Гауссова мера

Тип меры Бореля

В математике гауссовская мера — это борелевская мера на конечномерном евклидовом пространстве , тесно связанная с нормальным распределением в статистике . Существует также обобщение на бесконечномерные пространства. Гауссовские меры названы в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . Одной из причин, по которой гауссовские меры так распространены в теории вероятностей, является центральная предельная теорема . Грубо говоря, она утверждает , что если случайная величина получена путем суммирования большого числа независимых случайных величин с дисперсией 1, то имеет дисперсию и ее закон приблизительно гауссовский. ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$

Определения

Пусть и пусть обозначают пополнение борелевской -алгебры на . Пусть обозначают обычную -мерную меру Лебега . Тогда стандартная гауссовская мера определяется как для любого измеримого множества . В терминах производной Радона–Никодима , ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)}$$ ${\displaystyle A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$$

В более общем случае гауссовская мера со средним значением и дисперсией задается выражением ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ $${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$$

Гауссовские меры со средним значением известны как центрированные гауссовские меры . ${\displaystyle \mu =0}$

Мера Дирака является слабым пределом функции , и считается вырожденной гауссовой мерой ; в отличие от этого, гауссовские меры с конечной, ненулевой дисперсией называются невырожденными гауссовыми мерами . ${\displaystyle \delta _{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma \to 0}$

Характеристики

Стандартная гауссовская мера на ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• является борелевской мерой (фактически, как отмечено выше, она определяется по завершению борелевской сигма-алгебры, которая является более тонкой структурой);
• эквивалентно мере Лебега: , где обозначает абсолютную непрерывность мер; ${\displaystyle \lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \ll }$
• поддерживается во всем евклидовом пространстве: ; ${\displaystyle \operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$
• является вероятностной мерой , и поэтому она локально конечна ; ${\displaystyle (\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)}$
• строго положительно : каждое непустое открытое множество имеет положительную меру;
• является внутренней регулярной : для всех борелевских множеств , поэтому гауссовская мера является мерой Радона ; ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},}$$
• не является инвариантным относительно трансляции , но удовлетворяет соотношению , где производная в левой части является производной Радона–Никодима , и является переносом стандартной гауссовой меры на отображение трансляции , ; $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$ ${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$
• это вероятностная мера, связанная с нормальным распределением вероятностей : $${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).}$$

Бесконечномерные пространства

Можно показать, что аналога меры Лебега на бесконечномерном векторном пространстве не существует . Тем не менее, можно определить гауссовские меры на бесконечномерных пространствах, основным примером чего является абстрактная конструкция пространства Винера . Борелевская мера на сепарабельном банаховом пространстве называется невырожденной (центрированной) гауссовой мерой , если для каждого линейного функционала , кроме , мера прямого проталкивания является невырожденной (центрированной) гауссовой мерой на в смысле, определенном выше. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L\in E^{*}}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle L_{*}(\gamma )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Например, классическая мера Винера на пространстве непрерывных путей является гауссовой мерой.

Смотрите также

• Мера Бесова  – Обобщение гауссовой меры с использованием нормы Бесова
• Теорема Кэмерона–Мартина  – Теорема, определяющая перенос гауссовских мер (мер Винера) на гильбертовых пространствах.
• Ковариационный оператор  – Оператор в теории вероятностей
• Теорема Фельдмана – Хайека  - Теория в теории вероятностей

Ссылки

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовские меры . Американское математическое общество. ISBN 978-1470418694.
• Stroock, Daniel (2010). Теория вероятностей: аналитический взгляд . Cambridge University Press. ISBN 978-0521132503.