Предел Фрэссе

Метод в математической логике

В математической логике , особенно в дисциплине теории моделей , предел Фрэссе (также называемый конструкцией Фрэссе или амальгамацией Фрэссе ) — это метод, используемый для построения (бесконечных) математических структур из их (конечных) подструктур . Это частный пример более общей концепции прямого ограничения категории . ^[1] Метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком Роланом Фрэссе . ^[2]

Основная цель конструкции Фрэссе — показать, как можно аппроксимировать ( счетную ) структуру ее конечно порожденными подструктурами. Учитывая класс конечных реляционных структур , если он удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), то существует уникальная счетная структура , называемая пределом Фрэссе , которая содержит все элементы как подструктуры . ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Общее исследование пределов Фрэссе и связанных с ним понятий иногда называют теорией Фрэссе . Эта область нашла широкое применение в других разделах математики, включая топологическую динамику , функциональный анализ и теорию Рамсея . ^[3]

Конечно сгенерированные подструктуры и возраст

Исправьте язык . Под -структурой мы подразумеваем логическую структуру, имеющую подпись . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Учитывая -структуру с доменом и подмножеством , мы используем для обозначения наименьшей подструктуры , область которой содержит (т.е. замыкание по всем функциям и постоянным символам в ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle \langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Подструктура тогда называется конечно порожденной, если для некоторого конечного подмножества . ^[4] Возраст , обозначенный , является классом всех конечно порожденных подструктур . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Можно доказать, что любой класс , являющийся возрастом некоторой структуры, удовлетворяет следующим двум условиям: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Наследственная собственность (HP)

Если и является конечно порожденной подструктурой , то изоморфна некоторой структуре из . ${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Совместное вложение собственности (JEP)

Если , то существует такое, что оба и вложимы в . ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Теорема Фрэссе

Коммутативная диаграмма , иллюстрирующая свойство амальгамации.

Как и выше, мы отметили, что для любой -структуры удовлетворяются HP и JEP. Фрассе доказал своего рода обратный результат: когда существует какое-либо непустое счетное множество конечно порожденных -структур, обладающее двумя вышеуказанными свойствами, то это возраст некоторой счетной структуры. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Кроме того, предположим, что это удовлетворяет следующим дополнительным свойствам. ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Объединенное имущество (АП)

Для любых структур , таких, что существуют вложения , , существует структура и вложения , такие что (т.е. они совпадают на образе A в обеих структурах). ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to C}$ ${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f':B\to D}$ ${\displaystyle g':C\to D}$ ${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$

Существенная счетность (EC)

С точностью до изоморфизма в множестве структур счетно . ${\displaystyle \mathbf {K} }$

В этом случае мы говорим, что K — класс Фрессе и существует единственная (с точностью до изоморфизма) счетная однородная структура, возраст которой равен ровно . ^[5] Эта структура называется пределом Фрэссе . ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Здесь однородный означает, что любой изоморфизм между двумя конечно порожденными подструктурами может быть расширен до автоморфизма всей структуры. ${\displaystyle \pi :A\to B}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$

Примеры

Типичным примером является класс всех конечных линейных порядков , для которых предел Фрэссе представляет собой плотный линейный порядок без концов (т. е. нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента ). По теореме Кантора об изоморфизме с точностью до изоморфизма это всегда эквивалентно структуре , т. е. рациональным числам с обычным порядком. ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$

В качестве примера отметим, что ни предел Фрэссе, ни предел . Это происходит потому, что, хотя оба они счетны и имеют возраст, ни один из них не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подструктуры и и изоморфизм между ними. Это не может быть расширено до автоморфизма или , поскольку не существует элемента, которому мы могли бы отобразить , сохраняя при этом порядок. ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle 2}$

Другой пример — класс всех конечных графов , пределом Фрэссе которых является граф Радо . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {Gph} }$

Для любого простого числа p предел Фрессе класса конечных полей характеристики p является алгебраическим замыканием . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

Предел Фрассе класса конечных абелевых p -групп равен (прямая сумма счетного числа копий группы Прюфера ). Предел Фрессе класса всех конечных абелевых групп равен . ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{p{\text{ prime}}}\mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}\simeq (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{(\omega )}}$

Пределом Фрэссе класса всех конечных групп является универсальная группа Холла .

Предел Фрэссе класса нетривиальных конечных булевых алгебр — это единственная счетная безатомная булева алгебра.

ω-категоричность и устранение кванторов

Рассматриваемый класс называется равномерно локально конечным, если для каждого существует равномерная граница размера -порожденных (подструктур) структур в . Предел Фрэссе ω -категоричен тогда и только тогда, когда равномерно локально конечен. ^[6] Если равномерно локально конечно, то предел Фрэссе имеет устранение квантора . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Если язык конечен и состоит только из отношений и констант, то он автоматически равномерно локально конечен. ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Например, класс конечномерных векторных пространств над фиксированным полем всегда является классом Фрэссе, но он равномерно локально конечен только в том случае, если поле конечно. Класс конечных булевых алгебр равномерно локально конечен, тогда как классы конечных полей заданной характеристики или конечных групп или абелевых групп не являются таковыми, поскольку 1-порожденные структуры в этих классах могут иметь сколь угодно большой конечный размер.

Смотрите также

• Структурная теория Рамсея
• Грушовское строительство

Рекомендации

1. "Кафе n-категории". golem.ph.utexas.edu . Проверено 8 января 2020 г.
2. Ходжес, Уилфрид. (1997). Более короткая модель теории . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58713-1. ОСЛК  468298248.
3. Лупини, Мартино (ноябрь 2018 г.). «Пределы Фрессе в функциональном анализе» (PDF) . Достижения в математике . 338 : 93–174. дои : 10.1016/j.aim.2018.08.012 . ISSN  0001-8708.
4. Шлихт, Филипп (7 января 2018 г.). «Введение в теорию моделей (конспекты лекций), Defn 2.2.1» (PDF) . Математический институт Боннского университета .
5. Заметки о бесконечных группах перестановок . Бхаттачарджи, М. (Минакси), 1965–. Берлин: Шпрингер. 1998. ISBN 3-540-64965-4. ОСЛК  39700621.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
6. Ходжес, Уилфрид (11 марта 1993 г.). Модельная теория. Издательство Кембриджского университета. п. 350. дои : 10.1017/cbo9780511551574. ISBN 978-0-521-30442-9.