В математике квадратичная форма над полем F называется изотропной , если существует ненулевой вектор, на котором форма равна нулю. В противном случае это определенная квадратичная форма . Более конкретно, если q является квадратичной формой на векторном пространстве V над F , то ненулевой вектор v в V называется изотропным, если q ( v ) = 0. Квадратичная форма является изотропной тогда и только тогда, когда существует ненулевой изотропный вектор (или нулевой вектор ) для этой квадратичной формы.
Предположим, что ( V , q ) — квадратичное пространство , а W — подпространство V. Тогда W называется изотропным подпространством V , если некоторый вектор в нем изотропен, полностью изотропным подпространством , если все векторы в нем изотропны, и определенным подпространством, если оно не содержит никаких ( ненулевых) изотропных векторов.Индекс изотропии квадратичного пространства — это максимум размерности полностью изотропных подпространств.[1]
В более общем случае, если квадратичная форма невырождена и имеет сигнатуру ( a , b ) , то ее индекс изотропии равен минимуму a и b . Важный пример изотропной формы над действительными числами встречается в псевдоевклидовом пространстве .
Пусть F — поле характеристики, отличной от 2, и V = F 2 . Если мы рассмотрим общий элемент ( x , y ) поля V , то квадратичные формы q = xy и r = x 2 − y 2 эквивалентны, поскольку существует линейное преобразование на V , которое делает q похожим на r , и наоборот. Очевидно, что ( V , q ) и ( V , r ) изотропны. Этот пример называется гиперболической плоскостью в теории квадратичных форм . Обычный пример имеет F = действительные числа, в этом случае { x ∈ V : q ( x ) = ненулевая константа} и { x ∈ V : r ( x ) = ненулевая константа} являются гиперболами . В частности, { x ∈ V : r ( x ) = 1} является единичной гиперболой . Обозначение ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ использовалось Милнором и Хуземоллером [1] : 9 для гиперболической плоскости, поскольку в нем показаны знаки членов двумерного полинома r .
Аффинная гиперболическая плоскость была описана Эмилем Артином как квадратичное пространство с базисом { M , N }, удовлетворяющим M2 = N2 = 0 , NM = 1 , где произведения представляют квадратичную форму. [2]
Через тождество поляризации квадратичная форма связана с симметричной билинейной формой B ( u , v ) = 1/4 ( q ( u + v ) − q ( u − v )) .
Два вектора u и v ортогональны , когда B ( u , v ) = 0. В случае гиперболической плоскости такие u и v являются гиперболо-ортогональными .
Пространство с квадратичной формой является расщепляемым (или метаболическим ), если существует подпространство, равное его собственному ортогональному дополнению ; эквивалентно, индекс изотропии равен половине размерности. [1] : 57 Примером является гиперболическая плоскость, и над полем характеристики, не равной 2, каждое расщепляемое пространство является прямой суммой гиперболических плоскостей. [1] : 12, 3
С точки зрения классификации квадратичных форм, пространства с определенными квадратичными формами являются основными строительными блоками для квадратичных пространств произвольной размерности. Для общего поля F классификация определенных квадратичных форм является нетривиальной задачей. Напротив, изотропные формы, как правило, гораздо проще в обращении. По теореме разложения Витта , каждое пространство скалярного произведения над полем является ортогональной прямой суммой расщепляемого пространства и пространства с определенной квадратичной формой. [1] : 56