stringtranslate.com

Изображение (математика)

Для функции, которая сопоставляет Персону с его Любимой Едой, образом Габриэлы является Яблоко. Прообразом Яблока является множество {Габриэла, Марьям}. Прообразом Рыбы является пустое множество. Образом подмножества {Ричард, Марьям} является {Рис, Яблоко}. Прообразом {Рис, Яблоко} является {Габриэла, Ричард, Марьям}.

В математике для функции изображение входного значения — это единственное выходное значение, полученное при передаче . Прообраз выходного значения — это набор входных значений, которые производят .

В более общем смысле, оценка каждого элемента заданного подмножества его домена создает набор, называемый « образом под (или через) ». Аналогично, обратный образ (или прообраз ) заданного подмножества кодомена — это набор всех элементов этого отображения на член

Образ функции — это множество всех выходных значений , которые она может производить, то есть образ . Прообраз , то есть прообраз под , всегда равен ( область определения ); поэтому первое понятие используется редко.

Изображение и прообраз могут быть также определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение

— функция из домена в кодомен . Образ элемента — элемент . Прообраз элемента — множество { }. Прообраз элемента — .
является функцией из домена в кодомен . Изображение всех элементов в подмножестве есть подмножество . Прообраз есть подмножество
является функцией из домена в кодомен. Желтый овал внутри является образом . Прообраз является всей областью

Слово «изображение» используется в трех связанных смыслах. В этих определениях это функция из множества в множество

Изображение элемента

Если является членом, то изображение под обозначением является значением , когда применяется к альтернативно известно как вывод для аргумента

При заданной функции говорят, что она принимает значение или принимает в качестве значения , если существует некоторое в области определения функции, такое что Аналогично, при заданном множестве говорят, что она принимает значение в , если существует некоторое в области определения функции, такое что Однако принимает [все] значения в и имеет значение в означает, что для каждой точки в области определения .

Изображение подмножества

Пусть будет функцией.изображение под подмножества есть множество всех для Оно обозначается или когда нет риска путаницы. Используя обозначение set-builder , это определение можно записать как [1] ​​[2]

Это индуцирует функцию , где обозначает множество мощности множества , которое является множеством всех подмножеств Подробнее см. в разделе Обозначения ниже .

Изображение функции

Образ функции — это образ всей ее области определения , также известной как область определения функции. [3] Последнего употребления следует избегать, поскольку слово «область определения» также обычно используется для обозначения области определения

Обобщение бинарных отношений

Если — произвольное бинарное отношение , то множество называется образом или диапазоном. Двойственно, множество называется областью определения

Обратное изображение

Пусть — функция от до Прообраз или прообраз множества под обозначением — это подмножество, определяемое соотношением

Другие обозначения включают и [4] Обратный образ одноэлементного множества , обозначаемый как или , также называется слоем или слоем над или уровнем множества Множество всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств, индексированных как

Например, для функции обратный образ будет Опять же, если нет риска путаницы, можно обозначить как и можно также рассматривать как функцию из множества степеней в множество степеней Обозначение не следует путать с обозначением для обратной функции , хотя оно совпадает с обычным для биекций в том, что обратный образ под является образом под

Обозначениедля изображения и инверсного изображения

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не различают исходную функцию от функции образа множеств ; также они не различают обратную функцию (предполагая, что она существует) от функции обратного образа (которая снова связывает множества степеней). При наличии правильного контекста это сохраняет нотацию легкой и обычно не вызывает путаницы. Но при необходимости альтернативой [5] является указание явных имен для образа и прообраза как функций между множествами степеней:

Обозначение стрелок

Звездная нотация

Другая терминология

Примеры

  1. определяется
    Образ множества под есть Образ функции есть Прообраз есть Прообраз есть также Прообраз под есть пустое множество
  2. определяется
    Образ под есть , а образ есть (множество всех положительных действительных чисел и ноль). Прообраз под есть Прообраз множества под есть пустое множество , потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве действительных чисел.
  3. определяется
    Волокна представляют собой концентрические окружности вокруг начала координат , самого начала координат и пустого множества (соответственно), в зависимости от того, (соответственно). (Если тогда волокно представляет собой множество всех удовлетворяющих уравнению , то есть окружность с центром в начале координат и радиусом )
  4. Если — многообразие и — каноническая проекция из касательного расслоения на , то слои — касательные пространства Это также пример расслоения .
  5. Факторгруппа — это гомоморфный образ .

Характеристики

Общий

Для каждой функции и всех подмножеств справедливы следующие свойства:

Также:

Множественные функции

Для функций и с подмножествами справедливы следующие свойства:

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции и подмножеств справедливы следующие свойства:

Результаты, связывающие образы и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, применимы для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

(Здесь может быть бесконечно, даже неисчислимо бесконечно .)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного образа является решеточным гомоморфизмом , тогда как функция образа является лишь полурешеточным гомоморфизмом (то есть она не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "5.4: О функциях и образах/прообразах множеств". Mathematics LibreTexts . 2019-11-05 . Получено 2020-08-28 .
  2. ^ Пол Р. Халмош (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Nostrand.Здесь: Раздел 8
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
  4. ^ Долецки и Майнард 2016, стр. 4–5.
  5. ^ Блит 2005, стр. 5.
  6. ^ Джин Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. стр. xix. ASIN  B0006BQH7S.
  7. ^ М. Рэндалл Холмс: Неоднородность урэлементов в обычных моделях NFU, 29 декабря 2005 г., в: Semantic Scholar, стр. 2
  8. ^ Хоффман, Кеннет (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Prentice-Hall. стр. 388.
  9. ^ abc См. Halmos 1960, стр. 31
  10. ^ ab См. Munkres 2000, стр. 19
  11. ^ abcdefgh См. стр. 388 Ли, Джон М. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
  12. ^ ab Kelley 1985, стр. 85
  13. ^ ab См. Munkres 2000, стр. 21

Ссылки

В данной статье использованы материалы из Fibre on PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .