В математике гиперболическое многообразие — это пространство, где каждая точка локально выглядит как гиперболическое пространство некоторой размерности. Они особенно изучаются в размерностях 2 и 3, где называются гиперболическими поверхностями и гиперболическими 3-многообразиями соответственно. В этих размерностях они важны, поскольку большинство многообразий можно превратить в гиперболическое многообразие с помощью гомеоморфизма . Это следствие теоремы об униформизации для поверхностей и теоремы геометризации для 3-многообразий, доказанных Перельманом .
Гиперболическое -многообразие - это полное риманово -многообразие постоянной секционной кривизны .
Каждое полное, связное, односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны изометрично действительному гиперболическому пространству . В результате универсальная накрывающая любого замкнутого многообразия постоянной отрицательной кривизны равна . Таким образом, каждое такое можно записать как , где — дискретная группа изометрий без кручения на . То есть — дискретная подгруппа . Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда — решетка .
Его разложение «толстый-тонкий» имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и концов, которые являются произведением евклидова ( )-многообразия и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.
Простейшим примером гиперболического многообразия является гиперболическое пространство , поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет окрестность, изометричную гиперболическому пространству.
Однако простой нетривиальный пример — это однажды проколотый тор. Это пример (Isom( ), )-многообразия . Его можно сформировать, взяв идеальный прямоугольник — то есть прямоугольник, вершины которого находятся на границе в бесконечности и, таким образом, не существуют в результирующем многообразии — и отождествив противоположные изображения.
Аналогичным образом мы можем построить трижды проколотую сферу, показанную ниже, склеив два идеальных треугольника. Это также показывает, как рисовать кривые на поверхности — черная линия на диаграмме становится замкнутой кривой, когда зеленые края склеиваются. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности — включая их границы — не являются частью поверхности и, следовательно, представлены на диаграмме как идеальные вершины .
Многие узлы и зацепления , включая некоторые из более простых узлов, такие как узел восьмерка и кольца Борромео , являются гиперболическими , и поэтому дополнением узла или зацепления является гиперболическое 3-многообразие конечного объема.
Для гиперболической структуры на гиперболическом -многообразии конечного объема она уникальна по жесткости Мостова , и поэтому геометрические инварианты на самом деле являются топологическими инвариантами. Одним из таких геометрических инвариантов, используемых в качестве топологического инварианта, является гиперболический объем узла или дополнения зацепления, который может позволить нам отличить два узла друг от друга, изучая геометрию их соответствующих многообразий.
