, удовлетворяющую ${\displaystyle T^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

Разложение Картана

Как отмечено выше, скобка Ли двух полей Киллинга все еще является полем Киллинга. Таким образом, поля Киллинга на многообразии образуют подалгебру Ли всех векторных полей на Выбрав точку, алгебру можно разложить на две части: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle p\in M~,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

и

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

где — ковариантная производная . Эти две части пересекаются тривиально, но в общем случае не разделяются . Например, если — риманово однородное пространство, то имеем тогда и только тогда, когда — риманово симметричное пространство. ^[5] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle M}$

Интуитивно, изометрии локально определяют подмногообразие полного пространства, а поля Киллинга показывают, как «скользить по» этому подмногообразию. Они охватывают касательное пространство этого подмногообразия. Касательное пространство должно иметь ту же размерность, что и изометрии, действующие эффективно в этой точке. То есть, можно ожидать Однако, в общем случае, число полей Киллинга больше размерности этого касательного пространства. Как это может быть? Ответ в том, что «лишние» поля Киллинга избыточны. Взятые все вместе, поля обеспечивают сверхполную основу для касательного пространства в любой конкретной выбранной точке; линейные комбинации можно заставить исчезнуть в этой конкретной точке. Это было видно на примере полей Киллинга на 2-сфере: есть 3 поля Киллинга; в любой заданной точке два охватывают касательное пространство в этой точке, а третье является линейной комбинацией двух других. Выбор любых двух определяет оставшиеся вырожденные линейные комбинации, которые определяют ортогональное пространство. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T_{p}N}$ ${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}};}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

Картановская инволюция

Инволюция Картана определяется как зеркальное отражение или обращение направления геодезической. Ее дифференциал меняет направление касательных к геодезической. Это линейный оператор нормы один; он имеет два инвариантных подпространства с собственным значением +1 и −1. Эти два подпространства соответствуют и соответственно. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$

Это можно сделать точнее. Фиксируя точку, рассмотрим геодезическую, проходящую через , с Инволюция определяется как ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

Эта карта является инволюцией, в том смысле, что при ограничении геодезическими вдоль полей Киллинга она также является явно изометрией. Она определена однозначно. ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1~.}$

Пусть будет группой изометрий, порожденных полями Киллинга. Функция, определяемая как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

является гомоморфизмом . Его бесконечно малое значение равно ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

Инволюция Картана является гомоморфизмом алгебры Ли, т.е.

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

для всех Подпространство имеет нечетную четность при инволюции Картана , в то время как имеет четную четность. То есть, обозначая инволюцию Картана в точке как , имеем ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \theta _{p}}$

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id}$

и

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id}$

где — тождественное отображение. Из этого следует, что подпространство является подалгеброй Ли в , в том, что Поскольку это подпространства четной и нечетной четности, скобки Ли распадаются, так что и ${\displaystyle Id}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$

Вышеприведенное разложение справедливо во всех точках симметричного пространства ; доказательства можно найти в работе Йоста. ^[6] Они также справедливы в более общих условиях, но не обязательно во всех точках многообразия. ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

Для частного случая симметричного пространства явно имеется, что то есть, поля Киллинга охватывают все касательное пространство симметричного пространства. Эквивалентно, тензор кривизны ковариантно постоянен на локально симметричных пространствах, и поэтому они локально параллелизуемы; это теорема Картана–Амброуза–Хикса . ${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};}$

Обобщения

• Векторные поля Киллинга можно обобщить до конформных векторных полей Киллинга, определяемых для некоторого скаляра. Производные однопараметрических семейств конформных отображений являются конформными полями Киллинга. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}$ ${\displaystyle \lambda .}$
• Тензорные поля Киллинга — это симметричные тензорные поля T , такие, что часть симметризации без следов исчезает. Примерами многообразий с тензорами Киллинга являются вращающаяся черная дыра и космология ФРВ . ^[7] ${\displaystyle \nabla T\,}$
• Векторные поля Киллинга также могут быть определены на любом многообразии M (возможно, без метрики), если вместо группы изометрий мы возьмем любую группу Ли G, действующую на нем. ^[8] В этом более широком смысле векторное поле Киллинга является продолжением правоинвариантного векторного поля на G действием группы. Если действие группы эффективно, то пространство векторных полей Киллинга изоморфно алгебре Ли  G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Смотрите также

• Аффинное векторное поле
• Коллинеация кривизны
• Гомотетическое векторное поле
• Форма убийства
• Убийственный горизонт
• Убийственный спинор
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени

Ссылки

1. Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.
2. Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.. См. главы 3, 9.
3. Мизнер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 133–139. ISBN 9780805387322.
5. Olmos, Carlos; Reggiani, Silvio; Tamaru, Hiroshi (2014). Индекс симметрии компактных естественно редуктивных пространств . Math. Z. 277 , 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0
6. Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ» (третье издание) Springer. ( См. раздел 5.2, страницы 241-251. )
7. Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 263, 344. ISBN 9780805387322.
8. Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4