Список квантовых логических вентилей

В квантовых вычислениях на основе вентилей обычно используются различные наборы квантовых логических вентилей для выражения квантовых операций. В следующих таблицах перечислены несколько унитарных квантовых логических вентилей вместе с их общим названием, способом их представления и некоторыми их свойствами. Управляемые или сопряженные транспонированные ( присоединенные ) версии некоторых из этих вентилей могут быть не перечислены.

Идентификационные ворота и глобальная фаза

Тождественный вентиль — это операция тождества , в большинстве случаев этот вентиль не указывается на принципиальных схемах, но он полезен при описании математических результатов. ${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

Его описывают как «цикл ожидания» ^[2] и NOP ^{[3] [1]} .

Глобальный фазовый вентиль вводит глобальную фазу во все квантовое состояние кубита. Квантовое состояние однозначно определяется с точностью до фазы. Из-за правила Борна , фактор фазы не влияет на результат измерения : для любого . ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ ${\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}$ ${\displaystyle \varphi }$

Потому что когда глобальный фазовый вентиль применяется к одному кубиту в квантовом регистре , изменяется глобальная фаза всего регистра. ${\displaystyle e^{i\delta }|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle =e^{i\delta }(|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle ),}$

Также, ${\displaystyle \mathrm {Ph} (0)=I.}$

Эти вентили могут быть расширены до любого количества кубитов или кудитов .

Клиффорд кубитовые ворота

В этой таблице приведены часто используемые вентили Клиффорда для кубитов. ^{[1] [4] [5]}

Другие вентили Клиффорда, включая вентили более высокой размерности, здесь не включены, но по определению могут быть созданы с использованием и . ${\textstyle H,S}$ ${\textstyle \mathrm {CNOT} }$

Обратите внимание, что если ворота Клиффорда A не входят в группу Паули или контролируются , то A не входят в ворота Клиффорда. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$

Набор Клиффорда не является универсальным набором квантовых вентилей.

Не-Клиффордовские кубитные вентили

Относительные фазовые ворота

Фазовый сдвиг — это семейство однокубитных вентилей, которые отображают базисные состояния и . Вероятность измерения a или не изменяется после применения этого вентиля, однако он изменяет фазу квантового состояния. Это эквивалентно обводке горизонтальной окружности (линии широты) или вращению вдоль оси z на сфере Блоха на радианы. Распространенным примером является вентиль T , где (исторически известный как вентиль), фазовый вентиль. Обратите внимание, что некоторые вентили Клиффорда являются частными случаями вентиля фазового сдвига: ${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle P(0)=I,\;P(\pi )=Z;P(\pi /2)=S.}$

Аргумент фазового вентиля находится в U(1) , и вентиль выполняет фазовый поворот в U(1) вдоль указанного базисного состояния (например, вращает фазу вокруг ) . Расширение до поворота вокруг общей фазы обоих базисных состояний двухуровневой квантовой системы ( кубита ) можно выполнить с помощью последовательной цепи : . Когда этот вентиль является вентилем оператора поворота и если он является глобальной фазой. ^{[a] [b]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle P(\beta )\cdot X\cdot P(\alpha )\cdot X={\begin{bmatrix}e^{i\alpha }&0\\0&e^{i\beta }\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle R_{z}(2\beta )}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Историческое название ворот T происходит от тождества , где . ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)\operatorname {Ph} \left({\frac {\pi }{8}}\right)=P(\pi /4)}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /8}&0\\0&e^{i\pi /8}\end{bmatrix}}}$

Произвольные однокубитные фазовые сдвиговые вентили изначально доступны для трансмоновых квантовых процессоров посредством синхронизации микроволновых управляющих импульсов. ^[13] Это можно объяснить в терминах смены кадра . ^{[14] [15]} ${\displaystyle P(\varphi )}$

Как и в случае с любым вентилем с одним кубитом, можно построить управляемую версию вентиля сдвига фазы. Что касается вычислительной базы, то 2-кубитный управляемый вентиль сдвига фазы: сдвигает фазу только в том случае, если он действует на состояние : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}e^{i\varphi }|a,b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Управляемый Z- вентиль (или CZ) представляет собой особый случай, когда . ${\displaystyle \varphi =\pi }$

Управляемый S- вентиль является случаем управляемого S-вентиля и является широко используемым вентилем. ^[6] ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$

Ротационные ворота оператора

Операторы вращения и являются аналоговыми матрицами вращения по трем декартовым осям SO (3) ^[c] , вдоль осей x, y или z проекции сферы Блоха . ${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$ ${\displaystyle R_{z}(\theta )}$

Поскольку матрицы Паули связаны с генератором вращений, эти операторы вращения могут быть записаны как матричные экспоненты с матрицами Паули в аргументе. Любая унитарная матрица в SU(2) может быть записана как произведение (т.е. последовательная цепь) трех вентилей вращения или меньше. Обратите внимание, что для двухуровневых систем, таких как кубиты и спиноры , эти вращения имеют период 4π . Вращение на 2π (360 градусов) возвращает тот же вектор состояния с другой фазой . ^[16] ${\displaystyle 2\times 2}$

У нас также есть и для всех ${\displaystyle R_{b}(-\theta )=R_{b}(\theta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle R_{b}(0)=I}$ ${\displaystyle b\in \{x,y,z\}.}$

Матрицы вращения связаны с матрицами Паули следующим образом: ${\displaystyle R_{x}(\pi )=-iX,R_{y}(\pi )=-iY,R_{z}(\pi )=-iZ.}$

Можно вычислить сопряженное действие вращений на вектор Паули , а именно эффективное вращение на удвоенный угол a, чтобы применить формулу вращения Родригеса :

${\displaystyle R_{n}(-a){\vec {\sigma }}R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$

Взяв скалярное произведение любого единичного вектора с приведенной выше формулой, мы получим выражение любого отдельного кубитного вентиля, помещенного в сопряженные вентили вращения. Например, можно показать, что . Также, используя антикоммутативное отношение, мы имеем . ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)={\hat {x}}\cdot ({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }})=Z}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)=XR_{y}(+\pi /2)R_{y}(\pi /2)=X(-iY)=Z}$

Операторы вращения имеют интересные тождества. Например, и Также, используя антикоммутирующие отношения, мы имеем и ${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$ ${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H.}$ ${\displaystyle ZR_{y}(-\pi /2)=H}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)X=H.}$

Глобальная фаза и фазовый сдвиг могут быть преобразованы друг в друга с помощью оператора Z-вращения: . ^{[5] : 11  [1] : 77–83} ${\displaystyle R_{z}(\gamma )\operatorname {Ph} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=P(\gamma )}$

Затвор представляет собой поворот на π/2 вокруг оси x на сфере Блоха . ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=e^{i\pi /4}R_{x}(\pi /2)}$

Аналогичные вентили оператора вращения существуют для SU(3) с использованием матриц Гелл-Манна . Это операторы вращения, используемые с кутритами .

Вентили взаимодействия двух кубитов

Вентили связи Изинга кубит-кубит или взаимодействия Гейзенберга R _xx , R _yy и R _zz являются 2-кубитными вентилями, которые изначально реализованы в некоторых квантовых компьютерах с захваченными ионами , например, с использованием процедуры вентиля Мельмера–Сёренсена . ^{[17] [18]}

Обратите внимание, что эти вентили могут быть также выражены в синусоидальной форме, например . ${\displaystyle R_{xx}(\phi )=\exp \left(-i{\frac {\phi }{2}}X\otimes X\right)=\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)I\otimes I-i\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)X\otimes X}$

Например, вентиль CNOT можно дополнительно разложить на произведения вентилей оператора вращения и одного вентиля взаимодействия двух кубитов.

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

Вентиль SWAP можно построить из других вентилей, например, используя вентили взаимодействия двух кубитов: . ${\displaystyle {\text{SWAP}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}R_{xx}(\pi /2)R_{yy}(\pi /2)R_{zz}(\pi /2)}$

В сверхпроводящих схемах семейство вентилей, возникающих в результате взаимодействия Гейзенберга, иногда называют набором вентилей fSim . Они могут быть реализованы с использованием настраиваемых по потоку кубитов с настраиваемой по потоку связью, ^[19] или с использованием микроволновых приводов в кубитах с фиксированной частотой с фиксированной связью. ^[20]

Не-Клиффордские своп-ворота

Вентиль √ SWAP выполняет половину обмена двух кубитов (см. вентили Клиффорда). Он универсален, так что любой многокубитный вентиль может быть построен только из вентилей √ SWAP и одного кубита. Для получения состояния Белла из состояний-продуктов требуется более одного применения √ SWAP . Вентиль √ SWAP естественным образом возникает в системах, которые используют обменное взаимодействие . ^{[21] [1]}

Для систем с изинговскими взаимодействиями иногда более естественно ввести мнимый обмен ^[22] или iSWAP. ^{[23] [24]} Обратите внимание, что и , или, в более общем случае, для всех действительных n, кроме 0. ${\displaystyle i{\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi /2)R_{yy}(-\pi /2)}$ ${\displaystyle {\sqrt {i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /4)R_{yy}(-\pi /4)}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /2n)R_{yy}(-\pi /2n)}$

SWAP ^α естественным образом возникает в спинтронных квантовых компьютерах. ^[1]

Вентиль Фредкина (также CSWAP или CS-вентиль), названный в честь Эдварда Фредкина , представляет собой 3-битный вентиль, который выполняет контролируемый обмен . Он универсален для классических вычислений. Он обладает полезным свойством, заключающимся в том, что количество нулей и единиц сохраняется на всем протяжении, что в модели бильярдного шара означает, что на выходе и на входе находится такое же количество шаров.

Другие названные ворота

Примечания

1. когда , где — сопряженное транспонирование (или эрмитово сопряженное ). ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle P(\alpha )=P(\beta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle \dagger }$
2. Также: ${\displaystyle \left(P(\delta )\cdot Y\right)^{2}=e^{i\delta }I}$
3. двойное покрытие SU (2) . См. также расслоение Хопфа .
4. Показанная здесь матрица взята из openQASM 3.0, которая отличается от глобальной фазы (в OpenQASM 2.0 U-вентиль находится в SU(2)). ${\displaystyle U(\theta ,\phi ,\lambda )}$

Ссылки

1. Уильямс, Колин П. (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
2. "IGate". qiskit.org . Онлайн-документация Qiskit .
3. "I операция". docs.microsoft.com . 28 июля 2023 г. Онлайн-документация Q# .
4. Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантовые механические компьютеры». Основы физики . 16 (6). Springer Science and Business Media LLC: 507–531. Bibcode : 1986FoPh...16..507F. doi : 10.1007/bf01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  122076550.
5. Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; Слейтор, Тихо; Смолин, Джон А.; Вайнфуртер, Харальд (1995-11-01). "Элементарные вентили для квантовых вычислений". Physical Review A. 52 ( 5). Американское физическое общество (APS): 3457–3467. arXiv : quant-ph/9503016 . Bibcode : 1995PhRvA..52.3457B. doi : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
6. Нильсен, Майкл А. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Айзек Л. Чуан (10-я годовщина издания). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC  665137861.
7. Hung, WNN; Xiaoyu Song; Guowu Yang; Jin Yang; Perkowski, M. (сентябрь 2006 г.). «Оптимальный синтез множественных выходных булевых функций с использованием набора квантовых вентилей с помощью символического анализа достижимости». IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems . 25 (9): 1652–1663. doi :10.1109/tcad.2005.858352. ISSN  0278-0070. S2CID  14123321.
8. Коллинз, Дэниел; Линден, Ноа; Попеску, Санду (2001-08-07). "Нелокальное содержание квантовых операций". Physical Review A. 64 ( 3): 032302. arXiv : quant-ph/0005102 . Bibcode : 2001PhRvA..64c2302C. doi : 10.1103/PhysRevA.64.032302. ISSN  1050-2947. S2CID  29769034.
9. Pathak, Anirban (2013-06-20). Элементы квантовых вычислений и квантовой коммуникации. Taylor & Francis. ISBN 978-1-4665-1792-9.
10. Янофски, Носон С.; Маннуччи, Мирко А. (2008-08-11). Квантовые вычисления для компьютерных ученых. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64390-0.
11. Стэнсил, Дэниел Д.; Берд, Грегори Т. (2022-04-19). Принципы сверхпроводящих квантовых компьютеров. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-75074-1.
12. Д. Якш, Дж. И. Сирак, П. Золлер, С. Л. Ролстон, Р. Коте и М. Д. Лукин (2000). «Быстрые квантовые ворота для нейтральных атомов». Физ. Преподобный Летт . 85 (10): 2208–2211. arXiv : Quant-ph/0004038 . Бибкод : 2000PhRvL..85.2208J. doi :10.1103/PhysRevLett.85.2208. ПМИД  10970499.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Дибьенду Чаттерджи, Ариджит Рой (2015). «Квантовая схема полусумматора на основе трансмонов». Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2015 (9): 7–8. Bibcode : 2015PTEP.2015i3A02C. doi : 10.1093/ptep/ptv122 .
14. Маккей, Дэвид К.; Вуд, Кристофер Дж.; Шелдон, Сара; Чоу, Джерри М.; Гамбетта, Джей М. (31 августа 2017 г.). «Эффективные Z-вентили для квантовых вычислений». Physical Review A. 96 ( 2): 022330. arXiv : 1612.00858 . Bibcode : 2015PTEP.2015i3A02C. doi : 10.1093/ptep/ptv122.
15. "qiskit.circuit.library.PhaseGate". IBM (документация qiskit).
16. Гриффитс, DJ (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). John Wiley & Sons . стр. 127–128. ISBN 978-3-527-40601-2.
17. "Конференция Монро" (PDF) . online.kitp.ucsb.edu .
18. "Демонстрация небольшого программируемого квантового компьютера с атомными кубитами" (PDF) . Получено 2019-02-10 .
19. Фоксен, Б.; Нил, К.; Дансворт, А.; Рушан, П.; Кьяро, Б.; Мегрант, А.; Келли, Дж.; Чен, Цзыцзюнь; Сатцингер, К.; Барендс, Р.; Аруте, Ф.; Арья, К.; Бэббуш, Р.; Бэкон, Д.; Бардин, JC; Бойшо, С.; Бьюэлл, Д.; Беркетт, Б.; Чен, Ю; Коллинз, Р.; Фархи, Э.; Фаулер, А.; Гидни, К.; Джустина, М.; Графф, Р.; Харриган, М.; Хуанг, Т.; Исаков С.В.; Джеффри, Э.; Цзян, З.; Кафри, Д.; Кечеджи, К.; Климов П.; Коротков А.; Кострица, Ф.; Ландхейс, Д.; Лусеро, Э.; МакКлин, Дж.; МакИвен, М.; Ми, Х.; Мохсени, М.; Мутус, Дж.Й.; Нааман, О.; Нили, М.; Ниу, М.; Петухов, А.; Кинтана , C.; Рубин, N.; Санк, D.; Смелянский, V.; Вайнсенчер, A.; Уайт, TC; Яо, Z.; Йе, P.; Зальцман, A.; Невен, H.; Мартинис, JM (2020-09-15). "Демонстрация непрерывного набора двухкубитных вентилей для краткосрочных квантовых алгоритмов". Physical Review Letters . 125 (12): 120504. arXiv : 2001.08343 . Bibcode : 2020PhRvL.125l0504F. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.120504. ISSN  0031-9007. PMID  33016760.
20. Нгуен, Л. Б.; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые взаимодействия Гейзенберга между кубитами Флоке». Nature Physics . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Bibcode : 2024NatPh..20..240N. doi : 10.1038/s41567-023-02326-7 .
21. Немировски, Джонатан; Саги, Йоав (2021), «Быстрый универсальный двухкубитный вентиль для нейтральных фермионных атомов в оптических пинцетах», Physical Review Research , 3 (1): 013113, arXiv : 2008.09819 , Bibcode : 2021PhRvR...3a3113N, doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.013113
22. Расмуссен, SE; Циннер, NT (2020-07-17). "Простая реализация высокоточных управляемых вентилей обмена i и возведение в степень квантовой схемы неэрмитовых вентилей". Physical Review Research . 2 (3): 033097. arXiv : 2002.11728 . Bibcode : 2020PhRvR...2c3097R. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.033097 . ISSN  2643-1564.
23. Шух, Норберт; Сиверт, Йенс (2003-03-10). "Естественный двухкубитный вентиль для квантовых вычислений с использованием взаимодействия XY". Physical Review A. 67 ( 3): 032301. arXiv : quant-ph/0209035 . Bibcode : 2003PhRvA..67c2301S. doi : 10.1103/PhysRevA.67.032301. ISSN  1050-2947. S2CID  50823541.
24. Даллер-Демерс, Пьер-Люк; Вильгельм, Франк К. (2016-12-05). "Квантовые вентили и архитектура для квантового моделирования модели Ферми-Хаббарда". Physical Review A. 94 ( 6): 062304. arXiv : 1606.00208 . Bibcode : 2016PhRvA..94f2304D. doi : 10.1103/PhysRevA.94.062304. ISSN  2469-9926. S2CID  118408193.
25. Кросс, Эндрю; Джавади-Абхари, Али; Александр, Томас; Де Бодрап, Нил; Бишоп, Лев С.; Хайдель, Стивен; Райан, Колм А.; Сивараджа, Прасант; Смолин, Джон; Гамбетта, Джей М.; Джонсон, Блейк Р. (2022). «OpenQASM 3: более широкий и глубокий язык квантовой ассемблерной обработки». ACM Transactions on Quantum Computing . 3 (3): 1–50. arXiv : 2104.14722 . doi : 10.1145/3505636 . ISSN  2643-6809. S2CID  233476587.
26. Чжан, Цзюнь; Вала, Джири; Шастри, Шанкар; Уэйли, К. Биргитта (2004-07-07). "Минимальная конструкция двухкубитовых квантовых операций". Physical Review Letters . 93 (2): 020502. arXiv : quant-ph/0312193 . Bibcode : 2004PhRvL..93b0502Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.020502. ISSN  0031-9007. PMID  15323888. S2CID  9632700.
27. АбуГанем, М. (01.01.2021). «Двухкубитный запутывающий вентиль для сверхпроводящих квантовых компьютеров». Рочестер, Нью-Йорк. doi : 10.2139/ssrn.4188257. S2CID  252264545. SSRN  4188257. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
28. Петерсон, Эрик С.; Крукс, Гэвин Э.; Смит, Роберт С. (2020-03-26). «Двухкубитные схемы фиксированной глубины и многогранник монодромии». Quantum . 4 : 247. arXiv : 1904.10541 . doi : 10.22331/q-2020-03-26-247 . S2CID  214690323.
29. Córcoles, AD; Magesan, Easwar; Srinivasan, Srikanth J.; Cross, Andrew W.; Steffen, M.; Gambetta, Jay M.; Chow, Jerry M. (2015-04-29). "Демонстрация квантового кода обнаружения ошибок с использованием квадратной решетки из четырех сверхпроводящих кубитов". Nature Communications . 6 (1): 6979. arXiv : 1410.6419 . Bibcode :2015NatCo...6.6979C. doi :10.1038/ncomms7979. ISSN  2041-1723. PMC 4421819 . PMID  25923200. 
30. Кириенко, Александр; Эльфвинг, Винсент Э. (2021-11-15). "Обобщенные правила дифференциации квантовых цепей". Physical Review A. 104 ( 5): 052417. arXiv : 2108.01218 . Bibcode : 2021PhRvA.104e2417K. doi : 10.1103/PhysRevA.104.052417. hdl : 10871/127818 . ISSN  2469-9926. S2CID  236881494.
31. Нгуен, Л. Б.; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые взаимодействия Гейзенберга между кубитами Флоке». Nature Physics . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Bibcode : 2024NatPh..20..240N. doi : 10.1038/s41567-023-02326-7 .
32. Аррасола, Хуан Мигель; Маттео, Оливия Ди; Кесада, Николас; Джахангири, Соран; Дельгадо, Ален; Киллоран, Натан (20 июня 2022 г.). «Универсальные квантовые схемы для квантовой химии». Квантовый . 6 : 742. arXiv : 2106.13839 . Бибкод : 2022Quant...6..742A. doi : 10.22331/q-2022-06-20-742 . S2CID  235658488.
33. Аруте, Фрэнк; Арья, Кунал; Баббуш, Райан; Бэкон, Дэйв; Бардин, Джозеф К.; Барендс, Рами; Бисвас, Рупак; Бойшо, Серхио; Брандао, Фернандо GSL; Бьюэлл, Дэвид А.; Беркетт, Брайан; Чен, Ю; Чен, Цзыцзюнь; Киаро, Бен; Коллинз, Роберто (2019). «Квантовое превосходство с использованием программируемого сверхпроводящего процессора». Nature . 574 (7779): 505–510. arXiv : 1910.11333 . Bibcode :2019Natur.574..505A. doi : 10.1038/s41586-019-1666-5 . ISSN  1476-4687. PMID  31645734. S2CID  204836822.
34. Гу, Сю; Фернандес-Пендас, Хорхе; Викстол, Понт; Абад, Тахере; Уоррен, Кристофер; Бенгтссон, Андреас; Танкреди, Джованна; Шумейко, Виталий; Байландер, Джонас; Йоханссон, Йоран; Фриск Кокум, Антон (2021). «Быстрые многокубитные ворота через одновременные двухкубитные ворота». PRX Квантум . 2 (4): 040348. arXiv : 2108.11358 . Бибкод : 2021PRXQ....2d0348G. дои : 10.1103/PRXQuantum.2.040348 . ISSN  2691-3399.
35. Маслов, Дмитрий (2016-02-10). "Преимущества использования вентилей Тоффоли с относительной фазой в приложении к оптимизации Тоффоли с множественным управлением". Physical Review A . 93 (2): 022311. arXiv : 1508.03273 . Bibcode :2016PhRvA..93b2311M. doi : 10.1103/PhysRevA.93.022311 . ISSN  2469-9926. S2CID  5226873.
36. Сонг, Гуан; Клаппенекер, Андреас (2003-12-31). "Упрощенная реализация вентиля Тоффоли Марголусом оптимальна". arXiv : quant-ph/0312225 . Bibcode :2003quant.ph.12225S. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
37. Thapliyal, Himanshu; Ranganathan, Nagarajan (2009). «Проектирование эффективных обратимых двоичных вычитателей на основе нового обратимого вентиля». 2009 IEEE Computer Society Annual Symposium on VLSI . pp. 229–234. doi :10.1109/ISVLSI.2009.49. ISBN 978-1-4244-4408-3. S2CID  16182781.
38. Уоррен, Кристофер; Фернандес-Пендас, Хорхе; Ахмед, Шахнаваз; Абад, Тахере; Бенгтссон, Андреас; Бизнарова, Янка; Дебнатх, Каманасиш; Гу, Сю; Крижан, Кристиан; Осман, Амр; Фадави Рудсари, Анита; Дельсинг, Пер; Йоханссон, Йоран; Фриск Кокум, Антон; Танкреди, Джованна; Байландер, Джонас (2023). «Расширенная характеристика и реализация семейства трехкубитных вентилей на пределе когерентности». npj Квантовая информация . 9 (1): 44. arXiv : 2207.02938 . Бибкод : 2023npjQI...9...44W. doi : 10.1038/s41534-023-00711-x . ISSN  2056-6387.