Геопотенциал

Энергия, связанная с гравитацией Земли

Геопотенциал — это потенциал гравитационного поля Земли . Для удобства его часто определяют как отрицательную часть потенциальной энергии на единицу массы , так что вектор гравитации получается как градиент геопотенциала, без отрицания. В дополнение к фактическому потенциалу (геопотенциалу) можно также определить теоретический нормальный потенциал и их разность — возмущающий потенциал .

Концепции

Для геофизических приложений гравитация отличается от гравитации . Гравитация определяется как результирующая сила гравитации и центробежной силы, вызванной вращением Земли . Аналогично, соответствующие скалярные потенциалы могут быть добавлены для формирования эффективного потенциала, называемого геопотенциалом, . Поверхности постоянного геопотенциала или изоповерхности геопотенциала называются эквигеопотенциальными поверхностями (иногда сокращенно geop ), ^[1] также известными как поверхности уровня геопотенциала , эквипотенциальные поверхности или просто поверхности уровня . ^[2] ${\displaystyle W}$

Глобальная средняя морская поверхность близка к одному эквигеопотенциалу, называемому геоидом . ^[3] То, как гравитационная сила и центробежная сила складываются в силу, ортогональную геоиду, показано на рисунке (не в масштабе). На широте 50 градусов смещение между гравитационной силой (красная линия на рисунке) и локальной вертикалью (зеленая линия на рисунке) составляет фактически 0,098 градуса. Для движущейся материальной точки (атмосферы) центробежная сила больше не соответствует гравитационной, и векторная сумма не является точно ортогональной поверхности Земли. Это является причиной эффекта Кориолиса для атмосферного движения.

Баланс между гравитационной и центробежной силой на поверхности Земли

Геоид представляет собой слегка волнистую поверхность из-за неравномерного распределения масс внутри Земли; однако его можно аппроксимировать эллипсоидом вращения, называемым референц-эллипсоидом . В настоящее время наиболее широко используемый референц-эллипсоид, эллипсоид Геодезической системы отсчета 1980 года ( GRS80 ), аппроксимирует геоид с точностью чуть более ±100 м. Можно построить простую модель геопотенциала , которая имеет в качестве одной из своих эквипотенциальных поверхностей этот референц-эллипсоид с тем же модельным потенциалом, что и истинный потенциал геоида; эта модель называется нормальным потенциалом . Разность называется возмущающим потенциалом . Многие наблюдаемые величины гравитационного поля, такие как гравитационные аномалии и отклонения вертикали ( отвесной линии ), могут быть выражены в этом возмущающем потенциале. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle T=W-U}$

Фон

Схема двух масс, притягивающих друг друга

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что сила тяготения F, действующая между двумя точечными массами m ₁ и m ₂ с центром масс, разделенным r , определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

где G — гравитационная постоянная , а r̂ — радиальный единичный вектор . Для неточечного объекта с непрерывным распределением массы каждый элемент массы dm можно рассматривать как массу, распределенную по небольшому объему, поэтому интеграл объема по протяженности объекта 2 дает:

с соответствующим гравитационным потенциалом

где ρ ₂ = ρ( x , y , z ) — плотность массы в элементе объема и направлении от элемента объема к точечной массе 1. — гравитационная потенциальная энергия на единицу массы. ${\displaystyle u}$

Гравитационное поле Земли можно вывести из поля гравитационного потенциала ( геопотенциала ) следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} }$

что выражает вектор ускорения силы тяжести как градиент , потенциал силы тяжести. Векторная триада — это ортонормированный набор базовых векторов в пространстве, направленных вдоль осей координат. Здесь , и — геоцентрические координаты . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Формулировка

И гравитация, и ее потенциал содержат вклад центробежной псевдосилы, обусловленной вращением Земли. Мы можем записать

${\displaystyle W=V+\Phi \,}$

где - потенциал гравитационного поля , потенциал гравитационного поля и потенциал центробежного поля . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$

Центробежный потенциал

Центробежная сила на единицу массы, т.е. ускорение, определяется по формуле

${\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} }$

— вектор, указывающий на точку, рассматриваемую как прямая от оси вращения Земли. Можно показать, что это псевдосиловое поле в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, имеет потенциал, связанный с ним в терминах скорости вращения Земли, ω:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).}$

Это можно проверить, взяв оператор градиента ( ) этого выражения. ${\displaystyle \nabla }$

Центробежный потенциал также можно выразить через сферическую широту φ и геоцентрический радиус r :

${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\phi }$

Нормальный потенциал

Земля имеет форму эллипсоида . Поэтому геопотенциал можно точно аппроксимировать полем, в котором референц-эллипсоид Земли является одной из его эквипотенциальных поверхностей.

Как и фактическое геопотенциальное поле W , нормальное поле U (не путать с потенциальной энергией , также U ) строится как сумма из двух частей:

${\displaystyle U=\Psi +\Phi }$

где — нормальный гравитационный потенциал , — центробежный потенциал. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Точное выражение в замкнутой форме существует в терминах эллипсоидально-гармонических координат (не путать с геодезическими координатами ). ^[4] Его также можно выразить как разложение ряда в терминах сферических координат; усечение ряда приводит к: ^[4]

${\displaystyle \Psi \approx (GM/r)(1-(a/r)^{2}J_{2}((3/2)\cos ^{2}(\phi )-1/2))}$

где a — большая полуось , а J ₂ — второй динамический форм-фактор . ^[4]

Самый последний референц-эллипсоид Земли — GRS80 , или Geodetic Reference System 1980, который система глобального позиционирования использует в качестве своего референса. Его геометрические параметры: большая полуось a  = 6378137,0 м и сплющивание f  = 1/298,257222101. Если мы также потребуем, чтобы заключенная в нем масса M была равна известной массе Земли (включая атмосферу), как это предусмотрено стандартным гравитационным параметром GM = 3986005 × 10 ⁸ м ³ ·с ⁻² , мы получим для потенциала на референц-эллипсоиде:

${\displaystyle U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}}$

Очевидно, что это значение зависит от предположения, что потенциал асимптотически стремится к нулю на бесконечности ( ), как это принято в физике. Для практических целей разумнее выбрать нулевую точку нормальной гравитации в качестве точки отсчета эллипсоида и отнести потенциалы других точек к ней. ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

Тревожный потенциал

После того, как чистое, гладкое геопотенциальное поле было построено, сопоставляя известный референц-эллипсоид GRS80 с эквипотенциальной поверхностью (мы называем такое поле нормальным потенциалом ), мы можем вычесть его из истинного (измеренного) потенциала реальной Земли. Результат определяется как T , возмущающий потенциал : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T=W-U}$

Возмущающий потенциал T численно намного меньше, чем U или W , и отражает подробные, сложные изменения истинного гравитационного поля фактически существующей Земли от точки к точке, в отличие от общей глобальной тенденции, фиксируемой гладким математическим эллипсоидом нормального потенциала.

Геопотенциальное число

В практических наземных работах, например, при нивелировании , используется альтернативный вариант геопотенциала, называемый геопотенциальным числом , который отсчитывается от геоида вверх: где - геопотенциал геоида. ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=-\left(W-W_{0}\right),}$$ ${\displaystyle W_{0}}$

Простой случай: невращающаяся симметричная сфера.

В частном случае сферы со сферически симметричной плотностью массы ρ = ρ( s ); т.е. плотность зависит только от радиального расстояния

${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,.}$

Эти интегралы можно оценить аналитически. Это теорема о оболочках, гласящая, что в этом случае:

с соответствующим потенциалом

где M = ∫ _V ρ( s ) dxdydz — полная масса сферы.

Для целей спутниковой орбитальной механики геопотенциал обычно описывается разложением в ряд по сферическим гармоникам ( спектральное представление). В этом контексте геопотенциал принимается как потенциал гравитационного поля Земли, то есть без учета центробежного потенциала. Решение для геопотенциала в простом случае невращающейся сферы в единицах [м ² /с ² ] или [Дж/кг]: ^[5] $${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz}$$ $${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}\left[{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\right]dz}$$

Интегрируйте, чтобы получить : $${\displaystyle \Psi =Gm\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right]}$$

• Г =6,673 × 10−11 ^{Нм 2} /кг  2 ^— гравитационная постоянная,
• м =5,975 × 10 ²⁴  кг — масса Земли,
• а =6,378 × 10 ⁶  м — средний радиус Земли,
• z — геометрическая высота в метрах

Смотрите также

• Динамическая высота
• Геоид
• Геопотенциальная высота
• Модель геопотенциала
• Нормальная гравитация
• Физическая геодезия

Ссылки

1. Hooijberg, M. (2007). Геометрическая геодезия: использование информационных и компьютерных технологий. Springer Berlin Heidelberg. стр. 9. ISBN 978-3-540-68225-7. Получено 11.09.2023 .
2. "Геопотенциал". ametsoc.com . Получено 14 апреля 2023 г. .
3. Хейсканен, Вейкко Алексантери ; Мориц, Гельмут (1967). Физическая геодезия . У. Х. Фриман . ISBN 0-7167-0233-9.
4. Torge, Геодезия. 3-е изд. 2001.
5. Холтон, Джеймс Р. (2004). Введение в динамическую метеорологию (4-е изд.). Burlington: Elsevier . ISBN 0-12-354015-1.