В абстрактной алгебре внутренняя алгебра — это определенный тип алгебраической структуры , которая кодирует идею топологической внутренности множества. Внутренние алгебры являются для топологии и модальной логики S4 тем же, чем булевы алгебры являются для теории множеств и обычной пропозициональной логики . Внутренние алгебры образуют разновидность модальных алгебр .
Внутренняя алгебра — это алгебраическая структура с сигнатурой
где
является булевой алгеброй , а постфикс I обозначает унарный оператор , внутренний оператор , удовлетворяющий тождествам:
x I называется внутренней частью x .
Двойственным оператору внутреннего оператора является оператор замыкания C, определяемый формулой x C = (( x ′) I )′. x C называется замыканием x . По принципу двойственности оператор замыкания удовлетворяет тождествам:
Если оператор замыкания взять как примитивный, внутренний оператор можно определить как x I = (( x ′) C )′. Таким образом, теория внутренних алгебр может быть сформулирована с использованием оператора замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматриваются алгебры замыкания вида ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩, где ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ снова является булевой алгеброй, а C удовлетворяет приведенным выше тождествам для оператора замыкания. Замыкание и внутренние алгебры образуют дуальные пары и являются парадигматическими примерами «булевых алгебр с операторами». Ранняя литература по этой теме (в основном польская топология) ссылалась на операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора в конечном итоге стала нормой [ требуется ссылка ] после работы Вима Блока .
Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию x I = x, называются открытыми . Дополнения открытых элементов называются закрытыми и характеризуются условием x C = x . Внутренность элемента всегда открыта, а замыкание элемента всегда замкнуто. Внутренности замкнутых элементов называются регулярно открытыми , а замыкания открытых элементов называются регулярно закрытыми . Элементы, которые являются как открытыми, так и закрытыми, называются открыто-замкнутыми . 0 и 1 являются открыто-замкнутыми.
Внутренняя алгебра называется булевой, если все ее элементы открыты (и, следовательно, открыто-замкнуты). Булевы внутренние алгебры можно отождествить с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние и замыкающие операторы не обеспечивают никакой осмысленной дополнительной структуры. Особым случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые являются одноэлементными внутренними алгебрами, характеризующимися тождеством 0 = 1.
Внутренние алгебры, в силу того, что они являются алгебраическими структурами , имеют гомоморфизмы . Для двух внутренних алгебр A и B отображение f : A → B является внутренним гомоморфизмом алгебр тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между базовыми булевыми алгебрами A и B , который также сохраняет внутренности и замыкания. Следовательно:
Топоморфизмы — это еще один важный и более общий класс морфизмов между внутренними алгебрами. Отображение f : A → B является топоморфизмом тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между булевыми алгебрами, лежащими в основе A и B , который также сохраняет открытые и закрытые элементы A . Следовательно:
(Такие морфизмы также называются стабильными гомоморфизмами и полугомоморфизмами замыкающей алгебры .) Каждый внутренний гомоморфизм алгебры является топоморфизмом, но не каждый топоморфизм является внутренним гомоморфизмом алгебры.
Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, которые были гомоморфизмами базовых булевых алгебр, но которые не обязательно сохраняли внутренний оператор или оператор замыкания. Такие отображения назывались булевыми гомоморфизмами . (Термины гомоморфизм замыкания или топологический гомоморфизм использовались в случае, когда они сохранялись, но эта терминология теперь излишня, поскольку стандартное определение гомоморфизма в универсальной алгебре требует, чтобы он сохранял все операции.) Приложения, включающие счетно полные внутренние алгебры (в которых всегда существуют счетные пересечения и соединения , также называемые σ-полными ), обычно использовали счетно полные булевы гомоморфизмы, также называемые булевыми σ-гомоморфизмами — они сохраняют счетные пересечения и соединения.
Самое раннее обобщение непрерывности на внутренние алгебры было сделано Сикорским , на основе отображения обратного образа непрерывного отображения . Это булев гомоморфизм, сохраняющий объединения последовательностей и включающий замыкание обратного образа в обратном образе замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм f между двумя σ-полными внутренними алгебрами, такими что f ( x ) C ≤ f ( x C ). Это определение имело несколько трудностей: конструкция действует контравариантно, производя двойственное непрерывному отображению, а не обобщение. С одной стороны, σ-полнота слишком слаба, чтобы характеризовать отображения обратного образа (полнота требуется), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский заметил об использовании не-σ-полных гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для замыкающих алгебр .) Позднее Й. Шмид определил непрерывный гомоморфизм или непрерывный морфизм для внутренних алгебр как булев гомоморфизм f между двумя внутренними алгебрами, удовлетворяющими f ( x C ) ≤ f ( x ) C . Это обобщает прямое отображение образа непрерывного отображения — образ замыкания содержится в замыкании образа. Эта конструкция ковариантна , но не подходит для теоретико-категорных приложений, поскольку она позволяет строить непрерывные морфизмы из непрерывных отображений только в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, отказавшись от σ-полноты, чтобы получить топоморфизмы, определенные выше. В этой терминологии оригинальные «непрерывные гомоморфизмы» Сикорского являются σ-полными топоморфизмами между σ-полными внутренними алгебрами.)
Для топологического пространства X = ⟨ X , T ⟩ можно сформировать булеву алгебру степенного множества X :
и расширить его до внутренней алгебры
где I — обычный топологический внутренний оператор. Для всех S ⊆ X он определяется как
Для всех S ⊆ X соответствующий оператор замыкания задается формулой
S I — наибольшее открытое подмножество S , а SC — наименьшее замкнутое надмножество S в X. Открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открыто-замкнутые элементы внутренней алгебры A ( X ) — это просто открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открыто-замкнутые подмножества X соответственно в обычном топологическом смысле.
Каждая полная атомная внутренняя алгебра изоморфна внутренней алгебре вида A ( X ) для некоторого топологического пространства X . Более того, каждая внутренняя алгебра может быть вложена в такую внутреннюю алгебру, давая представление внутренней алгебры как топологического поля множеств . Свойства структуры A ( X ) являются самой мотивацией для определения внутренних алгебр. Из-за этой тесной связи с топологией внутренние алгебры также называются топо-булевыми алгебрами или топологическими булевыми алгебрами .
Дано непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами
мы можем определить полный топоморфизм
к
для всех подмножеств S из Y . Каждый полный топоморфизм между двумя полными атомными внутренними алгебрами может быть получен таким образом. Если Top — категория топологических пространств и непрерывных отображений, а Cit — категория полных атомных внутренних алгебр и полных топоморфизмов, то Top и Cit дуально изоморфны , а A : Top → Cit — контравариантный функтор , который является дуальным изоморфизмом категорий. A ( f ) является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда f — непрерывное открытое отображение .
При этом двойственном изоморфизме категорий многие естественные топологические свойства соответствуют алгебраическим свойствам, в частности свойства связности соответствуют свойствам неприводимости:
Современная формулировка топологических пространств в терминах топологий открытых подмножеств мотивирует альтернативную формулировку внутренних алгебр: обобщенное топологическое пространство — это алгебраическая структура вида
где ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ — это булева алгебра, как обычно, а T — это унарное отношение на B (подмножестве B ), такое что:
Говорят, что T является обобщенной топологией в булевой алгебре.
Если задана внутренняя алгебра, ее открытые элементы образуют обобщенную топологию. Обратно, если задано обобщенное топологическое пространство
мы можем определить внутренний оператор на B как b I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b } , тем самым создавая внутреннюю алгебру, открытые элементы которой в точности равны T. Таким образом, обобщенные топологические пространства эквивалентны внутренним алгебрам.
Если рассматривать внутренние алгебры как обобщенные топологические пространства, то топоморфизмы являются стандартными гомоморфизмами булевых алгебр с добавленными соотношениями, так что применимы стандартные результаты универсальной алгебры .
Топологическое понятие окрестностей можно обобщить на внутренние алгебры: элемент y внутренней алгебры называется окрестностью элемента x , если x ≤ y I . Множество окрестностей x обозначается N ( x ) и образует фильтр . Это приводит к другой формулировке внутренних алгебр:
Функция соседства в булевой алгебре — это отображение N из ее базового множества B в ее набор фильтров, такое что:
Отображение N элементов внутренней алгебры в их фильтры окрестностей является функцией окрестностей на базовой булевой алгебре внутренней алгебры. Более того, имея функцию окрестностей N на булевой алгебре с базовым множеством B , мы можем определить внутренний оператор как x I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )} , тем самым получая внутреннюю алгебру. тогда будет в точности фильтром окрестностей x в этой внутренней алгебре. Таким образом, внутренние алгебры эквивалентны булевым алгебрам с указанными функциями окрестностей.
В терминах функций соседства открытые элементы — это именно те элементы x , для которых x ∈ N ( x ) . В терминах открытых элементов x ∈ N ( y ) тогда и только тогда, когда существует открытый элемент z, для которого y ≤ z ≤ x .
Функции соседства могут быть определены более общо на (встречных)-полурешетках , производящих структуры, известные как соседние (полу)решетки. Внутренние алгебры, таким образом, можно рассматривать как в точности булевы соседние решетки , т.е. те соседние решетки, чья базовая полурешетка образует булеву алгебру.
Имея теорию (множество формальных предложений) M в модальной логике S4 , мы можем сформировать ее алгебру Линденбаума–Тарского :
где ~ — отношение эквивалентности предложений в M, заданное как p ~ q , тогда и только тогда, когда p и q логически эквивалентны в M , а M / ~ — множество классов эквивалентности при этом отношении. Тогда L ( M ) — внутренняя алгебра. Внутренний оператор в этом случае соответствует модальному оператору □ ( обязательно ), тогда как оператор замыкания соответствует ◊ ( возможно ). Эта конструкция является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и модальной логики.
Открытые элементы L ( M ) соответствуют предложениям, которые истинны только в том случае, если они обязательно истинны, тогда как закрытые элементы соответствуют тем, которые ложны только в том случае, если они обязательно ложны.
Из-за своей связи с S4 внутренние алгебры иногда называют алгебрами S4 или алгебрами Льюиса , в честь логика К. И. Льюиса , который первым предложил модальные логики S4 и S5 .
Поскольку внутренние алгебры являются (нормальными) булевыми алгебрами с операторами , они могут быть представлены полями множеств на соответствующих реляционных структурах. В частности, поскольку они являются модальными алгебрами , они могут быть представлены как поля множеств на множестве с одним бинарным отношением , называемым фреймом Крипке . Фреймы Крипке, соответствующие внутренним алгебрам, являются в точности предупорядоченными множествами . Предупорядоченные множества (также называемые S4-фреймами ) обеспечивают семантику Крипке модальной логики S4 , и связь между внутренними алгебрами и предпорядками тесно связана с их связью с модальной логикой.
Имея предупорядоченное множество X = ⟨ X , «⟩, мы можем построить внутреннюю алгебру
из булевой алгебры множества X , где внутренний оператор I задается выражением
Соответствующий оператор замыкания задается выражением
S I — это множество всех миров, недоступных из миров вне S , а SC — это множество всех миров, доступных из некоторого мира в S. Каждая внутренняя алгебра может быть вложена во внутреннюю алгебру вида B ( X ) для некоторого предупорядоченного множества X, что дает вышеупомянутое представление в виде поля множеств ( поле предупорядочения ).
Эта теорема о построении и представлении является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и фреймов Крипке. В этом отношении внутренние алгебры особенно интересны из-за их связи с топологией . Конструкция предоставляет предупорядоченному множеству X топологию , топологию Александрова , производя топологическое пространство T ( X ), открытые множества которого:
Соответствующие замкнутые множества:
Другими словами, открытые множества — это те, чьи миры недоступны извне ( up-sets ), а закрытые множества — это те, для которых любой внешний мир недоступен изнутри ( down-sets ). Более того, B ( X ) = A ( T ( X )).
Любая монадическая булева алгебра может рассматриваться как внутренняя алгебра, где внутренний оператор является квантором всеобщности, а оператор замыкания — квантором существования. Тогда монадические булевы алгебры являются в точности многообразием внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству x IC = x I . Другими словами, они являются в точности внутренними алгебрами, в которых каждый открытый элемент замкнут или, что эквивалентно, в которых каждый закрытый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры являются в точности полупростыми внутренними алгебрами. Они также являются внутренними алгебрами, соответствующими модальной логике S5 , и поэтому также называются алгебрами S5 .
В отношении между предупорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда предпорядок является отношением эквивалентности , отражая тот факт, что такие предупорядоченные множества обеспечивают семантику Крипке для S5 . Это также отражает отношение между монадической логикой квантификации (для которой монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическое описание ) и S5 , где модальные операторы □ ( обязательно ) и ◊ ( возможно ) могут быть интерпретированы в семантике Крипке с использованием монадической универсальной и экзистенциальной квантификации соответственно, без ссылки на отношение доступности.
Открытые элементы внутренней алгебры образуют алгебру Гейтинга , а закрытые элементы образуют дуальную алгебру Гейтинга. Регулярные открытые элементы и регулярные закрытые элементы соответствуют псевдодополняемым элементам и дуальным псевдодополняемым элементам этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Замкнутые элементы соответствуют дополняемым элементам и образуют общую подалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждая алгебра Гейтинга может быть представлена как открытые элементы внутренней алгебры, и последняя может быть выбрана в качестве внутренней алгебры, порожденной ее открытыми элементами — такие внутренние алгебры соответствуют один к одному с алгебрами Гейтинга (с точностью до изоморфизма), являющимися свободными булевыми расширениями последних.
Алгебры Гейтинга играют ту же роль для интуиционистской логики , которую внутренние алгебры играют для модальной логики S4 , а булевы алгебры играют для пропозициональной логики . Связь между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами отражает связь между интуиционистской логикой и S4 , в которой можно интерпретировать теории интуиционистской логики как теории S4 , замкнутые относительно необходимости . Взаимно-однозначное соответствие между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики S4.Grz .
При наличии внутренней алгебры A оператор замыкания подчиняется аксиомам оператора производной D. Следовательно, мы можем образовать производную алгебру D ( A ) с той же базовой булевой алгеброй, что и A , используя оператор замыкания в качестве оператора производной.
Таким образом, внутренние алгебры являются производными алгебрами . С этой точки зрения они являются именно многообразием производных алгебр, удовлетворяющих тождеству x D ≥ x . Производные алгебры обеспечивают соответствующую алгебраическую семантику для модальной логики wK4 . Следовательно, производные алгебры соответствуют топологическим производным множествам и wK4, как внутренние/замыкающие алгебры соответствуют топологическим внутренностям/замыканиям и S4 .
Если задана производная алгебра V с производным оператором D , мы можем сформировать внутреннюю алгебру I ( V ) с той же базовой булевой алгеброй, что и V , с внутренними и замыкающими операторами, определенными как x I = x · x ′ D ′ и x C = x + x D , соответственно. Таким образом, каждая производная алгебра может рассматриваться как внутренняя алгебра. Более того, если задана внутренняя алгебра A , мы имеем I ( D ( A )) = A . Однако D ( I ( V )) = V не обязательно выполняется для каждой производной алгебры V .
Двойственность Стоуна обеспечивает категориальную теоретико-двойственность между булевыми алгебрами и классом топологических пространств, известных как булевы пространства . Основываясь на зарождающихся идеях реляционной семантики (позже формализованных Крипке ) и результатах RS Pierce, Jónsson , Tarski и G. Hansoul, двойственность Стоуна распространилась на булевы алгебры с операторами, снабдив булевы пространства отношениями, которые соответствуют операторам посредством конструкции множества мощности . В случае внутренних алгебр внутренний (или замыкающий) оператор соответствует предпорядку на булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известными как псевдоэпиморфизмы или p-морфизмы для краткости. Это обобщение двойственности Стоуна на внутренние алгебры, основанное на представлении Йонссона–Тарского, было исследовано Лео Эсакиа и также известно как двойственность Эсакиа для S4-алгебр (внутренних алгебр) и тесно связано с двойственностью Эсакиа для алгебр Гейтинга.
В то время как обобщение Йонссона–Тарского двойственности Стоуна применимо к булевым алгебрам с операторами в целом, связь между внутренними алгебрами и топологией допускает другой метод обобщения двойственности Стоуна, который является уникальным для внутренних алгебр. Промежуточным шагом в развитии двойственности Стоуна является теорема представления Стоуна , которая представляет булеву алгебру как поле множеств . Топология Стоуна соответствующего булева пространства затем генерируется с использованием поля множеств в качестве топологического базиса . Основываясь на топологической семантике, введенной Тан Цзао-Ченом для модальной логики Льюиса, МакКинзи и Тарский показали, что путем генерации топологии, эквивалентной использованию только комплексов, которые соответствуют открытым элементам в качестве базиса, получается представление внутренней алгебры как топологическое поле множеств — поле множеств на топологическом пространстве, которое замкнуто относительно взятия внутренностей или замыканий. Оснастив топологические поля множеств соответствующими морфизмами, известными как отображения полей , К. Натурман показал, что этот подход можно формализовать как категориальную двойственность Стоуна, в которой обычная двойственность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный внутренний оператор (булевы внутренние алгебры).
Предварительный порядок, полученный в подходе Йонссона–Тарского, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, в то время как промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума–Тарского для теории, использующей множества возможных миров в семантике Крипке, в которых выполняются предложения теории. Переход от поля множеств к булевому пространству несколько запутывает эту связь. Рассматривая поля множеств на предварительных порядках как отдельную категорию, эту глубокую связь можно сформулировать как теоретико-категорную дуальность, которая обобщает представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что с ограничениями на соответствующие гомоморфизмы такая дуальность может быть сформулирована для произвольных модальных алгебр и фреймов Крипке. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта дуальность применима к более общим топоморфизмам и может быть факторизована с помощью теоретико-категорного функтора через дуальность с топологическими полями множеств. Последние представляют алгебру Линденбаума–Тарского, используя множества точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предварительный порядок может быть получен как предварительный порядок специализации топологии МакКинзи–Тарского. Двойственность Эсакиа может быть восстановлена с помощью функтора, который заменяет поле множеств на булево пространство, которое оно генерирует. С помощью функтора, который вместо этого заменяет предварительный порядок на соответствующую ему топологию Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры как поля множеств, где топология является бикорефлексией Александрова топологии МакКинзи–Тарского. Подход к формулированию топологической двойственности для внутренних алгебр с использованием как топологии Стоуна подхода Йонссона–Тарского, так и топологии Александрова предпорядка для формирования битопологического пространства был исследован Г. Бежанишвили, Р. Майнсом и П. Дж. Моранди. Топология МакКинзи–Тарского внутренней алгебры является пересечением первых двух топологий.
Гжегорчик доказал, что теория замыканий первого порядка неразрешима . [1] [2] Натурман продемонстрировал, что теория наследственно неразрешима (все ее подтеории неразрешимы), и продемонстрировал бесконечную цепочку элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.
