В геометрии и многогранной комбинаторике , Клеетоп многогранника или многогранника более высокой размерности P — это другой многогранник или многогранник P K, образованный заменой каждой грани P пирамидой . [1] В некоторых случаях пирамида выбирается с правильными сторонами, что часто приводит к невыпуклому многограннику ; в качестве альтернативы, при использовании достаточно пологих пирамид результаты могут оставаться выпуклыми. Клеетопы названы в честь Виктора Клее , [2] хотя та же концепция была известна под другими названиями задолго до работ Клее. [3]
В каждом из этих случаев Kleetope формируется путем присоединения пирамид к каждой грани исходного многогранника. Эти примеры можно увидеть из Платоновых тел :
Базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть платоновым телом. Например, дисдьякис-додекаэдр — это Kleetope ромбического додекаэдра , образованный заменой каждой ромбической грани додекаэдра на ромбическую пирамиду, а дисдьякис-триаконтаэдр — это Kleetope ромбического триаконтаэдра . Фактически, базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть гране-транзитивным , как можно видеть из трипентакис-икосо-додекаэдра выше.
Один из методов формирования Kleetope многогранника P заключается в размещении новой вершины вне P , около центроида каждой грани. Если все эти новые вершины размещены достаточно близко к соответствующим центроидам, то единственными другими вершинами, видимыми для них, будут вершины граней, из которых они определены. В этом случае Kleetope P является выпуклой оболочкой объединения вершин P и множества новых вершин. [5]
В качестве альтернативы, Клетоп может быть определен через двойственность и ее двойственную операцию, усечение : Клетоп P является двойственным многогранником усечения двойственного P.
Если P имеет достаточно вершин относительно его размерности, то Kleetope P размерно однозначен : граф, образованный его ребрами и вершинами, не является графом другого многогранника или политопа с другой размерностью. Более конкретно, если число вершин d -мерного политопа P составляет по крайней мере d 2 /2 , то P K размерно однозначен. [6]
Если каждая i -мерная грань d -мерного многогранника P является симплексом , и если i ≤ d − 2 , то каждая ( i + 1) -мерная грань P K также является симплексом. В частности, Kleetope любого трехмерного многогранника является симплициальным многогранником , многогранником, в котором все грани являются треугольниками.
Клеетопы могут использоваться для генерации многогранников, не имеющих гамильтоновых циклов : любой путь через одну из вершин, добавленных в конструкции Клеетопа, должен входить и выходить из вершины через ее соседей в исходном многограннике, и если новых вершин больше, чем исходных вершин, то соседей недостаточно для обхода. В частности, граф Голднера–Харари , Клеетоп треугольной бипирамиды, имеет шесть вершин, добавленных в конструкции Клеетопа, и только пять в бипирамиде, из которой он был образован, поэтому он негамильтонов; это простейший возможный негамильтонов симплициальный многогранник. [7] Если многогранник с n вершинами образован путем повторения конструкции Клеетопа некоторое количество раз, начиная с тетраэдра, то его самый длинный путь имеет длину O( n log 3 2 ) ; то есть показатель краткости этих графов равен log 3 2 , приблизительно 0,630930. Тот же метод показывает, что в любой более высокой размерности d существуют симплициальные многогранники с показателем краткости log d 2 . [8] Аналогично, Пламмер (1992) использовал конструкцию Клитопа, чтобы предоставить бесконечное семейство примеров симплициальных многогранников с четным числом вершин, которые не имеют идеального соответствия . [9]
Клетопы также обладают некоторыми экстремальными свойствами, связанными со степенями их вершин : если каждое ребро в плоском графе инцидентно по крайней мере семи другим ребрам, то должна существовать вершина степени не более пяти, все соседи которой, кроме одной, имеют степень 20 или более, а Клетоп икосаэдра представляет собой пример, в котором вершины с высокой степенью имеют степень ровно 20. [10]