Радиус Земли

Расстояние от поверхности Земли до точки вблизи ее центра

Радиус Земли (обозначается как R _🜨 или RE ₎ — это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности или вблизи нее. Если аппроксимировать фигуру Земли земным сфероидом ( сплюснутым эллипсоидом ), радиус варьируется от максимального ( экваториальный радиус , обозначается a ) почти в 6378 км (3963 мили) до минимального ( полярный радиус , обозначается b ) почти в 6357 км (3950 миль).

Обычно считается, что глобальное среднее значение составляет 6371 километр (3959 миль) с 0,3%-ной изменчивостью (±10 км) по следующим причинам. Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) предоставляет три справочных значения: средний радиус ( R ₁ ) трех радиусов, измеренных в двух точках экватора и полюсе; аутентичный радиус , который является радиусом сферы с той же площадью поверхности ( R ₂ ); и объемный радиус , который является радиусом сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид ( R ₃ ). ^[2] Все три значения составляют около 6371 километра (3959 миль).

Другие способы определения и измерения радиуса Земли включают либо радиус кривизны сфероида , либо фактическую топографию . Несколько определений дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, поскольку они учитывают локализованные эффекты.

Номинальный радиус Земли (обозначаемый ) иногда используется как единица измерения в астрономии и геофизике , коэффициент преобразования , используемый при выражении планетарных свойств как кратных или дробных величин постоянного земного радиуса; если выбор между экваториальным или полярным радиусом не определен явно, следует предполагать экваториальный радиус, как рекомендовано Международным астрономическим союзом (МАС). ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$

Введение

Масштабная диаграмма сплющенности эллипсоида отсчета IERS 2003 года с севером наверху. Светло-голубая область — круг. Внешний край темно-синей линии — эллипс с той же малой осью , что и у круга, и тем же эксцентриситетом, что и у Земли. Красная линия представляет собой линию Кармана на высоте 100 км (62 мили) над уровнем моря , а желтая область обозначает диапазон высот МКС на низкой околоземной орбите .

Вращение Земли , внутренние изменения плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. ^[a] Местный рельеф увеличивает дисперсию, что приводит к поверхности чрезвычайной сложности. Наши описания поверхности Земли должны быть проще реальности, чтобы быть читаемыми. Поэтому мы создаем модели для аппроксимации характеристик поверхности Земли, как правило, полагаясь на самую простую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из моделей, используемых в общем, включает некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы являются единственными твердыми телами, имеющими радиусы, но более широкое использование термина радиус распространено во многих областях, включая те, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приведен частичный список моделей поверхности Земли, упорядоченных от точных к более приближенным:

• Фактическая поверхность Земли
• Геоид , определяемый средним уровнем моря в каждой точке реальной поверхности ^[б]
• Сфероид , также называемый эллипсоидом вращения, геоцентрический для моделирования всей Земли или геодезический для региональных работ ^[c]
• Сфера​

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . ^[d] Также принято называть любой средний радиус сферической модели «радиусом Земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли не принято ссылаться на «радиус», поскольку в этом обычно нет практической необходимости. Вместо этого полезна высота над или под уровнем моря.

Независимо от модели, любой из этих геоцентрических радиусов попадает между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Таким образом, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что подтверждает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье обобщаются на любую крупную планету .

Физика деформации Земли

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплющенному эллипсоиду /сфероиду с выпуклостью на экваторе и сплющиванием на Северном и Южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сплющивания q определяется как

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

где ω — угловая частота , G — гравитационная постоянная , а M — масса планеты. ^[e] Для Земли ⁠1/д⁠ ≈ 289 , что близко к измеренному обратному сглаживанию ⁠1/ф⁠ ≈ 298.257 . Кроме того, выпуклость на экваторе показывает медленные изменения. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана через течения. ^[4]

Изменение плотности и толщины земной коры приводит к изменению силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница — высота геоида , положительная над или снаружи эллипсоида, отрицательная под или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко меняться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или сокращения ледяных масс (например, Гренландия ). ^[5]

Не все деформации возникают внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может привести к изменению поверхности Земли в заданной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия

Метод расчета радиуса Земли, предложенный Аль-Бируни (973 – ок.  1050 ), упростил измерение окружности по сравнению с проведением измерений в двух удаленных друг от друга точках.

Учитывая локальные и временные влияния на высоту поверхности, приведенные ниже значения основаны на модели «общего назначения», уточненной в глобальном масштабе с максимально возможной точностью в пределах 5 м (16 футов) от высоты референц-эллипсоида и в пределах 100 м (330 футов) от среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке. Подобно тору , кривизна в точке будет наибольшей (самой плотной) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.

Подводя итог, можно сказать, что локальные изменения рельефа не позволяют определить единый «точный» радиус. Можно принять только идеализированную модель. После оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, давая наилучший референц-эллипсоид ^{[ сломанный якорь ]} для исследуемой области. По мере того, как спутниковое дистанционное зондирование и особенно Глобальная система позиционирования приобретали все большую значимость, были разработаны истинные глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональной работы, лучше всего аппроксимируют Землю в целом.

Экстремумы: экваториальные и полярные радиусы

Следующие радиусы получены из референц-эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 года ( WGS-84 ) . ^[6] Это идеализированная поверхность, и измерения Земли, используемые для ее расчета, имеют неопределенность ±2 м как в экваториальном, так и в полярном измерениях. ^[7] Дополнительные расхождения, вызванные топографическими изменениями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого места использование более точных значений радиусов WGS-84 может не дать соответствующего улучшения точности . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Значение экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе округлено до 0,1 м, что, как ожидается, будет достаточным для большинства случаев. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

• Экваториальный радиус Земли a , или большая полуось , ^{[8] : 11} — это расстояние от ее центра до экватора , равное 6 378,1370 км (3 963,1906 миль). ^[9] Экваториальный радиус часто используют для сравнения Земли с другими планетами .

• Полярный радиус Земли b , или малая полуось ^{[8] : 11} — это расстояние от ее центра до Северного и Южного полюсов, и он равен 6356,7523 км (3949,9028 миль).

Радиусы, зависящие от местоположения

Три различных радиуса как функция широты Земли. R — геоцентрический радиус; M — меридиональный радиус кривизны; N — основной вертикальный радиус кривизны.

Геоцентрический радиус

Геоцентрический радиус — это расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ , определяемое по формуле: ^[10]

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}},}$

где a и b — соответственно экваториальный и полярный радиусы.

Экстремумы геоцентрических радиусов на эллипсоиде совпадают с экваториальным и полярным радиусами. Они являются вершинами эллипса и также совпадают с минимальным и максимальным радиусами кривизны.

Радиусы кривизны

Главные радиусы кривизны

Существует два главных радиуса кривизны : по меридиональному и перпендикулярному нормальному сечению .

Меридиональный

В частности, меридиональный радиус кривизны Земли (в направлении север-юг) в точке φ равен: ^[11]

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

где - эксцентриситет Земли. Это радиус, который Эратосфен измерил в своей дуговой системе . ${\displaystyle e}$

Главный вертикальный

Длина PQ, называемая простым вертикальным радиусом , равна . Длина IQ равна . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Если одна точка оказалась точно к востоку от другой, то можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад. ^[f]

Этот радиус кривизны Земли по вертикали , также называемый поперечным радиусом кривизны Земли , определяется перпендикулярно ( ортогонально ) точке М на геодезической широте φ ^[g] и равен: ^[11]

${\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

N также можно геометрически интерпретировать как нормальное расстояние от поверхности эллипсоида до полярной оси. ^[12] Радиус параллели широты определяется как . ^{[13] [14]} ${\displaystyle p=N\cos(\varphi )}$

Полярный и экваториальный радиус кривизны

Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен прямой полуширине меридиана :

М _е = ⁠б ²/а⁠  = 6,335.439 км

Радиус кривизны Земли по вертикали на экваторе равен экваториальному радиусу, N _e = a .

Полярный радиус кривизны Земли ( меридиональный или вертикальный) равен:

М _п = Н _п = ⁠а ²/б⁠  = 6,399.594 км

Вывод

Комбинированные радиусы кривизны

Азимутальный

Азимутальный радиус кривизны Земли вдоль нормального сечения Земли по азимуту (измеренному по часовой стрелке от севера) α и на широте φ выводится из формулы кривизны Эйлера следующим образом: ^{[16] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

Ненаправленный

Возможно комбинировать главные радиусы кривизны, указанные выше, ненаправленным образом.

Гауссовский радиус кривизны Земли на широте φ равен: ^[16]

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Где K — гауссова кривизна , . ${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$

Средний радиус кривизны Земли на широте φ составляет: ^{[16] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

Глобальные радиусы

Землю можно смоделировать как сферу многими способами. В этом разделе описываются общие способы. Различные радиусы, полученные здесь, используют обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из эллипсоида WGS-84 ; ^[6] а именно,

Экваториальный радиус : a = (6 378 .1370 км )

Полярный радиус : b = (6 356 .7523 км )

Поскольку сфера является грубым приближением сфероида, который, в свою очередь, является приближением геоида, единицы измерения здесь указаны в километрах, а не с миллиметровым разрешением, принятым в геодезии.

Средний арифметический радиус

Экваториальный ( а ), полярный ( б ) и среднеарифметический радиусы Земли, определенные в пересмотренной Всемирной геодезической системе 1984 года (не в масштабе)

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (МСГГ) определяет средний арифметический радиус Земли (обозначаемый R ₁ ) как ^[2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

Фактор два учитывает двухосную симметрию в сфероиде Земли, специализации трехосного эллипсоида. Для Земли среднеарифметический радиус составляет 6,371.0088 км (3,958.7613 миль). ^[17]

Аутентичный радиус

Аутентичный радиус Земли (что означает «равная площадь» ) — это радиус гипотетической идеальной сферы, которая имеет ту же площадь поверхности, что и референц-эллипсоид . В IUGG аутентичный радиус обозначается как R ₂ . ^[2] Для сфероида существует решение в замкнутой форме: ^[8]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{b/a}}\right)}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\big /}a}$ — эксцентриситет, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ — площадь поверхности сфероида.

Для Земли аутентичный радиус составляет 6 371,0072 км (3 958,7603 миль). ^[17]

Аутентичный радиус также соответствует радиусу (глобальной) средней кривизны , полученной путем усреднения гауссовой кривизны, , по поверхности эллипсоида. Используя теорему Гаусса–Бонне , это дает ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {\int K\,dA}{A}}={\frac {4\pi }{A}}={\frac {1}{R_{2}^{2}}}.}$

Объемный радиус

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом Земли , который является радиусом сферы, объем которой равен эллипсоиду. IUGG обозначает объемный радиус как R ₃ . ^[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

Для Земли объемный радиус равен 6 371,0008 км (3 958,7564 миль). ^[17]

Выпрямляющий радиус

Другой глобальный радиус — это радиус спрямления Земли , дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описанного любым полярным сечением эллипсоида. Для этого требуется эллиптический интеграл , чтобы найти, учитывая полярный и экваториальный радиусы:

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

Радиус выпрямления эквивалентен меридиональному среднему, который определяется как среднее значение M : ^[8]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

Для пределов интегрирования [0, ⁠π/2⁠ ], интегралы для выпрямляющего радиуса и среднего радиуса дают одинаковый результат, который для Земли составляет 6367,4491 км (3956,5494 мили).

Меридиональное среднее хорошо аппроксимируется полукубическим средним двух осей, ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$

что отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10−5 дюйма) ^;  среднее значение двух осей,

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

около 6 367,445 км (3 956,547 миль), также может быть использован.

Топографические радиусы

Математические выражения выше применяются к поверхности эллипсоида. Случаи ниже рассматривают топографию Земли , выше или ниже референц-эллипсоида . Таким образом, они являются топографическими геоцентрическими расстояниями , R _t , которые зависят не только от широты.

Топографические крайности

• Максимальное значение R _t : вершина Чимборасо находится на расстоянии 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
• Минимальное значение R _t : дно Северного Ледовитого океана находится на расстоянии 6352,8 км (3947,4 миль) от центра Земли. ^[18]

Топографическое глобальное среднее

Топографическое среднее геоцентрическое расстояние усредняет высоты повсюду, в результате чего получается значение230 м больше, чем средний радиус IUGG, аутентичный радиус или объемный радиус. Это топографическое среднее значение составляет 6,371.230 км (3,958.899 миль) с неопределенностью 10 м (33 фута). ^[19]

Производные величины: диаметр, окружность, длина дуги, площадь, объем.

Диаметр Земли просто в два раза больше радиуса Земли; например, экваториальный диаметр (2 a ) и полярный диаметр (2 b ). Для эллипсоида WGS84 это соответственно:

• 2 а = 12 756,2740 км (7 926,3812 миль) ,
• 2 b = 12 713,5046 км (7 899,8055 миль) .

Длина окружности Земли равна длине периметра . Экваториальная окружность — это просто периметр круга : C _e =2 πa , в терминах экваториального радиуса a . Полярная окружность равна C _p =4 m _p , четыре раза по четвертному меридиану m _p = aE ( e ), где полярный радиус b входит через эксцентриситет, e =(1− b ² / a ² ) ^0,5 ;подробности см. в разделе Эллипс#Окружность .

Длину дуги более общих кривых поверхности , таких как дуги меридианов и геодезические , также можно вывести из экваториальных и полярных радиусов Земли.

То же самое касается площади поверхности , основанной либо на картографической проекции , либо на геодезическом многоугольнике .

Объем Земли , или референц-эллипсоида, равен V = ⁠4/3⁠ π a ² b . Используя параметрыэллипсоида вращения WGS84 , a = 6 378,137 км и b =6 356 , 752 3142  км , V = 1,08321 × 10 ¹²  км ³ (2,5988 × 10 ¹¹  куб. миль) . ^[20]

Номинальные радиусы

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как , который определяется как точно 6378,1 км (3963,2 мили). ^{[1] : 3} Номинальный полярный радиус Земли определяется точно как = 6356,8 км (3949,9 мили). Эти значения соответствуют соглашению о нулевом земном приливе . Экваториальный радиус традиционно используется в качестве номинального значения, если только полярный радиус явно не требуется. ^{[1] : 4} Номинальный радиус служит единицей длины для астрономии . (Обозначение определено таким образом, что его можно легко обобщить для других планет ; например, для номинального полярного радиуса Юпитера .) ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{e\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{p\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{p\mathrm {J} }^{\mathrm {N} }}$

Опубликованные значения

В этой таблице приведены принятые значения радиуса Земли.

История

Первое опубликованное упоминание о размере Земли появилось около 350  г. до н. э. , когда Аристотель сообщил в своей книге «О небесах ^{» [22]} , что математики предположили, что окружность Земли составляет 400 000 стадий . Ученые интерпретировали цифру Аристотеля как от очень точной ^[23] до почти вдвое большей истинной величины. ^[24] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли были выполнены Эратосфеном примерно в 240 г. до н. э. Оценки погрешности измерения Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. ^[25] Как для Аристотеля, так и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок обусловлена ​​современной неопределенностью относительно того, какую длину стадиона они имели в виду.

Около 100 г. до н. э. Посидоний из Апамеи пересчитал радиус Земли и обнаружил, что он близок к радиусу Эратосфена, ^[26] но позже Страбон ошибочно приписал ему значение около 3/4 от реального размера. ^[27] Клавдий Птолемей около 150  г. н. э. дал эмпирические доказательства в пользу шарообразности Земли , ^[28] но он принял меньшее значение, приписанное Посидонию. Его весьма влиятельный труд, Альмагест , [ ^29] не оставил сомнений среди средневековых ученых в том, что Земля шарообразна, но они ошибались относительно ее размера.

К 1490 году Христофор Колумб считал, что путешествие на 3000 миль на запад от западного побережья Пиренейского полуострова позволит ему достичь восточных берегов Азии . ^[30] Однако принятие этого путешествия в 1492 году привело его флот в Америку . Экспедиция Магеллана (1519–1522), которая была первым кругосветным плаванием , убедительно доказала шарообразность Земли, ^[31] и подтвердила первоначальное измерение в 40 000 км (25 000 миль) Эратосфена.

Около 1690 года Исаак Ньютон и Христиан Гюйгенс утверждали, что Земля ближе к сплющенному сфероиду, чем к сфере. Однако около 1730 года Жак Кассини вместо этого выступил за вытянутый сфероид из-за различных интерпретаций задействованной ньютоновской механики . ^[32] Чтобы уладить этот вопрос, Французская геодезическая миссия (1735–1739) измерила один градус широты в двух местах, одно около Полярного круга , а другое около экватора . Экспедиция обнаружила, что предположение Ньютона было верным: ^[33] Земля сплющена на полюсах из-за центробежной силы вращения .

Смотрите также

• Окружность Земли
• Масса Земли
• Эффективный радиус Земли
• Геодезия
• Географическое расстояние
• Соприкасающаяся сфера
• История геодезии
• Радиус планеты

Примечания

1. Подробности см. на рисунках «Земля» , «Геоид» и «Земной прилив» .
2. У геоида нет единого центра; он меняется в зависимости от местных геодезических условий.
3. В геоцентрическом эллипсоиде центр эллипсоида совпадает с некоторым вычисленным центром Земли и наилучшим образом моделирует Землю в целом. Геодезические эллипсоиды лучше подходят для региональных особенностей геоида. Частичная поверхность эллипсоида подгоняется под регион, и в этом случае центр и ориентация эллипсоида обычно не совпадают с центром масс или осью вращения Земли.
4. Значение радиуса полностью зависит от широты в случае модели эллипсоида и почти так же — для геоида.
5. Это следует из правила определения Международного астрономического союза (2): планета принимает форму благодаря гидростатическому равновесию , где гравитационные и центробежные силы почти уравновешены. ^[3]
6. Направления восток-запад могут быть обманчивыми. Точка B, которая кажется прямо на восток от A, будет ближе к экватору, чем A. Таким образом, кривизна, найденная таким образом, меньше кривизны окружности постоянной широты, за исключением экватора. Запад можно заменить на восток в этом обсуждении.
7. N определяется как радиус кривизны в плоскости, которая нормальна как к поверхности эллипсоида, так и к меридиану, проходящему через конкретную интересующую точку.

Ссылки

1. Мамаек, Э. Э.; Прса, А; Торрес, Г; и др. (2015). «Резолюция B3 МАС 2015 г. о рекомендуемых номинальных константах преобразования для избранных солнечных и планетарных свойств». arXiv : 1510.07674 [astro-ph.SR].
2. Мориц, Х. (1980). Геодезическая система отсчета 1980 г. Архивировано 20 февраля 2016 г. в Wayback Machine по резолюции XVII Генеральной ассамблеи МСГГ в Канберре.
3. Генеральная Ассамблея IAU 2006: Результаты голосования по резолюции IAU Архивировано 2006-11-07 на Wayback Machine
4. Спутники раскрывают тайну больших изменений в гравитационном поле Земли, 1 августа 2002 г., Центр космических полетов имени Годдарда .
5. Грейс из НАСА обнаружила, что Гренландия тает быстрее, «видит» землетрясение на Суматре ^{[ постоянная неработающая ссылка ‍ ]} , 20 декабря 2005 г., Центр космических полетов Годдарда .
6. "Всемирная геодезическая система Министерства обороны 1984 года: ее определение и связь с локальными геодезическими системами" . Получено 17 октября 2018 г.
7. "Info" (PDF) . earth-info.nga.mil . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-08-04 . Получено 2008-12-31 .
8. Снайдер, JP (1987). Картографические проекции – рабочее руководство (Профессиональная статья Геологической службы США 1395) стр. 16–17. Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США.
9. "Экваториальный радиус Земли". Числовые стандарты для фундаментальной астрономии: астрономические константы: текущие наилучшие оценки (CBEs) . Рабочая группа I отдела МАС. 2012. Архивировано из оригинала 26-08-2016 . Получено 10-08-2016 .
10. Мохиндер С. Гревал; Ангус П. Эндрюс; Крис Г. Бартон (2020). Глобальные навигационные спутниковые системы, инерциальная навигация и интеграция (4-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 512. ISBN 978-1-119-54783-9.
11. Christopher Jekeli (2016). Геометрические системы отсчета в геодезии (PDF) . Университет штата Огайо, Колумбус, Огайо . Получено 13 мая 2023 г. .
12. Боуринг, BR (октябрь 1987 г.). «Заметки о кривизне в первичном вертикальном сечении». Survey Review . 29 (226): 195–196. doi :10.1179/sre.1987.29.226.195.
13. Бомфорд, Г. (1952). Геодезия . Oxford University Press.
14. Кристофер Джекели (2016). Геометрические системы отсчета в геодезии (PDF) . Университет штата Огайо, Колумбус, Огайо . Получено 13 мая 2023 г.
15. Lass, Harry (1950). Векторный и тензорный анализ . McGraw Hill Book Company, Inc. стр. 71–77. ISBN 9780070365209.
16. Torge, Wolfgang (2001). Геодезия. ISBN 9783110170726.
17. Moritz, H. (март 2000 г.). "Геодезическая система отсчета 1980 г.". Journal of Geodesy . 74 (1): 128–133. Bibcode :2000JGeod..74..128.. doi :10.1007/s001900050278. S2CID  195290884.
18. "Discover-TheWorld.com – Гуам – ИНТЕРЕСНЫЕ МЕСТА – Не пропустите – Марианская впадина". Guam.discover-theworld.com. 1960-01-23. Архивировано из оригинала 2012-09-10 . Получено 2013-09-16 .
19. Frédéric Chambat; Bernard Valette (2001). "Mean radius, mass, and inertia for reference Earth models" (PDF) . Physics of the Earth and Planetary Interiors . 124 (3–4): 234–253. Bibcode :2001PEPI..124..237C. doi :10.1016/S0031-9201(01)00200-X. Архивировано из оригинала (PDF) 30 июля 2020 г. . Получено 18 ноября 2017 г. .
20. Уильямс, Дэвид Р. (2004-09-01), Earth Fact Sheet, NASA , получено 2007-03-17
21. Филлипс, Уоррен (2004). Механика полета . John Wiley & Sons, Inc. стр. 923. ISBN 0471334588.
22. Аристотель . О небесах. Том. Книга II 298 Б. Получено 5 ноября 2017 г.
23. Драммонд, Уильям (1817). «О науке египтян и халдеев, часть I». The Classical Journal . 16 : 159.
24. Кларк, Александр Росс ; Гельмерт, Фридрих Роберт (1911). «Земля, Фигура»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Т. 8 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 801–813.
25. "Эратосфен, греческий ученый". Britannica.com . 2016.
26. Посидоний, фрагмент 202
27. Клеомед (во фрагменте 202) утверждал, что если расстояние измеряется каким-то другим числом, результат будет другим, и использование 3750 вместо 5000 дает следующую оценку: 3750 x 48 = 180 000; см. Фишер И., (1975), Другой взгляд на определения Эратосфена и Посидония окружности Земли , Ql. J. of the Royal Astron. Soc., Vol. 16, p. 152.
28. Терстон, Хью (1994). Ранняя астрономия . Нью-Йорк: Springer-Verlag New York. стр. 138. ISBN 0-387-94107-X.
29. "Альмагест – Птолемей (Елизавета)". projects.iq.harvard.edu . Получено 2022-11-05 .
30. Джон Фрили , До Галилея: Рождение современной науки в средневековой Европе (2013), ISBN 978-1468308501 
31. Нэнси Смайлер Левинсон (2001). Магеллан и первое кругосветное путешествие. Houghton Mifflin Harcourt. ISBN 978-0-395-98773-5. Получено 31 июля 2010 г.
32. Кассини, Жак (1738). Méthode de déterminer si la terre est sphérique ou non (на французском языке). Архивировано из оригинала 27 января 2018 г. Проверено 9 февраля 2023 г.
33. Леваллуа, Жан-Жак (1986). «Жизнь наук». Галлика . стр. 277–284, 288 . Проверено 22 мая 2019 г.

Внешние ссылки

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). " R ⊕ {\displaystyle R_{\oplus }} Радиус Земли (и экзопланеты)". Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .