Вращение осей в двух измерениях

Преобразование координат через угол

xy -декартова система координат , повернутая на угол в x′y′ -декартова система координат ${\displaystyle \theta }$

В математике поворот осей в двух измерениях — это отображение из xy — декартовой системы координат в x′y′ — декартову систему координат, в которой начало координат остается фиксированным, а оси x′ и y′ получаются поворотом осей x и y против часовой стрелки на угол . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x′ , y′ ) относительно новой системы. ^[1] В новой системе координат точка P будет казаться повернутой в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол . Поворот осей в более чем двух измерениях определяется аналогично. ^{[2] [3]} Поворот осей — это линейное отображение ^{[4] [5]} и жесткое преобразование . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых с использованием методов аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси размещаются в удобном положении относительно рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол фокусы обычно располагаются на одной из осей и располагаются симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. д.) не расположена удобно относительно осей, систему координат следует изменить, чтобы поместить кривую в удобное и привычное место и ориентацию. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат . ^[6]

Решения многих задач можно упростить, вращая оси координат для получения новых осей через то же начало координат.

Вывод

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое поворачивает оси xy против часовой стрелки на угол в оси x′y′ , выводятся следующим образом. ${\displaystyle \theta }$

Пусть в системе xy точка P имеет полярные координаты . Тогда в системе x′y′ точка P будет иметь полярные координаты . ${\displaystyle (r,\alpha )}$ ${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$

Используя тригонометрические функции , имеем

и используя стандартные тригонометрические формулы для разностей, имеем

Подставляя уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в уравнения ( 3 ) и ( 4 ), получаем ^[7]

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) можно представить в матричной форме как $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

что является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях. ^[8]

Обратное преобразование — ^[9]

или $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

Примеры в двух измерениях

Пример 1

Найдите координаты точки после поворота осей на угол , или 30°. ${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$

Решение: $${\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}$$ $${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.}$$

Оси были повернуты против часовой стрелки на угол и новые координаты равны . Обратите внимание, что точка, по-видимому, была повернута по часовой стрелке относительно фиксированных осей, поэтому теперь она совпадает с (новой) осью x′ . ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$ ${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$ ${\displaystyle \pi /6}$

Пример 2

Найдите координаты точки после поворота осей по часовой стрелке на 90°, то есть на угол , или -90°. ${\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$ ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$

Решение: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.}$$

Оси были повернуты на угол , что соответствует направлению по часовой стрелке, а новые координаты — . Опять же, обратите внимание, что точка, по-видимому, была повернута против часовой стрелки относительно фиксированных осей. ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$ ${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Вращение конических сечений

Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид

С помощью изменения координат (поворот осей и перенос осей ) уравнение ( 9 ) можно привести к стандартной форме , с которой обычно проще работать. Всегда можно повернуть координаты на определенный угол, чтобы исключить член x′y′ . Подставляя уравнения ( 7 ) и ( 8 ) в уравнение ( 9 ), получаем

где

Если выбрано так, что мы будем иметь и член x′y′ в уравнении ( 10 ) исчезнет. ^[11] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$ ${\displaystyle B'=0}$

Когда возникает проблема с B , D и E, которые все отличны от нуля, их можно устранить, выполнив последовательно поворот (исключая B ) и перенос (исключая члены D и E ). ^[12]

Определение повернутых конических сечений

Невырожденное коническое сечение, заданное уравнением ( 9 ), можно определить, оценив . Коническое сечение равно: ^[13] ${\displaystyle B^{2}-4AC}$

• эллипс или круг, если ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
• парабола, если ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• гипербола, если . ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что прямоугольная система координат xyz поворачивается вокруг своей оси z против часовой стрелки (глядя вниз по положительной оси z ) на угол , то есть положительная ось x немедленно поворачивается в положительную ось y . Координата z каждой точки остается неизменной, а координаты x и y преобразуются, как указано выше. Старые координаты ( x , y , z ) точки Q связаны с ее новыми координатами ( x′ , y′ , z′ ) соотношением ^[14] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

Обобщая на любое конечное число измерений, матрица вращения — это ортогональная матрица , которая отличается от единичной матрицы максимум четырьмя элементами. Эти четыре элемента имеют вид ${\displaystyle A}$

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$     и     ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

для некоторых и некоторых i ≠ j . ^[15] ${\displaystyle \theta }$

Пример в нескольких измерениях

Пример 3

Найдите координаты точки после поворота положительной оси w на угол , или 15°, в положительную ось z . ${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$ ${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$

Решение: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Вращение
• Вращение (математика)

Примечания

1. Проттер и Морри (1970, стр. 320)
2. Антон (1987, стр. 231)
3. Бремя и ярмарки (1993, стр. 532)
4. Антон (1987, стр. 247)
5. Борегар и Фрели (1973, стр. 266)
6. Проттер и Морри (1970, стр. 314–315)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 320–321)
8. Антон (1987, стр. 230)
9. Проттер и Морри (1970, стр. 320)
10. Проттер и Морри (1970, стр. 316)
11. Проттер и Морри (1970, стр. 321–322)
12. Проттер и Морри (1970, стр. 324)
13. Проттер и Морри (1970, стр. 326)
14. Антон (1987, стр. 231)
15. Бремя и ярмарки (1993, стр. 532)

Ссылки

• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042