Гиперкуб

Выпуклый многогранник, n-мерный аналог квадрата и куба

В следующих перспективных проекциях куб — ​​это 3-куб, а тессеракт — это 4-куб.

В геометрии гиперкуб — ​​это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ); частный случай для n = 4 известен как тессеракт . Это замкнутая , компактная , выпуклая фигура, 1- скелет которой состоит из групп противоположных параллельных отрезков, выровненных в каждом из измерений пространства , перпендикулярных друг другу и имеющих одинаковую длину. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна . ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

n -мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . ^{[1] [2]} Термин мерный многогранник (первоначально от Элте, 1912) ^[3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter, который также называет гиперкубы γ n -многогранниками. ^[4]

Гиперкуб является частным случаем гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).

Единичный гиперкуб — ​​это гиперкуб, сторона которого имеет длину одну единицу . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого являются 2 ⁿ точками в R ⁿ с каждой координатой, равной 0 или 1, называют единичным гиперкубом.

Строительство

По количеству измерений

Анимация, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Гиперкуб можно определить, увеличив число измерений фигуры:

0 – Точка представляет собой гиперкуб размерности ноль.

1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она очертит отрезок прямой, который является единичным гиперкубом размерности один.

2 – Если переместить этот отрезок прямой на его длину в перпендикулярном направлении от себя, то получится двумерный квадрат.

3 – Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.

4 – Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, получится 4-мерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб является суммой Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .

Координаты вершины

Проекция вращающегося тессеракта .

Единичный гиперкуб размерности — это выпуклая оболочка всех точек , декартовы координаты которых равны либо , либо . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением копий единичного интервала . Другой единичный гиперкуб, центрированный в начале координат окружающего пространства, может быть получен из этого путем переноса . Это выпуклая оболочка точек, векторы декартовых координат которых равны ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.}$

Здесь символ означает, что каждая координата либо равна, либо . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и -мерный объем . ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle -1/2}$ ${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

-мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое, как декартово произведение, также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна , а -мерный объем равен . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$ ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Лица

Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы меньшей размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб размерности допускает грани или грани размерности : ( -мерный) отрезок прямой имеет конечные точки; ( -мерный) квадрат имеет стороны или ребра; ( -мерный) куб имеет квадратные грани; ( -мерный) тессеракт имеет трехмерные кубы в качестве своих граней. Число вершин гиперкуба размерности равно ( например , обычный, -мерный куб имеет вершины). ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2^{3}=8}$

Число -мерных гиперкубов (далее просто -кубов), содержащихся в границах -куба, равно ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}}$, ^[6]     где и обозначает факториал числа . ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

Например, граница -куба ( ) содержит кубы ( -кубы), квадраты ( -кубы), отрезки прямых ( -кубы) и вершины ( -кубы). Это тождество можно доказать простым комбинаторным аргументом: для каждой вершины гиперкуба существуют способы выбрать набор ребер, инцидентных этой вершине. Каждый из этих наборов определяет одну из -мерных граней, инцидентных рассматриваемой вершине. Делая это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерных граней гиперкуба подсчитывается раз, поскольку она имеет столько вершин, и нам нужно разделить на это число. ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

Число граней гиперкуба можно использовать для вычисления -мерного объема его границы: этот объем в раз больше объема -мерного гиперкуба; то есть, где — длина ребер гиперкуба. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2ns^{n-1}}$ ${\displaystyle s}$

Эти числа также можно получить с помощью линейного рекуррентного соотношения .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$, с , и когда , , или . ${\displaystyle E_{0,0}=1}$ ${\displaystyle E_{m,n}=0}$ ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle m<0}$

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на вершину. Добавление противоположного квадрата для формирования куба дает сегменты линии. ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить путем расширения (кратко, (2,1) ⁿ ), и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта - (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1). ${\displaystyle (2x+1)^{n}}$

Графики

Куб размером n может быть спроецирован внутрь правильного 2 n -угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь из отрезка прямой на 16-куб.

Родственные семейства многогранников

Гиперкубы являются одним из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. ^[8]

Семейство гиперкубов (смещенных) является одним из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ _n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-политопы , обозначенные как β _{n ,} и симплексы , обозначенные как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначены как δ _n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые построены из гиперкубов с удаленными чередующимися вершинами и добавленными в зазоры симплексными гранями, обозначенными как hγ _n .

n -кубы можно объединить с их двойственными ( кросс-политопами ) для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем восьмиугольную звездную фигуру {8/2},
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях получаем соединение тессеракта и 16-ячейки.

Отношение к (н−1)-симплексы

Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе решетки граней ( n −1 ) -симплекса . Это можно увидеть, сориентировав n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n −1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается на одну из граней ( n −1)-симплекса ( n −2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается на одну из n −3 граней симплекса и т. д., а вершины, соединенные с нижней вершиной, отображаются на вершины симплекса.

Это соотношение можно использовать для эффективного построения решетки граней ( n −1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, требуют больших вычислительных затрат.

Обобщенные гиперкубы

Правильные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ^п
_н= _п {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , или... Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ²
_н= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. Для p > 2 они существуют в . Грани являются обобщенным ( n −1)-кубом, а вершинные фигуры являются правильными симплексами . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Периметр правильного многоугольника, видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, очерченными красными и синими чередующимися p -ребрами, в то время как более высокие n -кубы нарисованы с черными p -ребрами.

Число m -гранных элементов в p -обобщенном n- кубе равно: . Это p ⁿ вершин и pn граней. ^[9] ${\displaystyle p^{n-m}{n \choose m}}$

Отношение к возведению в степень

Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число будет определенным типом фигурного числа, соответствующего n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель 2 даст квадратное число или «совершенный квадрат», который может быть организован в квадратную форму с длиной стороны, соответствующей длине основания. Аналогично показатель 3 даст совершенный куб , целое число, которое может быть организовано в форму куба с длиной стороны основания. В результате, действие по возведению числа в степень 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, по-видимому, не являются общепринятыми для более высоких степеней.

Смотрите также

• Математический портал

• Гиперкубическая сеть взаимосвязей компьютерной архитектуры
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии гиперкуба
• Гиперсфера
• Симплекс
• Параллелотоп
• Распятие (Corpus Hypercubus) (знаменитое произведение искусства)

Примечания

1. Пол Доорен; Люк Риддер. «Адаптивный алгоритм численного интегрирования по n-мерному кубу».
2. Сяофань Ян; Юань Тан. «Алгоритм диагностики (4n − 9)/3 на n-мерной кубической сети».
3. Элте, Э. Л. (1912). "IV, Пятимерный полуправильный многогранник". Полуправильные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN 141817968X.
4. Coxeter 1973, стр. 122–123, §7.2 см . иллюстрацию Рис. 7.2 C.
5. Мирослав Вореховский; Ян Машек; Ян Элиаш (ноябрь 2019 г.). «Оптимальная выборка на основе расстояния в гиперкубе: аналогии с системами N тел». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 137 . 102709. doi : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709. ISSN  0965-9978.
6. Коксетер 1973, стр. 122, §7·25.
7. Джонсон, Норман У.; Геометрия и преобразования , Cambridge University Press, 2018, стр. 224.
8. Нога Алон. «Передача в n-мерном кубе».
9. Коксетер, HSM (1974), Правильные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Cambridge University Press , стр. 180, MR  0370328.

Ссылки

• Bowen, JP (апрель 1982 г.). "Гиперкуб". Practical Computing . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала 2008-06-30 . Получено 30 июня 2008 г.
• Coxeter, HSM (1973). "§7.2. см. иллюстрацию Рис. 7-2c". Регулярные многогранники (3-е изд.). Dover . стр. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n  ≥ 5)
• Хилл, Фредерик Дж.; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию коммутации и логическое проектирование: Второе издание . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-39882-9.См. главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», в которой вводится понятие «гиперкуба» как средства демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) как вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с его вершинами, помеченными таким образом, сжимается в два измерения, образуя либо диаграмму Вейтча , либо карту Карно .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Графы гиперкуба". MathWorld .
• Вращение гиперкуба , автор Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations .
• Загрузки Hypercube Руди Ракера и Фариде Дормишян
• A001787 Количество ребер в n-мерном гиперкубе. в OEIS