Вырождение (математика)

В математике вырожденный случай — это предельный случай класса объектов, который качественно отличается от остального класса (и обычно проще) ^[1] , а термин «вырожденность» — это состояние вырожденного случая. ^[2]

Определения многих классов составных или структурированных объектов часто неявно включают неравенства. Например, углы и длины сторон треугольника предполагаются положительными. Предельные случаи, когда одно или несколько из этих неравенств становятся равенствами, представляют собой вырождения. В случае треугольников треугольник считается вырожденным, если хотя бы одна длина стороны или угол равны нулю. Эквивалентно, он становится «сегментом линии». ^[3]

Зачастую вырожденные случаи являются исключительными случаями, когда происходят изменения обычной размерности или мощности объекта (или некоторой его части). Например, треугольник — это объект размерности два, а вырожденный треугольник содержится в строке [ ^3] , что делает его размерность равной единице. Это похоже на случай круга, размерность которого уменьшается от двух до нуля по мере того, как он вырождается в точку. ^[1] Другой пример: набор решений системы уравнений , которая зависит от параметров , обычно имеет фиксированную мощность и размерность, но мощность и/или размерность могут быть разными для некоторых исключительных значений, называемых вырожденными случаями. В таком вырожденном случае множество решений называется вырожденным.

Для некоторых классов составных объектов случаи вырождения зависят от специально изучаемых свойств. В частности, класс объектов часто может быть определен или охарактеризован системами уравнений. В большинстве сценариев данный класс объектов может определяться несколькими различными системами уравнений, и эти разные системы уравнений могут приводить к разным вырожденным случаям, характеризуя при этом одни и те же невырожденные случаи. Это может быть причиной того, что не существует общего определения вырождения, несмотря на то, что это понятие широко используется и определяется (при необходимости) в каждой конкретной ситуации.

Таким образом, вырожденный случай имеет особые особенности, которые делают его необщим или особым случаем . Однако не все необщие или частные случаи являются вырожденными. Например, прямоугольные треугольники , равнобедренные треугольники и равносторонние треугольники не являются общими и невырожденными. Фактически, вырожденные случаи часто соответствуют сингулярностям либо в объекте, либо в некотором конфигурационном пространстве . Например, коническое сечение вырождено тогда и только тогда, когда оно имеет особые точки (например, точку, прямую, пересекающиеся прямые). ^[4]

В геометрии

Коническое сечение

Вырожденная коника — это коническое сечение ( плоская кривая второй степени , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которое не может быть неприводимой кривой .

Точка — это вырожденная окружность , а именно радиус 0. [ ^1]
Линия является вырожденным случаем параболы, если парабола лежит на касательной плоскости . В инверсной геометрии линия — это вырожденный случай круга с бесконечным радиусом.
Две параллельные прямые также образуют вырожденную параболу.
Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса, в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы — к конечным точкам, а эксцентриситет — к единице.
Круг можно представить как вырожденный эллипс, поскольку эксцентриситет приближается к 0 и фокусы сливаются. ^[1]
Эллипс также может выродиться в одну точку.
Гипербола может выродиться в две прямые, пересекающиеся в одной точке, через семейство гипербол, у которых эти линии являются общими асимптотами .

Треугольник

Вырожденный треугольник имеет коллинеарные вершины ^[3] и нулевую площадь и, таким образом, совпадает с сегментом, покрытым дважды (если не все три вершины равны; в противном случае треугольник вырождается в одну точку). Если три вершины попарно различны, они имеют два угла 0° и один угол 180°. Если две вершины равны, они имеют один угол 0° и два неопределённых угла.

Прямоугольник

Сегмент прямой — это вырожденный случай прямоугольника , длина стороны которого равна 0.
Для любого непустого подмножества существует ограниченный вырожденный прямоугольник, выровненный по оси. $S\subseteq \{1,2,\ldots,n\}$ $R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{for }}i\in S) {\text{ и }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{for }}i\notin S)\right\}$ где и $a$ $i$ , $b$ $i$ , $c$ $i$ постоянны (при этом $a$ $i$ $\leq$ $b$ $i$ для всех $i$ ). Число вырожденных сторон $R$ — это количество элементов подмножества $S.$ Таким образом, может быть всего одна вырожденная «сторона» или столько же, сколько $n$ (в этом случае $R$ сводится к одноточечной точке). $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right]$

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник называется вырожденным, если хотя бы две последовательные стороны совпадают хотя бы частично, или хотя бы одна сторона имеет нулевую длину, или хотя бы один угол равен 180°. Таким образом, вырожденный выпуклый многоугольник с n сторонами выглядит как многоугольник с меньшим количеством сторон. В случае треугольников это определение совпадает с тем, которое было дано выше.

Выпуклый многогранник

Выпуклый многогранник является вырожденным, если две соседние грани компланарны или два ребра выровнены. В случае тетраэдра это эквивалентно утверждению, что все его вершины лежат в одной плоскости , что придает ему нулевой объем .

Стандартный тор

В контекстах, где разрешено самопересечение, сфера с двойным покрытием представляет собой вырожденный стандартный тор , в котором ось вращения проходит через центр образующей окружности, а не за ее пределами.
Тор вырождается в окружность, когда его меньший радиус становится равным 0.

Сфера

Когда радиус сферы обращается в ноль, полученная вырожденная сфера нулевого объема становится точкой .

Другой

Другие примеры см. в общем положении .

В другом месте

Множество, содержащее одну точку, представляет собой вырожденный континуум .
Такие объекты, как дигон и моногон, можно рассматривать как вырожденные случаи многоугольников : они действительны в общем абстрактном математическом смысле, но не являются частью исходной евклидовой концепции многоугольников.
Случайная величина , которая может принимать только одно значение, имеет вырожденное распределение ; если это значение — действительное число 0, то его плотность вероятности — это дельта-функция Дирака .
Корень многочлена иногда называют вырожденным $,$ если он кратный , поскольку в общем случае все n корней многочлена $n-$ й степени различны. ^[1] Это использование переносится и на собственные задачи: вырожденное собственное значение является кратным корнем характеристического многочлена .
В квантовой механике любая такая кратность собственных значений оператора Гамильтона приводит к вырождению уровней энергии . Обычно любое такое вырождение указывает на некоторую скрытую симметрию в системе.