В математике и информатике каноническая , нормальная или стандартная форма математического объекта — это стандартный способ представления этого объекта в виде математического выражения . Часто это тот, который обеспечивает простейшее представление объекта и позволяет идентифицировать его уникальным образом. Различие между «канонической» и «нормальной» формами варьируется от подполя к подполю. В большинстве областей каноническая форма определяет уникальное представление для каждого объекта, тогда как нормальная форма просто определяет его форму без требования уникальности. [1]
Каноническая форма положительного целого числа в десятичном представлении — это конечная последовательность цифр, которая не начинается с нуля. В более общем смысле, для класса объектов, на котором определено отношение эквивалентности , каноническая форма состоит в выборе конкретного объекта в каждом классе. Например:
В информатике, а точнее в компьютерной алгебре , при представлении математических объектов в компьютере обычно существует много разных способов представления одного и того же объекта. В этом контексте каноническая форма — это представление, при котором каждый объект имеет уникальное представление (при этом канонизация — это процесс, посредством которого представление приводится к своей канонической форме). [2] Таким образом, равенство двух объектов можно легко проверить, проверив равенство их канонических форм.
Несмотря на это преимущество, канонические формы часто зависят от произвольного выбора (например, упорядочивания переменных), что создает трудности для проверки равенства двух объектов, полученных в результате независимых вычислений. Поэтому в компьютерной алгебре нормальная форма является более слабым понятием: нормальная форма — это представление, в котором ноль представлен уникально. Это позволяет проверять равенство, помещая разницу двух объектов в нормальную форму.
Каноническая форма может также означать дифференциальную форму , которая определяется естественным (каноническим) образом.
Если задано множество объектов S с отношением эквивалентности R на S , каноническая форма задается путем обозначения некоторых объектов S как находящихся «в канонической форме», так что каждый рассматриваемый объект эквивалентен ровно одному объекту в канонической форме. Другими словами, канонические формы в S представляют классы эквивалентности, один и только один раз. Чтобы проверить, эквивалентны ли два объекта, достаточно проверить равенство их канонических форм. Таким образом, каноническая форма обеспечивает теорему классификации и даже больше, поскольку она не только классифицирует каждый класс, но и дает выдающегося (канонического) представителя для каждого объекта в классе.
Формально канонизация относительно отношения эквивалентности R на множестве S — это отображение c : S → S такое, что для всех s , s 1 , s 2 ∈ S :
Свойство 3 избыточно; оно следует из применения 2 к 1.
С практической точки зрения часто бывает полезно уметь распознавать канонические формы. Также есть практический алгоритмический вопрос для рассмотрения: как перейти от заданного объекта s в S к его канонической форме s *? Канонические формы обычно используются для повышения эффективности работы с классами эквивалентности. Например, в модульной арифметике каноническая форма для класса остатков обычно берется как наименьшее неотрицательное целое число в нем. Операции над классами выполняются путем объединения этих представителей и последующего сведения результата к его наименьшему неотрицательному остатку. Требование уникальности иногда ослабляется, позволяя формам быть уникальными вплоть до некоторого более тонкого отношения эквивалентности, например, допуская переупорядочивание членов (если нет естественного упорядочения членов).
Каноническая форма может быть просто соглашением или глубокой теоремой. Например, многочлены традиционно записываются с членами в убывающих степенях: более привычно писать x 2 + x + 30, чем x + 30 + x 2 , хотя эти две формы определяют один и тот же многочлен. Напротив, существование канонической формы Жордана для матрицы является глубокой теоремой.
Согласно OED и LSJ , термин канонический происходит от древнегреческого слова kanonikós ( κανονικός , «регулярный, согласно правилу») от kanṓn ( κᾰνών , «стержень, правило»). Значение нормы, стандарта или архетипа использовалось во многих дисциплинах. Математическое использование засвидетельствовано в письме Логана 1738 года . [3] Немецкий термин kanonische Form засвидетельствован в статье Эйзенштейна 1846 года , [4] позже в том же году Ришело использует термин Normalform в своей статье, [5] а в 1851 году Сильвестр пишет: [6]
«Теперь я перехожу к [...] способу сведения алгебраических функций к их простейшим и наиболее симметричным, или, как мой замечательный друг М. Эрмит удачно предлагает их назвать, к их каноническим формам ».
В тот же период использование засвидетельствовано Гессе («Нормальная форма»), [7] Эрмитом («каноническая форма»), [8] Борхардтом («форма каноническая»), [9] и Кэли («каноническая форма»). [10]
В 1865 году «Словарь по науке, литературе и искусству» определил каноническую форму следующим образом:
«В математике обозначает форму, обычно простейшую или наиболее симметричную, к которой, без потери общности, могут быть сведены все функции одного и того же класса».
Примечание: в этом разделе « до » некоторого отношения эквивалентности E означает, что каноническая форма в общем случае не является единственной, но если один объект имеет две различные канонические формы, то они являются E-эквивалентными.
Стандартная форма используется многими математиками и учеными для записи чрезвычайно больших чисел более кратким и понятным способом, наиболее известным из которых является научная запись . [11]
Напротив, существуют альтернативные формы записи уравнений. Например, уравнение линии может быть записано как линейное уравнение в форме точка-наклон и наклон-пересечение .
Выпуклые многогранники можно привести к каноническому виду таким образом:
Каждое дифференцируемое многообразие имеет кокасательное расслоение . Это расслоение всегда можно наделить некоторой дифференциальной формой , называемой канонической одноформой . Эта форма придает кокасательному расслоению структуру симплектического многообразия и позволяет интегрировать векторные поля на многообразии с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа или с помощью гамильтоновой механики . Такие системы интегрируемых дифференциальных уравнений называются интегрируемыми системами .
Изучение динамических систем пересекается с изучением интегрируемых систем ; здесь имеется идея нормальной формы (динамических систем) .
При изучении многообразий в трех измерениях имеются первая фундаментальная форма , вторая фундаментальная форма и третья фундаментальная форма .
Символическое преобразование формулы из одной формы в другую называется «переписыванием» этой формулы. Можно изучать абстрактные свойства переписывания общих формул, изучая набор правил, по которым формулы могут быть допустимо обработаны. Это «правила переписывания» — неотъемлемая часть абстрактной системы переписывания . Распространенный вопрос заключается в том, можно ли привести некоторое общее выражение к единой, общей форме, нормальной форме. Если различные последовательности переписываний по-прежнему приводят к одной и той же форме, то эту форму можно назвать нормальной формой, а переписывание — конфлюэнтным. Не всегда возможно получить нормальную форму.
В теории графов , разделе математики, канонизация графов — это проблема нахождения канонической формы заданного графа G. Каноническая форма — это помеченный граф Canon( G ), который изоморфен G , такой, что каждый граф, изоморфный G , имеет ту же каноническую форму, что и G . Таким образом, из решения проблемы канонизации графов можно также решить проблему изоморфизма графов : чтобы проверить, являются ли два графа G и H изоморфными, вычислить их канонические формы Canon( G ) и Canon( H ), и проверить, идентичны ли эти две канонические формы.
В вычислительной технике приведение данных к какой-либо канонической форме обычно называется нормализацией данных .
Например, нормализация базы данных — это процесс организации полей и таблиц реляционной базы данных для минимизации избыточности и зависимости. [13]
В области безопасности программного обеспечения распространенной уязвимостью является непроверенный вредоносный ввод (см. Внедрение кода ). Смягчением этой проблемы является правильная проверка ввода . Перед выполнением проверки ввода ввод обычно нормализуется путем устранения кодировки (например, кодировки HTML ) и сведения входных данных к одному общему набору символов .
Другие формы данных, обычно связанные с обработкой сигналов (включая аудио и изображения ) или машинным обучением , могут быть нормализованы для предоставления ограниченного диапазона значений.
В управлении контентом применима концепция единого источника истины (SSOT), как и в нормализации баз данных в целом и в разработке программного обеспечения . Компетентные системы управления контентом предоставляют логические способы ее получения, такие как трансклюзия .
