Вычитание

Одна из четырех основных арифметических операций

« 5 − 2 = 3» (дословно «пять минус два равно трем»)

Плакат у входа в магазин в Бордо, рекламирующий скидку 20% от цены вторых купленных духов.

Вычитание (которое обозначается знаком минус − ) является одной из четырех арифметических операций наряду со сложением , умножением и делением . Вычитание — это операция, которая представляет собой удаление объектов из коллекции. ^[1] Например, на соседнем рисунке есть 5 − 2 персика — то есть 5 персиков с 2 удаленными, в результате чего в общей сложности получается 3 персика. Таким образом, разность 5 и 2 равна 3; то есть 5 − 2 = 3 . Хотя в первую очередь вычитание ассоциируется с натуральными числами в арифметике , вычитание также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных видов объектов, включая отрицательные числа , дроби , иррациональные числа , векторы , десятичные дроби, функции и матрицы. ^[2]

В некотором смысле вычитание — это обратная операция сложения. То есть, c = a − b тогда и только тогда, когда c + b = a . На словах: разность двух чисел — это число, которое дает первое число при сложении со вторым.

Вычитание следует нескольким важным закономерностям. Оно антикоммутативно , что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Оно также не ассоциативно , что означает, что когда вычитается более двух чисел, порядок, в котором выполняется вычитание, имеет значение. Поскольку является аддитивным тождеством , вычитание его не меняет число. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как сложение и умножение . Все эти правила можно доказать , начиная с вычитания целых чисел и обобщая вплоть до действительных чисел и далее. Общие бинарные операции , которые следуют этим закономерностям, изучаются в абстрактной алгебре .

В теории вычислимости , учитывая, что вычитание не является четко определенным над натуральными числами , операции между числами фактически определяются с помощью «усеченного вычитания» или монуса . ^[3]

Обозначения и терминология

Вычитание чисел от 0 до 10. Метки строк = уменьшаемое. Ось X = вычитаемое. Ось Y = разность.

Вычитание обычно записывается с использованием знака минус "−" между членами; то есть в инфиксной записи . Результат выражается знаком равенства . Например,

${\displaystyle 2-1=1}$(произносится как «два минус один равно один»)

${\displaystyle 4-2=2}$(произносится как «четыре минус два равно два»)

${\displaystyle 6-3=3}$(произносится как «шесть минус три равно трем»)

${\displaystyle 4-6=-2}$(произносится как «четыре минус шесть равно минус два»)

Существуют также ситуации, когда вычитание «понимается», даже если не появляется никакого символа: ^{[ необходима цитата ]}

• Столбец из двух чисел, где меньшее число выделено красным, обычно указывает на то, что меньшее число в столбце следует вычесть, а разницу записать ниже, под чертой. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.

Формально вычитаемое число называется вычитаемым , [ ^{4] [5],} а число, из которого оно вычитается, называется уменьшаемым . ^{[4] [5]} Результатом является разность . ^{[4] [5] [2] [6]} То есть,

${\displaystyle {\rm {minuend}}-{\rm {subtrahend}}={\rm {difference}}}$.

Вся эта терминология происходит от латинского . «Subtraction» — это английское слово, произошедшее от латинского глагола subtrahere , который в свою очередь является соединением sub « из-под» и trahere «тянуть». Таким образом, to subtract означает « вытягивать снизу » или « отнимать » . ^[7] Использование суффикса герундия -nd приводит к «subtrahend», «вещь, которая будет вычтена». ^[a] Аналогично, от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает «вещь, которая будет уменьшена».

Целых и действительных чисел

Целые числа

Представьте себе отрезок прямой длиной b с левым концом, обозначенным a , и правым концом, обозначенным c . Начиная с a , требуется сделать b шагов вправо, чтобы достичь c . Это движение вправо моделируется математически сложением :

а + б = с .

Из c нужно сделать b шагов влево, чтобы вернуться в a . Это движение влево моделируется вычитанием:

с − б = а .

Теперь отрезок прямой, помеченный числами 1 , 2 и 3. Из позиции 3 не требуется никаких шагов влево, чтобы остаться в позиции 3, поэтому 3 − 0 = 3. Требуется 2 шага влево, чтобы добраться до позиции 1, поэтому 3 − 2 = 1. Эта картинка неадекватна для описания того, что произойдет после перехода на 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую ​​операцию, линию нужно продлить.

Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , нужно начать со строки, содержащей все натуральные числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3 − 3 = 0. Но 3 − 4 все еще недействительно, так как оно снова покидает строку. Натуральные числа не являются полезным контекстом для вычитания.

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть прямую целых чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, требуется 4 шага влево от 3, чтобы добраться до −1:

3 − 4 = −1 .

Натуральные числа

Вычитание натуральных чисел не является замкнутым : разность не является натуральным числом, если уменьшаемое не больше или равно вычитаемому. Например, 26 нельзя вычесть из 11, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:

1. Сделайте вывод, что 26 нельзя вычесть из 11; вычитание становится частичной функцией .
2. Дайте ответ в виде целого числа, представляющего отрицательное число , так что результат вычитания 26 из 11 равен −15.

Реальные цифры

Поле действительных чисел можно определить, указав только две бинарные операции, сложение и умножение, вместе с унарными операциями, дающими аддитивные и мультипликативные обратные. Вычитание действительного числа (вычитаемое) из другого (уменьшаемое) можно тогда определить как сложение уменьшаемого и аддитивной обратной величины вычитаемого. Например, 3 − π = 3 + (− π ) . В качестве альтернативы, вместо требования этих унарных операций, бинарные операции вычитания и деления можно взять за основные.

Характеристики

Антикоммутативность

Вычитание антикоммутативно , то есть если поменять члены в разности слева направо, то результат будет отрицательным по отношению к исходному результату. Символически, если a и b — любые два числа, то

а − б = −( б − а) .

Неассоциативность

Вычитание неассоциативно , что возникает, когда пытаешься определить повторяющееся вычитание. В общем, выражение

" а − б − в "

можно определить как ( a − b ) − c или a − ( b − c ), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, нужно установить порядок операций , при этом разные порядки дают разные результаты.

Предшественник

В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a − 1) является наибольшим целым числом, меньшим a , также известным как предшественник a .

Единицы измерения

При вычитании двух чисел с единицами измерения, такими как килограммы или фунты , они должны иметь одну и ту же единицу. В большинстве случаев разность будет иметь ту же единицу, что и исходные числа.

Проценты

Изменения в процентах могут быть представлены по крайней мере в двух формах: процентное изменение и изменение процентного пункта . Процентное изменение представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, в то время как изменение процентного пункта — это просто число, полученное путем вычитания двух процентов. ^{[8] [9] [10]}

В качестве примера предположим, что 30% виджетов, произведенных на фабрике, являются бракованными. Шесть месяцев спустя 20% виджетов являются бракованными. Процентное изменение составляет ⁠20% − 30%/30%⁠ = − ⁠1/3⁠ = ⁠−33+1/3⁠ %, тогда как изменение процентного пункта составляет −10 процентных пунктов.

В вычислительной технике

Метод дополнений — это метод, используемый для вычитания одного числа из другого с использованием только сложения положительных чисел. Этот метод широко использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .

Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (уменьшаемое), к x добавляется дополнение y до единиц , а к сумме — единица. Затем первая цифра «1» результата отбрасывается.

Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение до единиц очень легко получить путем инвертирования каждого бита (изменение "0" на "1" и наоборот). А добавление 1 для получения дополнения до двух можно выполнить путем имитации переноса в младший бит. Например:

 01100100 (x, равно десятичному 100)- 00010110 (y, равно десятичному 22)

становится суммой:

 01100100 (х)+ 11101001 (дополнение к y до единицы)+ 1 (чтобы получить дополнение до двух)—————————— 101001110

Отбрасывая начальную «1», получаем ответ: 01001110 (равняется десятичному 78)

Обучение вычитанию в школах

Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе , различаются от страны к стране, и внутри страны в разное время принимаются разные методы. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика , определенный процесс преподается ученикам в конце 1-го года (или в течение 2-го года) для использования с многозначными целыми числами и расширяется либо в четвертом, либо в пятом классе, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.

В Америке

Почти во всех американских школах в настоящее время преподают метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и систему отметок, называемых костылями. ^{[11] [12]} Хотя метод заимствования был известен и опубликован в учебниках ранее, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли полезны для учеников, использующих этот метод. ^[13] Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в Америке в то время.

В Европе

Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствований. Также существуют костыли (отметки для помощи памяти), которые различаются в зависимости от страны. ^{[14] [15]}

Сравнение двух основных методов

Оба эти метода разбивают вычитание как процесс вычитания одной цифры по ее месту. Начиная с наименее значимой цифры, вычитание вычитаемого:

с _j с _{j −1} ... с ₁

от уменьшаемого

м _к м _{к −1} ... м ₁ ,

где каждое s _i и m _i является цифрой, продолжается путем записи m ₁ − s ₁ , m ₂ − s ₂ и так далее, пока s _i не превышает m _i . В противном случае m _i увеличивается на 10, а некоторая другая цифра изменяется для коррекции этого увеличения. Американский метод исправляет, пытаясь уменьшить уменьшаемую цифру m _{i +1} на единицу (или продолжая заимствование влево, пока не будет ненулевой цифры, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s _{i +1} на единицу.

Пример: 704 − 512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}$

Уменьшаемое равно 704, вычитаемое равно 512. Цифры уменьшаемого равны m ₃ = 7 , m ₂ = 0 и m ₁ = 4. Цифры вычитаемого равны s ₃ = 5 , s ₂ = 1 и s ₁ = 2. Начиная с единицы, 4 не меньше 2, поэтому разность 2 записывается в разряде единиц результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разность с 1, которая равна 9, записывается в разряде десятков. Американский метод исправляет увеличение на десять, уменьшая цифру в разряде сотен уменьшаемого на единицу. То есть, 7 зачеркивается и заменяется на 6. Затем вычитание происходит в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Теперь мы закончили, результат равен 192.

Австрийский метод не уменьшает 7 до 6. Вместо этого он увеличивает вычитаемую сотню на единицу. Небольшая отметка делается около или под этой цифрой (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число, если увеличить его на 1 и добавить к нему 5, даст 7. Ответ — 1, и он записывается в разряд сотен результата.

Есть еще одна тонкость в том, что в американском методе ученик всегда использует таблицу вычитания в уме. Австрийский метод часто поощряет ученика мысленно использовать таблицу сложения наоборот. В приведенном выше примере вместо того, чтобы сложить 1 и 5, получить 6 и вычесть это из 7, ученика просят подумать, какое число, если увеличить его на 1 и добавить к нему 5, даст 7.

Вычитание вручную

австрийский метод

Пример: ^{[ требуется ссылка ]}

• 
  1 + ... = 3
• 
  Разница написана под чертой.
• 
  9 + ... = 5
  Требуемая сумма (5) слишком мала.
• 
  Итак, мы прибавляем к нему 10 и ставим 1 под следующим по величине разрядом в вычитаемом.
• 
  9 + ... = 15
  Теперь мы можем найти разницу, как и раньше.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  Разница написана под чертой.
• 
  Общая разница.

Вычитание слева направо

Пример: ^{[ требуется ссылка ]}

• 
  7 − 4 = 3
  Этот результат только начерчен карандашом.
• 
  Поскольку следующая цифра уменьшаемого меньше вычитаемого, мы вычитаем единицу из записанного числа и мысленно прибавляем десять к следующему.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Поскольку следующая цифра в уменьшаемом не меньше вычитаемого, мы сохраняем это число.
• 
  3 − 1 = 2

американский метод

В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры, расположенной над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы вычесть из него нижнее число, мы прибавляем к нему 10; эти 10 «заимствуются» из верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будут вычтены все цифры. Пример: ^{[ необходима цитата ]}

• 
  3 − 1 = ...
• 
  Разницу записываем под чертой.
• 
  5 − 9 = ...
  Уменьшаемое (5) слишком мало!
• 
  Итак, мы прибавляем к нему 10. 10 «заимствовано» из цифры слева, которая уменьшается на 1.
• 
  15 − 9 = ...
  Теперь вычитание выполняется, и мы записываем разницу под чертой.
• 
  6 − 4 = ...
• 
  Разницу записываем под чертой.
• 
  Общая разница.

Сначала торговля

Вариант американского метода, при котором все заимствования производятся до вычитания. ^[16]

Пример:

• 
  1 − 3 = невозможно.
  Добавляем 10 к 1. Поскольку 10 «заимствовано» у близлежащей 5, 5 уменьшается на 1.
• 
  4 − 9 = невозможно.
  Поэтому действуем как в шаге 1.
• 
  Справа налево:
  11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

Частичные различия

Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания, поскольку не происходит заимствования или переноса. На их месте ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, больше или меньше уменьшаемое, чем вычитаемое. Сумма частичных разностей составляет общую разность. ^[17]

Пример:

• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  700 − 400 = 300
  Поскольку уменьшаемое больше вычитаемого, эта разность имеет знак плюс.
• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  90 − 50 = 40
  Поскольку уменьшаемое меньше вычитаемого, эта разность имеет знак минус.
• 
  Меньшее число вычитается из большего:
  3 − 1 = 2
  Поскольку уменьшаемое больше вычитаемого, эта разность имеет знак плюс.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262

Невертикальные методы

Подсчет

Вместо того, чтобы находить разницу по цифрам, можно подсчитать числа между вычитаемым и уменьшаемым. ^[18]

Пример: 1234 − 567 = можно найти, выполнив следующие шаги:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Сложите значения на каждом шаге, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Разбивка вычитания

Другой метод, полезный для устной арифметики, — это разбить вычитание на небольшие шаги. ^[19]

Пример: 1234 − 567 = можно решить следующим образом:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

То же самое изменение

Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответа. Просто добавляется сумма, необходимая для получения нулей в вычитаемом. ^[20]

Пример:

«1234 − 567 =" можно решить следующим образом:

• 1234–567 = 1237–570 = 1267–600 = 667

Смотрите также

• Абсолютная разница
• Декремент
• Элементарная арифметика
• Метод дополнений
• Отрицательное число
• Знаки плюс и минус
• Монус (усеченное вычитание)

Примечания

1. «Вычитаемое» сокращается с помощью флективного латинского суффикса -us, например, оставаясь несклоняемым, как в numerus subtrahendus «число, которое нужно вычесть».

Ссылки

1. «Что такое вычитание?». SplashLearn . 28 апреля 2022 г. Получено 13 декабря 2022 г.
2. Weisstein, Eric W. "Вычитание". mathworld.wolfram.com . Получено 26.08.2020 .
3. Катланд, Найджел. Вычислимость: введение в теорию рекурсивных функций .
4. Schmid, Hermann (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-76180-8.
5. Schmid, Hermann (1983) [1974]. Decimal Computation (1 (переиздание) изд.). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0.
6. "Вычитание". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-26 .
7. "Вычитание" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
8. Пол Э. Петерсон, Майкл Хендерсон, Мартин Р. Уэст (2014) Учителя против общественности: что американцы думают о школах и как это исправить Brookings Institution Press, стр. 163
9. Джанет Колодзи (2006) Конвергентная журналистика: написание и репортажи в новостных СМИ Rowman & Littlefield Publishers, стр. 180
10. Дэвид Гиллборн (2008) Расизм и образование: совпадение или заговор? Routledge стр. 46
11. Клэппер, Пол (1916). Преподавание арифметики: руководство для учителей. стр. 80– . Получено 11.03.2016 .
12. Сьюзан Росс и Мэри Пратт-Коттер. 2000. «Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива», The Mathematics Educator 8(1):4–11. стр. 8: «Эта новая версия алгоритма разложения [т. е. с использованием костыля Браунелла] настолько полностью доминировала в этой области, что сегодня редко можно увидеть какой-либо другой алгоритм, используемый для обучения вычитанию [в Америке]».
13. Росс, Сьюзен С.; Пратт-Коттер, Мэри (1999). «Вычитание с исторической точки зрения». Школьные науки и математика . 99 (7): 389–93. doi :10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x.
14. Клаппер 1916, стр. 177–.
15. Дэвид Юджин Смит (1913). Преподавание арифметики. Ginn. стр. 77– . Получено 11.03.2016 .
16. Множество способов арифметики в повседневной математике UCSMP Архивировано 25.02.2014 в Wayback Machine Subtraction: Trade First
17. Вычитание частных разностей Архивировано 23.06.2014 на Wayback Machine ; Множество способов арифметики в повседневной математике UCSMP Архивировано 25.02.2014 на Wayback Machine Вычитание: Частичные разности
18. Множество способов арифметики в UCSMP Everyday Mathematics Архивировано 25.02.2014 в Wayback Machine Вычитание: Подсчет вверх
19. Множество способов арифметики в UCSMP Everyday Mathematics Архивировано 25.02.2014 в Wayback Machine Вычитание: Вычитание слева направо
20. Множество способов арифметики в повседневной математике UCSMP Вычитание: правило одинакового изменения

Библиография

• Браунелл, WA (1939). Обучение как реорганизация: экспериментальное исследование арифметики в третьем классе, Duke University Press.
• Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива, Сьюзен Росс, Мэри Пратт-Коттер, Преподаватель математики, т. 8, № 1 (оригинальная публикация) и т. 10, № 1 (переиздание). PDF

Внешние ссылки

• «Вычитание», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Рабочие листы для печати: рабочие листы по вычитанию, вычитание однозначных чисел, вычитание двузначных чисел, вычитание четырехзначных чисел и другие рабочие листы по вычитанию
• Игра в вычитание в cut-the-knot
• Вычитание на японских счетах, выбранное из книги «Абакус: Тайна бусины»