Геодезические в общей теории относительности

Обобщение прямой линии на искривленное пространство-время

В общей теории относительности геодезическая обобщает понятие «прямой линии» на искривленное пространство-время . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободной от всех внешних, негравитационных сил, является особым типом геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется вдоль геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени , где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Так, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической искривленной четырехмерной (4-D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трехмерное (3-D) пространство.

Математическое выражение

Полное геодезическое уравнение имеет вид , где s — скалярный параметр движения (например, собственное время ), и — символы Кристоффеля (иногда называемые коэффициентами аффинной связности или коэффициентами связности Леви-Чивиты ), симметричные по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а для повторяющихся индексов и используется соглашение о суммировании . Величина в левой части этого уравнения — ускорение частицы, поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также предоставляют формулы для ускорения частицы. Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и, таким образом, не зависят от скорости или ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается геодезическим уравнением. $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Эквивалентное математическое выражение, использующее координатное время в качестве параметра

До сих пор геодезическое уравнение движения было записано в терминах скалярного параметра s . Его можно также записать в терминах временной координаты (здесь мы использовали тройную черту для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения становится: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$$

Эта формулировка геодезического уравнения движения может быть полезна для компьютерных вычислений и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией. ^[1] Несложно вывести эту форму геодезического уравнения движения из формы, которая использует собственное время в качестве параметра, используя цепное правило . Обратите внимание, что обе стороны этого последнего уравнения исчезают, когда индекс mu устанавливается равным нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то геодезическое уравнение сводится к следующему: $${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$$

Здесь латинский индекс n принимает значения [1,2,3]. Это уравнение просто означает, что все тестовые частицы в определенном месте и времени будут иметь одинаковое ускорение, что является хорошо известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что плавает на Международной космической станции, будет испытывать примерно одинаковое ускорение из-за гравитации.

Вывод непосредственно из принципа эквивалентности

Физик Стивен Вайнберг представил вывод геодезического уравнения движения непосредственно из принципа эквивалентности . ^[2] Первым шагом в таком выводе является предположение, что свободно падающая частица не ускоряется в окрестности точечного события относительно свободно падающей системы координат ( ). Полагая , мы имеем следующее уравнение, которое локально применимо при свободном падении: Следующий шаг — использовать многомерное цепное правило . Мы имеем: Дифференцируя еще раз по времени, мы имеем: Мы уже говорили, что левая часть этого последнего уравнения должна исчезнуть из-за принципа эквивалентности. Следовательно: Умножим обе части этого последнего уравнения на следующую величину: Следовательно, мы имеем это: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle T\equiv X^{0}}$ $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$$ $${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ $${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$$

Вайнберг определяет аффинную связь следующим образом: ^[3] что приводит к следующей формуле: $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$$

Обратите внимание, что если бы мы использовали собственное время «s» в качестве параметра движения вместо использования локально инерциальной временной координаты «T», то наш вывод геодезического уравнения движения был бы полным. В любом случае, давайте продолжим, применив одномерное цепное правило : $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Как и прежде, мы можем установить . Тогда первая производная x ⁰ по t равна единице, а вторая производная равна нулю. Замена λ на ноль дает: ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Вычитая d x ^λ / d t, умноженное на это, из предыдущего уравнения, получаем: что является формой геодезического уравнения движения (использующего координатное время в качестве параметра). $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$$

Геодезическое уравнение движения можно также вывести, используя концепцию параллельного переноса . ^[4]

Вывод геодезического уравнения через действие

Мы можем (и это наиболее распространенный метод) вывести геодезическое уравнение через принцип действия . Рассмотрим случай попытки найти геодезическую между двумя разделенными во времени событиями.

Пусть действие будет где — элемент линии . Внутри квадратного корня стоит отрицательный знак, поскольку кривая должна быть времениподобной. Чтобы получить геодезическое уравнение, мы должны варьировать это действие. Для этого давайте параметризуем это действие относительно параметра . Сделав это, мы получим: $${\displaystyle S=\int ds}$$ ${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$$

Теперь мы можем пойти дальше и изменить это действие относительно кривой . По принципу наименьшего действия получаем: ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$$

Используя правило произведения, получаем: где $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$$ $${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$$

Интегрируя по частям последний член и отбрасывая полную производную (равную нулю на границах), получаем: $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$$

Немного упростив, мы видим, что: итак, умножая это уравнение на получаем: $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$$ $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$

Итак, по принципу Гамильтона мы находим, что уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид $${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$$

Умножая на обратный метрический тензор, получаем, что ${\displaystyle g^{\mu \beta }}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$

Таким образом, мы получаем геодезическое уравнение: с символом Кристоффеля, определенным через метрический тензор как $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$ $${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$$

(Примечание: Аналогичные выводы, с небольшими поправками, можно использовать для получения аналогичных результатов для геодезических между светоподобными ^{[ требуется ссылка ]} или пространственноподобными разделенными парами точек.)

Уравнение движения может следовать из уравнений поля для пустого пространства

Альберт Эйнштейн считал, что геодезическое уравнение движения может быть выведено из уравнений поля для пустого пространства , т.е. из того факта, что кривизна Риччи исчезает. Он писал: ^[5]

Было показано, что этот закон движения — обобщенный на случай произвольно больших гравитирующих масс — может быть выведен из уравнений поля только пустого пространства. Согласно этому выводу, закон движения подразумевается условием, что поле не является сингулярным нигде вне точек его порождающей массы.

и ^[6]

Одним из недостатков первоначальной релятивистской теории гравитации было то, что как теория поля она не была полной; она вводила независимый постулат о том, что закон движения частицы задается уравнением геодезической.

Полная теория поля знает только поля, а не понятия частицы и движения. Ибо они не должны существовать независимо от поля, а должны рассматриваться как его часть.

На основе описания частицы без сингулярности появляется возможность логически более удовлетворительного рассмотрения объединенной проблемы: проблема поля и проблема движения совпадают.

И физики, и философы часто повторяли утверждение, что геодезическое уравнение может быть получено из уравнений поля для описания движения гравитационной сингулярности , но это утверждение остается спорным. ^[7] По словам Дэвида Маламента , «Хотя геодезический принцип может быть восстановлен как теорема в общей теории относительности, он не является следствием уравнения Эйнштейна (или принципа сохранения) в одиночку. Для вывода рассматриваемых теорем необходимы другие предположения». ^[8] Менее спорным является представление о том, что уравнения поля определяют движение жидкости или пыли, в отличие от движения точечной сингулярности. ^[9]

Расширение на случай заряженной частицы

При выводе геодезического уравнения из принципа эквивалентности предполагалось, что частицы в локальной инерциальной системе координат не ускоряются. Однако в реальной жизни частицы могут быть заряжены и, следовательно, могут локально ускоряться в соответствии с силой Лоренца . То есть: с $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$$ $${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$$

Тензор Минковского определяется по формуле: ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Эти последние три уравнения можно использовать в качестве отправной точки для вывода уравнения движения в общей теории относительности, вместо того, чтобы предполагать, что ускорение равно нулю при свободном падении. ^[2] Поскольку здесь задействован тензор Минковского, становится необходимым ввести нечто, называемое метрическим тензором в общей теории относительности. Метрический тензор g симметричен и локально сводится к тензору Минковского при свободном падении. Результирующее уравнение движения выглядит следующим образом: ^[10] с $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$$ $${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$$

Это последнее уравнение означает, что частица движется по времениподобной геодезической; безмассовые частицы, такие как фотон, вместо этого следуют нулевым геодезическим (замените −1 на ноль в правой части последнего уравнения). Важно, чтобы последние два уравнения были согласованы друг с другом, когда последнее дифференцируется по собственному времени, и следующая формула для символов Кристоффеля обеспечивает эту согласованность: Это последнее уравнение не включает электромагнитные поля, и оно применимо даже в пределе, когда электромагнитные поля исчезают. Буква g с верхними индексами относится к обратной величине метрического тензора. В общей теории относительности индексы тензоров понижаются и повышаются путем сжатия с метрическим тензором или его обратным, соответственно. $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$$

Геодезические как кривые стационарного интервала

Геодезическая линия между двумя событиями может быть также описана как кривая, соединяющая эти два события, которая имеет стационарный интервал (4-мерная «длина»). Стационарный здесь используется в том смысле, в котором этот термин используется в исчислении вариаций , а именно, что интервал вдоль кривой минимально изменяется среди кривых, которые находятся рядом с геодезической.

В пространстве Минковского есть только одна геодезическая, которая соединяет любую заданную пару событий, и для времениподобной геодезической это кривая с самым длинным собственным временем между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени возможно, что пара далеко разнесенных событий имеет более одной времениподобной геодезической между ними. В таких случаях собственное время вдоль нескольких геодезических в общем случае не будет одинаковым. Для некоторых геодезических в таких случаях возможно, что кривая, которая соединяет два события и находится рядом с геодезической, имеет либо большее, либо меньшее собственное время, чем геодезическая. ^[11]

Для пространственно-подобной геодезической через два события всегда есть близлежащие кривые, проходящие через два события, которые имеют либо большую, либо меньшую собственную длину, чем геодезическая, даже в пространстве Минковского. В пространстве Минковского геодезическая будет прямой линией. Любая кривая, которая отличается от геодезической чисто пространственно ( т. е. не меняет временную координату) в любой инерциальной системе отсчета, будет иметь большую собственную длину, чем геодезическая, но кривая, которая отличается от геодезической чисто временно ( т. е. не меняет пространственные координаты) в такой системе отсчета, будет иметь меньшую собственную длину.

Интервал кривой в пространстве-времени равен $${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$$

Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа , после некоторых вычислений, становится таким, где $${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$$ $${\displaystyle 2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$$ ${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

Доказательство

Цель состоит в том, чтобы найти кривую, для которой значение является стационарным, где эта цель может быть достигнута путем вычисления уравнения Эйлера-Лагранжа для f , которое имеет вид $${\displaystyle l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {(d\tau )^{2} \over (d\phi )^{2}}}\,d\phi =\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}\,d\phi =\int f\,d\phi }$$ $${\displaystyle f={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}$$ $${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}.}$$

Подстановка выражения f в уравнение Эйлера–Лагранжа (что делает значение интеграла l стационарным), дает $${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}}$$

Теперь вычислим производные: $${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(1)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\mu \nu }\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(2)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(3)\\[1ex]{{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })-(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(4)\\[1ex]{(-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&=g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }&&(5)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\mu }+g_{\mu \lambda ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \nu }{\ddot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu })\\&=(g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })\qquad \qquad (6)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu }={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta }}\qquad \qquad (7)}$$ $${\displaystyle 2(\Gamma _{\lambda \mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}_{\lambda })={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }) \over {\dot {x}}_{\beta }{\dot {x}}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)}$$

Это всего лишь один шаг до геодезического уравнения.

Если параметр s выбран аффинным, то правая часть приведенного выше уравнения исчезает (потому что является константой). Наконец, мы имеем геодезическое уравнение ${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$$

Вывод с использованием автопараллельного переноса

Уравнение геодезической может быть альтернативно выведено из автопараллельного переноса кривых. Вывод основан на лекциях, прочитанных Фредериком П. Шуллером в Международной зимней школе We-Heraeus по гравитации и свету.

Пусть будет гладкое многообразие со связностью и будет кривая на многообразии. Говорят, что кривая автопараллельно переносится тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$

Чтобы вывести геодезическое уравнение, нам нужно выбрать диаграмму : Используя линейность и правило Лейбница: ${\displaystyle (U,x)\in A}$ $${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$

Используя то, как связь действует на функции ( ), и расширяя второй член с помощью функций коэффициентов связи: ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$ $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

Первый член можно упростить до . Переименование фиктивных индексов: ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$ $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

Наконец, мы приходим к геодезическому уравнению: $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Геодезический
• Геодезическая прецессия
• геодезические Шварцшильда
• Геодезические как гамильтоновы потоки
• Мировая функция Синга

Библиография

• Стивен Вайнберг , Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , (1972) John Wiley & Sons, Нью-Йорк ISBN  0-471-92567-5 . См. главу 3 .
• Лев Д. Ландау и Евгений М. Лифшиц , Классическая теория поля , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7 См. раздел 87 . 
• Чарльз В. Мизнер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер , Гравитация , (1970) WH Freeman, Нью-Йорк; ISBN 0-7167-0344-0 . 
• Бернард Ф. Шутц , Первый курс общей теории относительности , (1985; 2002) Cambridge University Press: Кембридж, Великобритания; ISBN 0-521-27703-5 . См. главу 6 . 
• Роберт М. Уолд , Общая теория относительности , (1984) Издательство Чикагского университета, Чикаго. См. раздел 3.3 .

Ссылки

1. Уилл, Клиффорд. Теория и эксперимент в гравитационной физике , стр. 143 (Cambridge University Press, 1993).
2. Вайнберг, Стивен. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности (Wiley, 1972).
3. Вайнберг, Стивен. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , стр. 71, уравнение 3.2.4 (Wiley 1972).
4. Плебанский, Ежи и Красинский, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию , с. 34 (Издательство Кембриджского университета, 2006).
5. Эйнштейн, Альберт. Значение теории относительности , стр. 113 (Psychology Press 2003).
6. Эйнштейн, А.; Розен, Н. (1 июля 1935 г.). «Проблема частиц в общей теории относительности». Physical Review . 48 (1): 76. Bibcode :1935PhRv...48...73E. doi : 10.1103/PhysRev.48.73 .и ER - бумага Эйнштейна Розена ER=EPR
7. Тамир, М. «Доказательство принципа: слишком серьёзное отношение к геодезической динамике в теории Эйнштейна», Исследования по истории и философии современной физики 43(2), 137–154 (2012).
8. Маламент, Дэвид. «Замечание о «геодезическом принципе» в общей теории относительности» в книге «Анализ и интерпретация в точных науках: эссе в честь Уильяма Демопулоса» , стр. 245-252 (Springer 2012).
9. Плебанский, Ежи и Красинский, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию , с. 143 (Издательство Кембриджского университета, 2006).
10. Wald, RM (1984). Общая теория относительности . Ур. 4.3.2: Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-87033-5.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
11. Чарльз В. Мизнер ; Кип Торн ; Джон Арчибальд Уилер (1973). Гравитация . WH Freeman . стр. 316, 318–319. ISBN 0-7167-0344-0.