Спорадическая группа

В математической классификации конечных простых групп существует ряд групп , которые не вписываются ни в одно бесконечное семейство. Их называют спорадическими простыми группами , или спорадическими конечными группами , или просто спорадическими группами .

Простая группа — это группа G , не имеющая нормальных подгрупп, кроме тривиальной группы и самой G. Упомянутая классификационная теорема утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счетно бесконечных семейств ^[a] плюс 26 исключений, которые не следуют такой систематической схеме. Эти 26 исключений представляют собой спорадические группы. Группу Титса иногда рассматривают как спорадическую группу, поскольку она не является строго группой лиева типа , ^[1] и в этом случае будет 27 спорадических групп.

Группа монстров , или дружественных великанов , является самой крупной из спорадических групп, и все другие спорадические группы, кроме шести, являются ее подгруппами . ^[2]

Имена

Пять из спорадических групп были обнаружены Эмилем Матье в 1860-х годах, а еще двадцать одна была обнаружена в период с 1965 по 1975 год. Существование некоторых из этих групп было предсказано до того, как они были созданы. Большинство групп названы в честь математиков, которые первыми предсказали их существование. Полный список: ^[1]^[3]^[4]

На диаграмме показаны подфакторные отношения между 26 **спорадическими группами** . Соединительная линия означает, что нижняя группа является подчастным верхней, и между ними нет спорадических подчастных.
Поколения Роберта Грисса:1-й,2-й,3-й,Изгой

Группы Матье М 11 , М 12 , М 22 , М 23 , М 24
Группы Янко J 1 , J ₂ или HJ , J ₃ или HJM , J 4
Группы Конвея Co 1 , Co 2 , Co 3
Группы Фишера Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ ′ или F ₃₊
Группа Хигмана-Симса HS
Группа Маклафлина McL
Удерживаемая группа He или F ₇₊ или F ₇
Группа Рудвалис Ру
Группа Suzuki Suz или F ₃₋
Группа О'Нан О'Н (ВКЛ)
Группа Харада-Нортона HN или F ₅₊ или F ₅
Лионская группа Ly
Группа Томпсона Th или F _3|3 или F ₃
Группа Baby Monster B или F ₂₊ или F ₂
Группа монстров Фишера-Грисса M или F ₁

Различные конструкции для этих групп впервые были составлены в работе Conway et al. (1985), включая таблицы характеров , отдельные классы сопряженности и списки максимальных подгрупп , а также множители Шура и порядки их внешних автоморфизмов . Они также перечислены в Интернете по адресу Wilson et al. (1999), обновленные групповыми презентациями и полупрезентациями. Также были вычислены степени минимально точного представления или характеры Брауэра над полями характеристики p ≥ 0 для всех спорадических групп и для некоторых их накрывающих групп. Подробно они описаны в Jansen (2005).

Еще одним исключением в классификации конечных простых групп является группа Титса T , которую иногда считают группой лиева типа ^[5] или спорадической — это почти, но не строго группа лиева типа ^[6] — именно поэтому в некоторых источниках число спорадических групп указано как 27 вместо 26. ^[7]^[8] В некоторых других источниках группа Титса не считается ни спорадической, ни лиевой группой, ни тем и другим. ^[9]^{[ нужна цитата ]} Группа Титса — это ( n = 0)-член ²F ₄ (2) ′ бесконечного семейства коммутантов ²F ₄ (2 ^{2 n +1} ) ′ ; таким образом, в строгом смысле слова это не является спорадическим и не носит лиева типа. При n > 0 эти конечные простые группы совпадают с группами Ли типа ²F ₄ (2 ^{2 n +1} ), известными также как группы Ри типа ²F ₄ .

Самое раннее использование термина «спорадическая группа» , возможно, принадлежит Бернсайду (1911, стр. 504), где он комментирует группы Матье: «Эти очевидно спорадические простые группы, вероятно, заслуживают более тщательного изучения, чем они до сих пор получали». (В то время другие спорадические группы не были обнаружены.)

Диаграмма справа основана на Ронане (2006, стр. 247). На нем не показаны многочисленные неспорадические простые подфакторы спорадических групп.

Организация

Счастливая семья

Из 26 спорадических групп 20 можно увидеть внутри группы монстров в виде подгрупп или частных подгрупп ( секций ). Эти двадцать человек Роберт Грис назвал счастливой семьей , и их можно разделить на три поколения. ^[10]^[б]

Первое поколение (5 групп): группы Матье.

M _n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно транзитивными группами перестановок на n точках. Все они являются подгруппами группы M ₂₄ , которая представляет собой группу перестановок из 24 точек. ^[11]

Второе поколение (7 групп): решетка Лича.

Все подфакторы группы автоморфизмов 24 - мерной решетки, называемой решеткой Лича : ^[12]

Co ₁ — фактор группы автоморфизмов по ее центру {±1}
Co ₂ является стабилизатором вектора типа 2 (т.е. длины 2).
Co ₃ является стабилизатором вектора типа 3 (т. е. длины √ 6 ).
Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих сложную структуру (по модулю ее центра).
McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3.
HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3.
J ₂ — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (по модулю ее центра).

Третье поколение (8 групп): другие подгруппы Монстра.

Состоит из подгрупп, тесно связанных с группой Monster M : ^[13]

B или F ₂ имеет двойное накрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M.
Fi ₂₄ ′ имеет тройное накрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности «3A»)
Fi ₂₃ является подгруппой Fi ₂₄ ′
Fi ₂₂ имеет двойную крышку, которая является подгруппой Fi _23.
Произведение Th = F ₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (в классе сопряженности «3C»)
Произведение HN = F ₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
Произведение He = F ₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M .
Наконец, сама группа Monster считается принадлежащей к этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше: произведение М ₁₂ и группы 11-го порядка есть централизатор элемента 11-го порядка в М. )

Группа Титса , если ее рассматривать как спорадическую группу, принадлежала бы к этому поколению: существует подгруппа S ₄ × ² F ₄ (2)′, нормализующая подгруппу 2C ^{2 группы}B , дающая начало подгруппе 2 · S ₄ × ^2. F ₄ (2)′, нормализующая некоторую Q ₈ подгруппу Монстра. ² F ₄ (2)′ также является подфактором группы Фишера Fi ₂₂ , а значит, также групп Fi ₂₃ и Fi ₂₄ ′ и Baby Monster B . ² F ₄ (2)′ также является подфактором (парии) группы Рудвалиса Ru и не участвует в спорадических простых группах, за исключением уже упомянутых.

Изгои

Шестью исключениями являются J ₁ , J ₃ , J ₄ , O'N , Ru и Ly , которых иногда называют париями . ^[14]^[15]

Таблица спорадических групповых отрядов (с группой Титса)

Примечания

^ Группы простого порядка, знакопеременные группы степени не ниже 5, бесконечное семейство коммутантов ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) ′ групп лиева типа (содержащее группу Титса) и 15 семейств групп. типа Лия.
^ Конвей и др. (1985, стр. viii) систематизирует 26 спорадических групп по сходству:
«Спорадические простые группы можно грубо разделить на группы Матье, группы решетки Лича, группы 3-транспозиций Фишера, дальнейшие централизаторы Монстра и полдюжины нечетностей».
^ Здесь перечислены полупредставления стандартных генераторов каждой спорадической группы. Большинство спорадических групп имеют несколько презентаций и полупрезентаций; перечислены наиболее известные примеры.
^ Где и с . $u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}$ $v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}$ $t=abab^{3}a^{2}$

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Спорадическая группа». Математический мир .
Атлас представлений конечных групп: спорадические группы