В теории музыки волчья квинта (иногда называемая также прокрустовой квинтой или несовершенной квинтой ) [1] [2] представляет собой особенно диссонансный музыкальный интервал , охватывающий семь полутонов . Строго говоря, этот термин относится к интервалу, создаваемому определенной системой настройки , широко использовавшейся в шестнадцатом и семнадцатом веках: четверть запятой означала тон темперамента. [3] В более широком смысле, он также используется для обозначения аналогичных интервалов (близких, но переменных величин), создаваемых другими системами настройки, включая пифагорейские и наиболее средние темпераменты .
Когда двенадцать нот в пределах октавы хроматической гаммы настраиваются с использованием системы темпераментных означающих четвертных запятых, один из двенадцати интервалов, по-видимому, охватывающий семь полутонов , на самом деле представляет собой уменьшенную шестую , которая оказывается намного шире, чем стройная. настоящие квинты , [a] В системах средних тонов этот интервал обычно составляет от C ♯ до A ♭ или от G ♯ до E ♭ , но может быть перемещен в любом направлении в пользу определенных групп клавиш. [4] Одиннадцать чистых пятых звучат почти идеально созвучно. И наоборот, уменьшенная шестая часть, используемая в качестве замены, сильно диссонирует: она звучит как вой волка из -за явления, называемого биением . Поскольку уменьшенная шестая номинально энгармонически эквивалентна идеальной квинте, но в то же время в тоновом темпераменте энгармонические ноты находятся лишь рядом (в пределах примерно1/4острый или1/4плоский); несогласованность заменяемого интервала называется «волчьей квинтой».
Помимо вышеупомянутой четвертной запятой, означающей тон, другие системы настройки могут давать сильно диссонансные уменьшенные шестые части. И наоборот, в 12-тоновой равнотемперированной (12-TET) , которая в настоящее время является наиболее часто используемой системой настройки, уменьшенная шестая не является волчьей квинтой, поскольку она имеет точно такой же размер, как и идеальная квинта.
В более широком смысле, любой интервал, который воспринимается как резко диссонансный и рассматривается как «волчий вой», называется волчьим интервалом . Например, в четверти, означающей запятую, увеличенную секунду , увеличенную третью , увеличенную пятую , уменьшенную четвертую и уменьшенную седьмую можно назвать волчьими интервалами, так как соотношение их частот значительно отклоняется от соотношения соответствующего правильно настроенного интервала (см. Размер четверти). -запятая означает интервалы ).
Причиной появления «волчьих» тонов в настройках средних тонов является плохая практика, когда исполнители нажимают клавишу энгармонической ноты вместо ноты, которая не была настроена на клавиатуре; например, нажатие черной клавиши, настроенной на G ♯ , когда музыка требует A ♭ . Во всех системах настройки диез и бемоль не эквивалентны; пережиток которого, сохраняющийся в современной музыкальной практике, состоит в том, чтобы скрупулезно различать ноты для двух нот одинаковой высоты, одинаковой темперации ( «энгармонические» ) и играемых одной и той же клавишей на равнотемперированной клавиатуре (например, C ♯ и D ♭ , или E♯ и F ♮ ), несмотря на то, что они одинаковы во всём, кроме теории .
Чтобы замкнуть круг квинт в 12 нотных гаммах, двенадцать квинт должны в среднем составлять 700 центов . [b] Каждая из первых одиннадцати квинт (начиная с квинты ниже тоники , субдоминанты : F в тональности C, когда каждая черная клавиша настроена на средний тон-диез / без бемолей) имеет значение 700 − ε центов , где ε — некоторое небольшое количество центов, на которое расстраиваются все квинты. [c] В системах настройки темперации Meanone двенадцатая и последняя пятая не существуют в октаве из 12 нот на клавиатуре. На самом деле доступная нота представляет собой уменьшенную шестую часть : интервал составляет 700 + 11 ε центов , и это неправильная означающая одну квинту, которая будет равна 700 − ε центов. Разница в 12 ε центов между доступным шагом и запланированным шагом является источником «волка». Эффект «волка» особенно раздражает при значениях в 12 ε центов , приближающихся к 20–25 центам . [d] Упрощенная реакция на проблему такова: «Конечно , это звучит ужасно: вы играете не ту ноту!»
Поскольку в октаве обычной клавиатуры доступно только 12 нот, при настройке среднего тона всегда должны быть пропущены ноты. Например, один из вариантов настройки инструмента на мелодию для воспроизведения музыки в тональности C ♮ будет выглядеть следующим образом:
этот набор выбранных нот выделен жирным шрифтом, а некоторые пропущенные ноты выделены серым цветом. [э]
Это ограничение набора означало, что ноты, их диез и бемоль, которые можно было настроить на клавиатуре в любой момент, было основной причиной того, что исполнители на клавишных и оркестровых арфах периода барокко были вынуждены перенастраивать свои инструменты в перерывах между выступлениями, чтобы чтобы сделать доступными все случайности , необходимые для следующего музыкального произведения. [f] [g] Некоторую музыку, которая модулируется слишком далеко между клавишами, невозможно сыграть на одной клавиатуре или одной арфе, независимо от того, как она настроена: в приведенном выше примере настройки музыка, которая модулируется от до мажора до обоих ля мажор (что требует G ♯ для седьмой ноты ) и до минор (для которого требуется A ♭ для шестой ноты ) невозможно, поскольку каждая из двух означающих нот, G ♯ и A ♭ , требует одной и той же струны в каждой октаве инструмента. быть настроенными на их разные высоты.
Для удобства клавишники заменяют неправильный уменьшенный интервал на настоящую квинту (или пренебрегают перенастройкой своего инструмента). Хотя это и недоступно, настоящая квинта среднего тона будет согласной, но в системах настройки среднего тона (где ε не равно нулю) диез любой ноты всегда отличается от бемоль ноты над ней. Для средней клавиатуры, допускающей неограниченную модуляцию, теоретически потребуется бесконечное количество отдельных диезов и бемолей, а затем двойных диезов и двойных бемолей и т. д. На стандартной клавиатуре, имеющей всего 12 нот в октаве, неизбежно должны отсутствовать высоты звука. Значение ε меняется в зависимости от системы настройки. В других системах настройки (таких как настройка Пифагора и означающий тон двенадцатой запятой) каждая из одиннадцати пятых может иметь размер 700 + ε центов, таким образом, уменьшенная шестая часть составляет 700 − 11 ε центов. Если их разница 12 ε очень велика , как в системе настройки с четвертью запятой, уменьшенная шестая используется вместо квинты, ее называют «волчьей квинтой».
С точки зрения частотных соотношений , чтобы замкнуть круг квинт , произведение отношений квинт должно быть 128 (поскольку двенадцать квинт, если они замкнуты в круг, охватывают ровно семь октав; октава равна 2:1 , а 2 7 = 128 ), а если f — размер квинты, то 128 : f 11 или f 11 : 128 будет размером волка.
Мы также находим различные настройки для терций: основные терции должны составлять в среднем 400 центов, и на каждую пару третей размером 400 ∓ 4 ε центов у нас есть треть (или уменьшенная кварта) 400 ± 8 ε центов, что приводит к восьми терциям 4. ε центов уже или шире, а четыре уменьшенные четверти на 8 ε центов шире или уже, чем в среднем. Три из этих уменьшенных четвертей образуют мажорные трезвучия с идеальными квинтами, но одна из них образует мажорное трезвучие, заменяющее уменьшенную шестую настоящую квинту. Если уменьшенная шестая является волчьим интервалом, такое трезвучие называется волчьим мажорным трезвучием .
Аналогично мы получаем девять малых третей по 300 ± 3 ε цента и три малых трети (или увеличенные секунды) по 300 ∓ 9 ε центов.
В четверти запятой соотношение частот для квинты равно 4 √ 5 , что примерно на 3,42157 цента более плоское, чем равномерные 700 центов (или ровно одну двенадцатую диезиса ) , и поэтому волк составляет около 737,637 центов, или 35,682 . центов острее, чем идеальная квинта с соотношением ровно 3:2 , и это оригинальная «воющая» волчья квинта.
Плоские малые трети всего примерно на 2,335 цента острее, чем субмалая треть с соотношением 7:6 , а острые мажорные трети с соотношением точно 32:25 примерно на 7,712 цента более плоские , чем супермажорная треть с соотношением 9:7 . Настройка среднего тона с немного более плоскими квинтами дает еще большее приближение к субминорным и супермажорным терциям и соответствующим трезвучиям. Таким образом, эти трети вряд ли заслуживают названия волков, и фактически исторически им не давали этого имени.
Волчья пятая четверти запятой может быть аппроксимирована 7-предельным интервалом 49:32 , размер которого составляет 737,652 цента.
В пифагорейской настройке одиннадцать правильно настроенных квинт острее 700 центов примерно на 1,955 цента (или ровно на одну двенадцатую пифагорейской запятой ), и, следовательно, одна пятая будет более лестной в двенадцать раз, что составляет 23,460 цента (одна пифагорейская запятая). более плоский, чем просто пятый. Пятую эту квартиру тоже можно расценить как «воющую по-волчьи». Также теперь есть восемь острых и четыре плоских мажорных трети.
Настройка с пятью пределами была разработана для максимизации количества чистых интервалов, но даже в этой системе некоторые интервалы заметно загрязнены. 5-предельная настройка дает гораздо большее количество волчьих интервалов по сравнению с пифагорейской настройкой , которую можно считать 3-предельной просто интонационной настройкой. А именно, если пифагорейский строй определяет только два волчьих интервала (квинту и кварту), то пятипредельные симметричные гаммы дают их 12, а асимметричные — 14. Важно также отметить, что две квинты, три малые терции, и три основные шестые, отмеченные оранжевым цветом в таблицах (соотношения 40:27 , 32:27 и 27:16 ; или G↓, E ♭ ↓ и A↑), даже если они не полностью соответствуют условиям, чтобы быть волком. интервалы отклоняются от соответствующего чистого соотношения на величину (1 синтоническая запятая , т. е. 81:80 , или около 21,5 цента ), достаточно большую, чтобы их можно было явно воспринимать как диссонантные .
Настройка с пятью пределами определяет одну уменьшенную шестую от размера 1024:675 (около 722 центов, т.е. на 20 центов острее, чем идеальная пифагорейская квинта 3:2 ). Следует ли считать этот интервал достаточно диссонансным, чтобы называть его волчьей квинтой, — вопрос спорный.
Настройка с пятью пределами также создает две нечистые идеальные квинты размера 40:27 . Пятилимитная квинта стоит около 680 центов; менее чистый , чем пифагорейский 3:2 и/или просто 701,95500 центов с идеальной пятой. Это не уменьшенные шестые, но по сравнению с пифагорейской совершенной квинтой они менее согласны (примерно на 20 центов более плоские) и, следовательно, их можно считать волчьими квинтами. Соответствующая инверсия представляет собой нечистую чистую кварту размера 27:20 (около 520 центов ). Например, в диатонической гамме до мажор нечистая совершенная квинта возникает между D и A, а ее инверсия возникает между A и D.
Поскольку в этом контексте термин « совершенный» интерпретируется как «совершенно согласный», [5] нечистую совершенную кварту и идеальную квинту иногда называют просто несовершенной квартой и квинтой. [2] Однако широко распространенное стандартное соглашение об именах музыкальных интервалов классифицирует их как идеальные интервалы вместе с октавой и унисоном . Это также верно для любой идеальной кварты или идеальной квинты, которые немного отклоняются от идеально согласных соотношений 4:3 или 3:2 (например, тех, которые настроены с использованием 12 равных тонов или четверти запятой , означающей тон темперамента). И наоборот, выражения «несовершенная кварта» и «несовершенная квинта» не противоречат стандартному соглашению об именах, когда они относятся к диссонансной увеличенной терции или уменьшенной шестой (например, волчья кварта и квинта в пифагорейской настройке).
Интервалы Вольфа являются следствием сопоставления двухмерного темперамента с одномерной клавиатурой. [6] Единственное решение — сделать так, чтобы количество измерений совпадало. То есть либо:
Когда идеальная квинта темперируется до ширины ровно 700 центов (то есть темперируется примерно на1/11синтонной запятой, или точно1/12пифагорейской запятой), то строй идентичен знакомому 12-тональному равнотемперированному .
Из-за компромиссов (и волчьих интервалов), навязанных одномерной клавиатурой в стиле фортепиано, хорошие темпераменты и, в конечном итоге, равный темперамент стали более популярными.
Пятая часть размера, который предпочитал Моцарт, 55, равная 698,182 цента или около того, будет иметь волка в 720 центов: на 18,045 цента острее, чем правильно настроенная квинта. Это воет куда менее остро, но все же заметно.
Волка можно приручить, приняв у него ровный или хороший темперамент . Самые смелые могут просто захотеть относиться к этому как ксенгармоническому музыкальному интервалу; в зависимости от размера средней пятой ее можно сделать точно 20:13 или 17:11, реже — 32:21 или 49:32.
Обладая более выраженным средним темпераментом, например, 19 равного темперамента , волк достаточно велик, поэтому по размеру он ближе к шестой, чем квинтовой, и звучит вообще как другой интервал, а не как неправильно настроенная квинта.
Чтобы использовать двумерный темперамент без волчьих интервалов, нужна двумерная клавиатура, « изоморфная » этому темпераменту. Клавиатура и темперамент изоморфны, если они порождены одними и теми же интервалами. Например, клавиатура Вики, показанная на рисунке 1, генерируется теми же музыкальными интервалами, что и синтоническая темперация , то есть октавой и темперированной идеальной квинтой , поэтому они изоморфны.
На изоморфной клавиатуре любой музыкальный интервал имеет одинаковую форму, где бы он ни появлялся — в любой октаве, тональности и настройке — за исключением краев. Например, на клавиатуре Вики из любой ноты нота, которая является темперированной идеальной квинтой выше, всегда находится рядом с данной нотой вверх и вправо. В диапазоне нот этой клавиатуры нет волчьих интервалов. Единственная проблема — на краю, на ноте E ♯ . Нота, которая находится на темперированную идеальную квинту выше, чем E ♯, — это B ♯ , которая не включена в показанную клавиатуру (хотя ее можно включить в более крупную клавиатуру, расположенную справа от A ♯ , что обеспечивает постоянство ноты клавиатуры). -шаблон). Поскольку кнопки B ♯ нет , при игре пауэр-аккорда E ♯ необходимо выбрать другую ноту, близкую по высоте к B ♯ , например C, чтобы сыграть вместо отсутствующего B ♯ . То есть интервал от E ♯ до C на этой клавиатуре будет «волчьим интервалом». В 19-TET интервал от E ♯ до C ♭ будет (энгармоничным) идеальной квинтой.
Однако такие краевые условия создают волчьи интервалы только в том случае, если изоморфная клавиатура имеет меньше кнопок на октаву, чем настройка имеет энгармонически различные ноты. [6] Например, изоморфная клавиатура на рисунке 2 имеет 19 кнопок на октаву, поэтому указанное выше граничное условие от E ♯ до C не является интервалом волка в 12-TET , 17-TET или 19-TET. ; однако это интервал волка в 26-TET, 31-TET и 53-TET . В этих последних настройках использование электронного транспонирования может удерживать ноты текущей клавиши по центру изоморфной клавиатуры, и в этом случае эти волчьи интервалы будут очень редко встречаться в тональной музыке, несмотря на модуляцию экзотических клавиш. [8]
Клавиатура, которая изоморфна синтонической темперации, такая как клавиатура Вики, описанная выше, сохраняет свой изоморфизм при любой настройке в пределах континуума настройки синтонической темперации, даже при динамическом изменении настройки среди таких настроек. [8] Пламондон, Милн и Сетарес (2009), [8] На рисунке 2 показан действительный диапазон настройки синтонического темперамента.
...музыкальный интервал «пифагорейская мажорная терция».
идеальное согласие.
