В геометрии гиперкуб — это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая фигура, 1- скелет которой состоит из групп противоположных параллельных отрезков , выровненных в каждом из измерений пространства , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна .
n - мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . [1] [2] Термин «многогранник с мерой» (родом из Elte, 1912) [3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter , который также называет гиперкубы многогранниками γ n . [4]
Гиперкуб — это частный случай гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).
Единичный гиперкуб — это гиперкуб, длина стороны которого равна одной единице . Часто гиперкуб, углами (или вершинами ) которого являются 2 n точек в R n с каждой координатой, равной 0 или 1, называется единичным гиперкубом.
Гиперкуб можно определить, увеличивая количество измерений фигуры:
Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб представляет собой сумму Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .
1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .
Единичный гиперкуб размерности — это выпуклая оболочка всех точек, декартовы координаты которых равны либо или . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением копий единичного интервала . Из этого путем перевода можно получить еще один единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства . Это выпуклая оболочка точек, векторы декартовых координат которых равны
Здесь символ означает, что каждая координата либо равна, либо равна . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и -мерный объем .
-мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое, как декартово произведение, также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна , а его -мерный объем равен .
Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы более низкой размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб измерения допускает фасеты или грани измерения : ( -мерный) отрезок имеет конечные точки; ( -мерный) квадрат имеет стороны или края; -мерный куб имеет квадратные грани; ( -мерный) тессеракт имеет в качестве граней трехмерные кубы. Число вершин гиперкуба размерностью равно ( например, у обычного -мерного куба есть вершины). [5]
Число -мерных гиперкубов (далее называемых -кубами), содержащихся на границе -куба, равно
Например, граница -куба ( ) содержит кубы ( -cubes), квадраты ( -cubes), отрезки линий ( -cubes) и вершины ( -cubes). Это тождество можно доказать с помощью простого комбинаторного рассуждения: для каждой вершины гиперкуба существует способ выбрать набор ребер, инцидентных этой вершине. Каждый из этих наборов определяет одну из -мерных граней, инцидентных рассматриваемой вершине. Делая это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерных граней гиперкуба подсчитывается раз, так как в ней столько вершин, и нам нужно разделить на это число.
Число граней гиперкуба можно использовать для вычисления -мерного объема его границы: этот объем умножен на объем -мерного гиперкуба; то есть где – длина ребер гиперкуба.
Эти числа также могут быть сгенерированы с помощью линейного рекуррентного соотношения .
Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата для формирования куба образует сегменты линий.
Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить путем расширения (кратко говоря, (2,1) n ) и считывания коэффициентов полученного многочлена . Например, элементы тессеракта — это (2,1) 4 = (4,4,1) 2 = (16,32,24,8,1).
n - куб можно спроектировать внутри правильного 2- угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь, от отрезка прямой к 16-кубу.
Гиперкубы — одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. [8]
Семейство гиперкубов (смещений) — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , помеченные как β n, и симплексы , помеченные как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначается как δn .
Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые состоят из гиперкубов с альтернативными удаленными вершинами и добавленными в промежутках симплексными гранями, обозначенными как hγ n .
n -кубы можно комбинировать с их двойниками ( перекрестными многогранниками ), чтобы сформировать составные многогранники:
Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе решетки граней ( n − 1) -симплекса . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1)-симплекса ( n -2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n -3 граней симплекса и т. д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, сопоставляются с вершинами симплекса.
Это соотношение можно использовать для эффективного создания решетки граней ( n -1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.
Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве , называемом обобщенными гиперкубами , γп
н= p {4} 2 {3}... 2 {3} 2 , или... Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ2
н= γ n = 2 {4} 2 {3}... 2 {3} 2 = {4,3,..,3}. При p > 2 они существуют в . Фасеты представляют собой обобщенный ( n −1)-куб, а вершинная фигура — регулярные симплексы .
Периметр правильного многоугольника , видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными p -ребрами чередующегося красного и синего цвета, тогда как более высокие n -кубы нарисованы с p -ребрами, обведенными черным.
Число m -гранных элементов в p -обобщенном n -кубе равно: . Это p n вершин и pn граней. [9]
Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число представляет собой определенный тип фигурного числа , соответствующий n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель степени 2 даст квадратное число или «идеальный квадрат», который можно расположить в форме квадрата с длиной стороны, соответствующей длине стороны. Точно так же показатель степени 3 даст идеальный куб — целое число, которое можно расположить в форме куба с длиной стороны, равной основанию. В результате действие возведения числа до 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, похоже, не широко используются высшими силами.