Фаза (волны)

Прошедшая часть цикла периодической функции

График одного цикла синусоидальной функции. Фаза для каждого значения аргумента относительно начала цикла показана внизу в градусах от 0° до 360° и в радианах от 0 до 2π.

В физике и математике фаза (символ φ или ϕ) волны или другой периодической функции некоторой действительной переменной (например, времени) — это величина , подобная углу , представляющая часть цикла, охватываемую до . Она выражается в таком масштабе , что она изменяется на один полный оборот , когда переменная проходит через каждый период (и проходит через каждый полный цикл). Она может быть измерена в любой угловой единице, такой как градусы или радианы , таким образом увеличиваясь на 360° или когда переменная завершает полный период. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle t}$

Это соглашение особенно подходит для синусоидальной функции, поскольку ее значение при любом аргументе может быть выражено как синус фазы , умноженный на некоторый коэффициент ( амплитуду синусоиды). ( Вместо синуса можно использовать косинус , в зависимости от того, где считать начало каждого периода.) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

Обычно целые обороты игнорируются при выражении фазы; так что это также периодическая функция с тем же периодом, что и , которая многократно сканирует тот же диапазон углов, который проходит через каждый период. Тогда говорят, что она «находится в той же фазе» при двух значениях аргумента и (то есть ), если разница между ними составляет целое число периодов. ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \varphi (t_{1})=\varphi (t_{2})}$

Числовое значение фазы зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, которому должен соответствовать каждый период. ${\displaystyle \varphi (t)}$

Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции со смещенной ее версией. Если сдвиг в выражен как доля периода, а затем масштабирован до угла, охватывающего целый оборот, то получается сдвиг фазы , смещение фазы или разность фаз относительно . Если — «каноническая» функция для класса сигналов, как для всех синусоидальных сигналов, то называется начальной фазой . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

Математическое определение

Пусть сигнал будет периодической функцией одной действительной переменной, а — ее период (то есть наименьшее положительное действительное число, такое что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(t+T)=F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]}$$

Здесь обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть, то есть ; а — произвольное «исходное» значение аргумента, которое считают началом цикла. ${\displaystyle [\![\,\cdot \,]\!]\!\,}$ ${\displaystyle [\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, совершая полный оборот за каждую секунду, и указывает прямо вверх в момент времени . Фаза тогда представляет собой угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки в момент времени , измеренный по часовой стрелке . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

Концепция фазы наиболее полезна, когда начало координат выбирается на основе особенностей . Например, для синусоиды удобным выбором является любое место , где значение функции изменяется от нуля до положительного. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

Формула выше дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используют ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle +\pi }$ $${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)}$$

Фаза, выраженная в градусах (от 0° до 360° или от −180° до +180°), определяется таким же образом, за исключением того, что вместо «2π» используется «360°».

Последствия

При любом из приведенных выше определений фаза периодического сигнала также является периодической, с тем же периодом : ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \varphi (t+T)=\varphi (t)\quad \quad {\text{ for all }}t.}$$

Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть $${\displaystyle \varphi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {\text{ for any integer }}k.}$$

Более того, для любого заданного выбора начала координат значение сигнала для любого аргумента зависит только от его фазы в . А именно, можно записать , где — функция угла, определенная только для одного полного оборота, которая описывает изменение в виде диапазонов за один период. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)=f(\varphi (t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

Фактически, каждый периодический сигнал с определенной формой волны может быть выражен как , где — «каноническая» функция фазового угла в диапазоне от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы волны; а — масштабный коэффициент для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что начальное время, выбранное для вычисления фазы, соответствует аргументу 0 .) ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(t)=A\,w(\varphi (t))}$$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle w}$

Добавление и сравнение фаз

Поскольку фазы являются углами, любые целые полные обороты обычно следует игнорировать при выполнении арифметических операций над ними. То есть, сумма и разность двух фаз (в градусах) должны вычисляться по формулам соответственно. Так, например, сумма фазовых углов 190° + 200° составляет 30° ( 190 + 200 = 390 , минус один полный оборот), а вычитание 50° из 30° дает фазу 340° ( 30 − 50 = −20 , плюс один полный оборот). $${\displaystyle 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]}$$

Аналогичные формулы справедливы для радиан, только вместо 360. ${\displaystyle 2\pi }$

Фазовый сдвиг

Иллюстрация сдвига фаз. Горизонтальная ось представляет угол (фазу), который увеличивается со временем.

Фазовращатель с использованием IQ-модулятора

Разность фаз двух периодических сигналов и называется разностью фаз или сдвигом фаз относительно . ^[1] При значениях , когда разность равна нулю, говорят, что два сигнала находятся в фазе; в противном случае они не совпадают по фазе друг с другом . ${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{G}(t)-\varphi _{F}(t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

В часовой аналогии каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) тех же часов, оба вращаются с постоянной, но, возможно, разной скоростью. Разность фаз тогда представляет собой угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.

Разность фаз особенно важна, когда два сигнала складываются вместе физическим процессом, например, две периодические звуковые волны, испускаемые двумя источниками и записываемые вместе микрофоном. Это обычно имеет место в линейных системах, когда выполняется принцип суперпозиции .

Для аргументов, когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Один говорит, что происходит конструктивная интерференция . При аргументах , когда фазы различны, значение суммы зависит от формы волны. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Для синусоид

Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз составляет 180° ( радиан), говорят, что фазы противоположны , и что сигналы находятся в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки, и возникает деструктивная интерференция . ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle \pi }$Наоборот, изменение фазы или инверсия фазы подразумевает сдвиг фазы на 180 градусов. ^[2]

Когда разность фаз составляет четверть оборота (прямой угол, +90° = π/2 или −90° = 270° = −π/2 = 3π/2 ), синусоидальные сигналы иногда называют квадратурными , например, синфазные и квадратурные компоненты составного сигнала или даже разные сигналы (например, напряжение и ток). ${\displaystyle \varphi (t)}$

Если частоты различны, разность фаз увеличивается линейно с аргументом . Периодические изменения от усиления и противодействия вызывают явление, называемое биением . ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

Для смещенных сигналов

Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала со смещенной и, возможно, масштабированной его версией. То есть, предположим, что для некоторых констант и всех . Предположим также, что начало координат для вычисления фазы также смещено. В этом случае разность фаз является константой (не зависящей от ), называемой «фазовым сдвигом» или «фазовым смещением» относительно . В аналогии с часами эта ситуация соответствует двум стрелкам, вращающимся с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянен. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(t)=\alpha \,F(t+\tau )}$ ${\displaystyle \alpha ,\tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

В этом случае сдвиг фазы — это просто сдвиг аргумента , выраженный как доля общего периода (в терминах операции по модулю ) двух сигналов, а затем масштабированный до полного оборота: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right].}$$

Если является «каноническим» представителем класса сигналов, например, для всех синусоидальных сигналов, то сдвиг фаз называется просто начальной фазой . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

Поэтому, когда два периодических сигнала имеют одинаковую частоту, они всегда находятся в фазе или всегда не в фазе. Физически такая ситуация часто возникает по многим причинам. Например, два сигнала могут быть периодической звуковой волной, записанной двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, они могут быть периодическими звуковыми волнами, созданными двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записанными одним микрофоном. Они могут быть радиосигналом , который достигает приемной антенны по прямой линии, и его копией, которая была отражена от большого здания поблизости.

Известным примером разности фаз является длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если — длина, видимая в одно и то же время в одной точке, а — длина, видимая в то же время на долготе 30° к западу от этой точки, то разность фаз между двумя сигналами составит 30° (предполагая, что в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая). ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

Для синусоид с одинаковой частотой

Для синусоидальных сигналов (и некоторых других форм волн, таких как квадратная или симметричная треугольная) сдвиг фазы на 180° эквивалентен сдвигу фазы на 0° с отрицанием амплитуды. Когда два сигнала с такими формами волн, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются, сумма либо тождественно равна нулю, либо представляет собой синусоидальный сигнал с одинаковым периодом и фазой, амплитуда которого равна разности исходных амплитуд. ${\displaystyle F+G}$

Фазовый сдвиг функции косинуса относительно синуса составляет +90°. Отсюда следует, что для двух синусоидальных сигналов и с одинаковой частотой и амплитудами и , и имеет фазовый сдвиг +90° относительно , ​​сумма представляет собой синусоидальный сигнал с той же частотой, с амплитудой и фазовым сдвигом от , такой что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F+G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C.}$$

Синфазные сигналы

Несовпадающие по фазе сигналы

Представление сравнения фаз. ^[3]

Слева: действительная часть плоской волны, движущейся сверху вниз. Справа: та же волна после того, как центральный участок претерпел сдвиг фаз, например, пройдя через стекло другой толщины, чем другие части.

Не в фазе АЭ

Реальный пример звуковой разности фаз происходит в трели флейты коренных американцев . Амплитуда различных гармонических компонентов одной и той же длительно удерживаемой ноты на флейте становится доминирующей в различных точках фазового цикла. Разницу фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трели флейты. ^[4]

Фазовое сравнение

Сравнение фаз — это сравнение фазы двух форм волн, обычно одной и той же номинальной частоты. Во времени и частоте целью сравнения фаз обычно является определение смещения частоты (разницы между циклами сигнала) относительно опорной. ^[3]

Сравнение фаз можно выполнить, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу . Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. На соседнем изображении верхний синусоидальный сигнал — это тестовая частота , а нижний синусоидальный сигнал — это сигнал от опорного источника.

Если бы две частоты были совершенно одинаковыми, их фазовое соотношение не изменилось бы, и обе частоты казались бы неподвижными на дисплее осциллографа. Поскольку две частоты не совсем одинаковы, опорная частота кажется неподвижной, а тестовый сигнал движется. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.

Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. В нижней части рисунка показаны полосы, ширина которых представляет собой разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, указывая на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный. ^[3]

Формула для фазы колебания или периодического сигнала

Фаза простого гармонического колебания или синусоидального сигнала — это значение в следующих функциях: где , , и — постоянные параметры, называемые амплитудой , частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы являются периодическими с периодом , и они идентичны, за исключением смещения вдоль оси. Термин фаза может относиться к нескольким различным вещам: ${\textstyle \varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A\cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle T={\frac {1}{f}}}$ ${\textstyle {\frac {T}{4}}}$ ${\textstyle t}$

• Он может ссылаться на указанную ссылку, например , , в этом случае мы бы сказали, что фаза равна , а фаза равна . ${\textstyle \cos(2\pi ft)}$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$
• Он может относиться к , в этом случае мы бы сказали, что и имеют одну и ту же фазу , но относятся к своим собственным конкретным ссылкам. ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle y(t)}$
• В контексте коммуникационных волновых форм изменяющийся во времени угол или его главное значение называют мгновенной фазой , часто просто фазой . ${\textstyle 2\pi ft+\varphi }$

Абсолютная фаза

Абсолютная фаза — это фаза формы волны относительно некоторого стандарта (строго говоря, фаза всегда относительна). В той степени, в которой этот стандарт принимается всеми сторонами, можно говорить об абсолютной фазе в определенной области применения.

Смотрите также

• Абсолютная фаза
• Фаза переменного тока
• Синфазные и квадратурные компоненты
• Мгновенная фаза
• кривая Лиссажу
• Фазовая отмена
• Проблема фазы
• Фазовый спектр
• Фазовая скорость
• Фазор
• Поляризация (волны)
• Когерентность (физика) , свойство волны демонстрировать четко определенные фазовые соотношения в различных областях ее области определения.
• Преобразование Гильберта , метод изменения фазы на 90°
• Сдвиг фазы отражения , изменение фазы, которое происходит, когда волна отражается от границы из быстрой среды в медленную среду.

Ссылки

1. Ballou, Glen (2005). Справочник для звукорежиссеров (3-е изд.). Focal Press, Gulf Professional Publishing. стр. 1499. ISBN 978-0-240-80758-4.
2. «Федеральный стандарт 1037C: Глоссарий терминов по телекоммуникациям».
3. Время и частота от A до Z (2010-05-12). "Фаза". Nist . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Получено 12 июня 2016 г.Этот контент был скопирован и вставлен с веб-страницы NIST и находится в открытом доступе .
4. Клинт Госс; Барри Хиггинс (2013). "The Warble". Flutopedia . Получено 2013-03-06 .

Внешние ссылки

• «Что такое фаза?». Проф. Джеффри Хасс. « Пособие по акустике », раздел 8. Университет Индианы , 2003. См. также: (страницы 1–3, 2013)
• Фазовый угол, разность фаз, временная задержка и частота
• ECE 209: Источники сдвига фаз — Обсуждаются источники сдвига фаз во временной области в простых линейных стационарных цепях.
• Физика с открытым исходным кодом JavaScript HTML5
• Java-апплет разности фаз