Функция линейного отклика

Функция линейного ответа описывает взаимосвязь ввода-вывода преобразователя сигнала , например, радио, превращающего электромагнитные волны в музыку, или нейрона , превращающего синаптический вход в ответ. Из-за его многочисленных приложений в теории информации , физике и технике существуют альтернативные названия для конкретных функций линейного отклика, таких как восприимчивость , импульсный отклик или импеданс ; см. также передаточную функцию . С этим тесно связано понятие функции Грина или фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения .

Математическое определение

Обозначим вход системы (например, силу ), а реакцию системы (например, положение). Как правило, значение будет зависеть не только от текущей стоимости , но и от прошлых значений. Приблизительно представляет собой взвешенную сумму предыдущих значений с весами, заданными функцией линейного отклика : ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t')}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$

$${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\cdots \,.}$$

Явный член в правой части является главным членом разложения Вольтерра для полного нелинейного ответа. Если рассматриваемая система сильно нелинейна, члены более высокого порядка в разложении, обозначенные точками, становятся важными, и преобразователь сигнала не может быть адекватно описан только с помощью его линейной функции отклика.

Комплексное преобразование Фурье функции линейного отклика очень полезно, поскольку оно описывает выходной сигнал системы, если входной сигнал представляет собой синусоидальный сигнал с частотой . Вывод читается ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle x(\omega )=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

с усилением амплитуды и фазовым сдвигом . ${\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\omega )|}$ ${\displaystyle \arg {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Пример

Рассмотрим затухающий гармонический генератор с входным сигналом, заданным внешней движущей силой : ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

Комплексное преобразование Фурье функции линейного отклика имеет вид

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

Прирост амплитуды определяется величиной комплексного числа и фазовым сдвигом на арктан мнимой части функции, деленной на действительную. ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega ),}$

Из этого представления мы видим, что при малых преобразование Фурье функции линейного отклика дает ярко выраженный максимум (« Резонанс ») на частоте . Функция линейного отклика гармонического генератора математически идентична функции RLC-цепи . Ширина максимума, как правило, намного меньше, поэтому добротность может быть чрезвычайно большой. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega ,}$ ${\displaystyle \omega _{0},}$ ${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$

Формула Кубо

Изложение теории линейного отклика в контексте квантовой статистики можно найти в статье Рёго Кубо . ^[1] Это определяет, в частности, формулу Кубо , которая рассматривает общий случай, когда «сила» h ( t ) является возмущением основного оператора системы, гамильтониана , где соответствует измеримой величине в качестве входного сигнала, а выходной сигнал x ( t ) — возмущение теплового ожидания другой измеримой величины . Тогда формула Кубо определяет квантово-статистический расчет восприимчивости по общей формуле, включающей только упомянутые операторы. ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$

Вследствие принципа причинности комплексная функция имеет полюсы только в нижней полуплоскости. Это приводит к соотношениям Крамерса-Кронига , которые связывают действительную и мнимую части путем интегрирования. Простейшим примером снова является затухающий гармонический генератор . ^[2] ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$

Смотрите также

• Свертка
• Отношения Грина-Кубо
• Теорема о флуктуациях
• Дисперсия (оптика)
• Уравнение Линдблада
• Полулинейный отклик
• функция Грина
• Импульсивный ответ
• Резольвентный формализм
• Распространитель

Рекомендации

1. Кубо, Р., Статистическая механическая теория необратимых процессов I , Журнал Физического общества Японии, том. 12 , стр. 570–586 (1957).
2. Де Клозо, Теория линейного отклика , в: Э. Антончик и др., Теория конденсированного состояния , МАГАТЭ, Вена, 1968.

Внешние ссылки

• Функции линейного отклика в Еве Паварини, Эрике Кохе, Дитере Воллхардте и Александре Лихтенштейне (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9