Жесткая трансформация

Математическое преобразование, сохраняющее расстояния

В математике жесткое преобразование (также называемое евклидовым преобразованием или евклидовой изометрией ) — это геометрическое преобразование евклидова пространства , которое сохраняет евклидово расстояние между каждой парой точек. ^{[1] [ собственный источник ] [2] [3]}

Жесткие преобразования включают вращения , перемещения , отражения или любую их последовательность. Отражения иногда исключаются из определения жесткого преобразования, требуя, чтобы преобразование также сохраняло направленность объектов в евклидовом пространстве. (Отражение не сохраняет ручность; например, оно преобразует левую руку в правую.) Чтобы избежать двусмысленности, преобразование, сохраняющее леворукость, известно как жесткое движение , евклидово движение или собственное жесткое преобразование .

Во втором измерении твердое движение представляет собой либо перемещение , либо вращение . В третьем измерении каждое твердое движение можно разложить на композицию вращения и перемещения, поэтому его иногда называют ротационным перемещением . В третьем измерении все твёрдые движения также являются винтовыми движениями (это теорема Часля ).

В размерности не более трех любое несобственное жесткое преобразование можно разложить на несобственное вращение с последующим перемещением или на последовательность отражений .

Любой объект сохранит ту же форму и размер после правильной жесткой трансформации.

Все жесткие преобразования являются примерами аффинных преобразований . Набор всех (правильных и несобственных) жестких преобразований представляет собой математическую группу , называемую евклидовой группой , обозначаемую E( n ) для n -мерных евклидовых пространств. Множество жестких движений называется специальной евклидовой группой и обозначается SE( n ) .

В кинематике твердые движения в трехмерном евклидовом пространстве используются для представления перемещений твердых тел . Согласно теореме Шалеса , любое жесткое преобразование можно выразить как винтовое движение .

Формальное определение

Жесткое преобразование формально определяется как преобразование, которое при воздействии на любой вектор v создает преобразованный вектор T ( v ) вида

Т ( v ) знак равно р v + т

где R ^T = R ⁻¹ (т. е. R — ортогональное преобразование ), а t — вектор, задающий сдвиг начала координат.

Кроме того, правильное жесткое преобразование имеет

дет (R) = 1

это означает, что R не вызывает отражения и, следовательно, представляет собой вращение ( ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию). Действительно, когда матрица ортогонального преобразования создает отражение, ее определитель равен -1.

Формула расстояния

Мера расстояния между точками, или метрика , необходима для того, чтобы подтвердить, что преобразование является жестким. Формула Евклидова расстояния для Rn является обобщением теоремы ^{Пифагора} . Формула дает квадрат расстояния между двумя точками X и Y как сумму квадратов расстояний по осям координат, то есть

$${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$

X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n )скалярное произведение

Используя эту формулу расстояния, жесткое преобразование g  : Rn → Rn обладает ^{свойством :}

$${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

Переводы и линейные преобразования

Перевод векторного пространства добавляет вектор d к каждому вектору в пространстве, что означает, что это преобразование

г ( v ) знак равно v + d .

Легко показать, что это жесткое преобразование, показав, что расстояние между переведенными векторами равно расстоянию между исходными векторами:

$${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

Линейное преобразование векторного ^{пространства} L  : Rn → Rn сохраняет линейные ^{комбинации} ,

$${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$

L

Л  : v → [ L ] v ,

где [ L ] — матрица размера n × n .

Линейное преобразование является жестким преобразованием, если оно удовлетворяет условию:

$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$

$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$

vwv ^T w

$${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$$

L

$${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$

[ I ]ортогональными.

Матрицы, удовлетворяющие этому условию, образуют математическую группу при операции умножения матриц, называемую ортогональной группой матриц размера n×n и обозначаемую O ( n ) .

Вычислите определитель условия для ортогональной матрицы , чтобы получить

$${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$

[ L ]R ^{n × n}

Набор матриц вращения называется специальной ортогональной группой и обозначается SO( n ) . Это пример группы Ли , поскольку она имеет структуру многообразия.

Смотрите также

• Деформация (механика)
• Движение (геометрия)

Рекомендации

1. О. Боттема и Б. Рот (1990). Теоретическая кинематика. Дуврские публикации. перефразировать. ISBN 0-486-66346-9.
2. Дж. М. Маккарти (2013). Введение в теоретическую кинематику. МДА Пресс. перефразировать.
3. Галарса, Ана Ирен Рамирес; Сид, Хосе (2007), Введение в классическую геометрию , Биркхаузер