Перевод осей

Преобразование координат, перемещающее начало координат

В математике перевод осей в двух измерениях — это отображение из xy — декартовой системы координат в x'y' — декартову систему координат, в которой ось x' параллельна оси x и отстоит на k единиц, а ось y' параллельна оси y и отстоит на h единиц. Это означает, что начало O' новой системы координат имеет координаты ( h , k ) в исходной системе. Положительные направления x' и y' считаются такими же, как положительные направления x и y . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x' , y' ) относительно новой системы, где

или эквивалентно

В новой системе координат точка P будет казаться смещенной в противоположном направлении. Например, если xy -система смещена на расстояние h вправо и на расстояние k вверх, то P будет казаться смещенной на расстояние h влево и на расстояние k вниз в x'y' -системе. Смещение осей в более чем двух измерениях определяется аналогично. ^[3] Смещение осей является жестким преобразованием , но не линейным отображением . (См. Аффинное преобразование .)

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых с использованием методов аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси размещаются в удобном положении относительно рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол фокусы обычно располагаются на одной из осей и располагаются симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. д.) не расположена удобно относительно осей, систему координат следует изменить, чтобы поместить кривую в удобное и привычное место и ориентацию. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат . ^[4]

Решения многих задач можно упростить, переместив оси координат, чтобы получить новые оси, параллельные исходным. ^[5]

Перевод конических сечений

Уравнение конического сечения путем замены координат можно привести к стандартной форме , с которой обычно проще работать. Для наиболее общего уравнения второй степени, которое принимает вид

всегда можно выполнить поворот осей таким образом, что в новой системе уравнение примет вид

то есть, исключая член xy . ^[6] Далее, перенос осей может свести уравнение формы ( 3 ) к уравнению той же формы, но с новыми переменными ( x' , y' ) в качестве координат, и с D и E , равными нулю (за некоторыми исключениями, например, параболами). Главным инструментом в этом процессе является «завершение квадрата». ^[7] В следующих примерах предполагается, что поворот осей уже был выполнен.

Пример 1

Учитывая уравнение

${\displaystyle 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y-116=0,}$

Используя перенос осей, определите, является ли геометрическое место уравнения параболой, эллипсом или гиперболой. Определите фокусы (или фокус), вершины (или вершину) и эксцентриситет .

Решение: Чтобы возвести в квадрат x и y , запишите уравнение в виде

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=116.}$

Заполните квадраты и получите

${\displaystyle 9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=116+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

Определять

${\displaystyle x'=x+1}$     и     ${\displaystyle y'=y-2.}$

То есть, перевод в уравнениях ( 2 ) выполняется с помощью Уравнение в новой системе координат имеет вид ${\displaystyle h=-1,k=2.}$

Разделите уравнение ( 5 ) на 225, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{25}}+{\frac {y'^{2}}{9}}=1,}$

который можно распознать как эллипс с В системе x'y' мы имеем: центр ; вершины ; фокусы ${\displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=4,e={\tfrac {4}{5}}.}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 5,0)}$ ${\displaystyle (\pm 4,0).}$

В системе xy используйте соотношения для получения: центра ; вершин ; фокусов ; эксцентриситета ^[8] ${\displaystyle x=x'-1,y=y'+2}$ ${\displaystyle (-1,2)}$ ${\displaystyle (4,2),(-6,2)}$ ${\displaystyle (3,2),(-5,2)}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}.}$

Обобщение на несколько измерений

Для xyz -декартовой системы координат в трех измерениях предположим, что введена вторая декартова система координат с осями x' , y' и z', расположенными так, что ось x' параллельна оси x и отстоит от нее на h единиц, ось y' параллельна оси y и отстоит от нее на k единиц, а ось z' параллельна оси z и отстоит от нее на l единиц. Точка P в пространстве будет иметь координаты в обеих системах. Если ее координаты равны ( x , y , z ) в исходной системе и ( x' , y' , z' ) во второй системе, то уравнения

^[9] Уравнения ( 6 ) определяют перенос осей в трех измерениях, где ( h , k , l ) являются xyz -координатами нового начала координат. ^[10] Перенос осей в любом конечном числе измерений определяется аналогично.

Перевод квадратичных поверхностей

В трехмерном пространстве наиболее общее уравнение второй степени относительно x , y и z имеет вид

где величины являются положительными или отрицательными числами или нулем. Точки в пространстве, удовлетворяющие такому уравнению, все лежат на поверхности . Любое уравнение второй степени, которое не сводится к цилиндру, плоскости, линии или точке, соответствует поверхности, которая называется квадрикой. ^[11] ${\displaystyle A,B,C,\ldots ,J}$

Как и в случае с плоской аналитической геометрией, метод переноса осей может быть использован для упрощения уравнений второй степени, тем самым делая очевидной природу некоторых квадратных поверхностей. Главным инструментом в этом процессе является «завершение квадрата». ^[12]

Пример 2

Используйте преобразование координат для определения квадратичной поверхности.

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

Решение: Запишите уравнение в виде

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

Заполните квадрат, чтобы получить

${\displaystyle (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}.}$

Ввести перевод координат

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}}.}$

Уравнение поверхности принимает вид

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

которое можно распознать как уравнение эллипсоида . [ ^13]

Смотрите также

• Изменение основы
• Перевод (геометрия)

Примечания

1. Антон (1987, стр. 107)
2. Проттер и Морри (1970, стр. 315)
3. Проттер и Морри (1970, стр. 585–588)
4. Проттер и Морри (1970, стр. 314–315)
5. Антон (1987, стр. 107)
6. Проттер и Морри (1970, стр. 322)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 316)
8. Проттер и Морри (1970, стр. 316–317)
9. Проттер и Морри (1970, стр. 585–586)
10. Антон (1987, стр. 107)
11. Проттер и Морри (1970, стр. 579)
12. Проттер и Морри (1970, стр. 586)
13. Проттер и Морри (1970, стр. 586)

Ссылки

• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042