В геометрии гиперплоскость — это обобщение двумерной плоскости в трехмерном пространстве на математические пространства произвольной размерности . Как и плоскость в пространстве , гиперплоскость — это плоская гиперповерхность , подпространство , размерность которого на единицу меньше размерности окружающего пространства . Двумя примерами гиперплоскостей с меньшей размерностью являются одномерные прямые на плоскости и нульмерные точки на прямой.
Чаще всего окружающее пространство представляет собой n- мерное евклидово пространство , в этом случае гиперплоскости являются ( n − 1) -мерными «плоскостями» , каждая из которых разделяет пространство на два полупространства . [1] Отражение относительно гиперплоскости является видом движения ( геометрическое преобразование, сохраняющее расстояние между точками), а группа всех движений генерируется отражениями. Выпуклый многогранник является пересечением полупространств.
В неевклидовой геометрии окружающее пространство может быть n -мерной сферой или гиперболическим пространством , или, в более общем смысле, псевдоримановым пространством , а гиперплоскости — это гиперповерхности, состоящие из всех геодезических, проходящих через точку и перпендикулярных определенной нормальной геодезической.
В других типах окружающих пространств некоторые свойства евклидова пространства больше не актуальны. Например, в аффинном пространстве нет понятия расстояния, поэтому нет отражений или движений. В неориентируемом пространстве, таком как эллиптическое пространство или проективное пространство , нет понятия полуплоскости. В наибольшей общности понятие гиперплоскости имеет смысл в любом математическом пространстве, в котором определено понятие размерности подпространства .
Разница в размерности между подпространством и окружающим его пространством называется его коразмерностью . Гиперплоскость имеет коразмерность 1 .
В геометрии гиперплоскость n -мерного пространства V является подпространством размерности n − 1 или, что эквивалентно, коразмерности 1 в V . Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем смысле, аффинным пространством , векторным пространством или проективным пространством , и понятие гиперплоскости соответственно меняется, поскольку определение подпространства различается в этих настройках; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одного (из-за ограничения «коразмерности 1») алгебраического уравнения степени 1.
Если V — векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно должны проходить через начало координат; их можно получить путем переноса векторной гиперплоскости). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение , которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.
Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для определенных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.
Аффинная гиперплоскость — это аффинное подпространство коразмерности 1 в аффинном пространстве . В декартовых координатах такая гиперплоскость может быть описана одним линейным уравнением следующего вида (где хотя бы один из s отличен от нуля и является произвольной константой):
В случае действительного аффинного пространства, другими словами , когда координаты являются действительными числами, это аффинное пространство разделяет пространство на два полупространства, которые являются связными компонентами дополнения гиперплоскости и задаются неравенствами
и
Например, точка является гиперплоскостью в одномерном пространстве, линия является гиперплоскостью в двумерном пространстве, а плоскость является гиперплоскостью в трехмерном пространстве. Прямая в трехмерном пространстве не является гиперплоскостью и не разделяет пространство на две части (дополнение такой линии связно).
Любая гиперплоскость евклидова пространства имеет ровно два единичных нормальных вектора: . В частности, если мы рассмотрим , снабженное обычным скалярным произведением ( скалярным произведением ), то можно определить аффинное подпространство с нормальным вектором и сдвигом начала координат как множество всех таких, что .
Аффинные гиперплоскости используются для определения границ принятия решений во многих алгоритмах машинного обучения , таких как линейные (косые) деревья решений и персептроны .
В векторном пространстве векторная гиперплоскость — это подпространство коразмерности 1, сдвинутое из начала координат только на вектор, в этом случае оно называется плоскостью . Такая гиперплоскость является решением одного линейного уравнения .
Проективные гиперплоскости используются в проективной геометрии . Проективное подпространство — это множество точек со свойством, что для любых двух точек множества все точки на прямой, определяемой двумя точками, содержатся в множестве. [2] Проективную геометрию можно рассматривать как аффинную геометрию с добавленными точками схода (точками на бесконечности). Аффинная гиперплоскость вместе с соответствующими точками на бесконечности образует проективную гиперплоскость. Одним из особых случаев проективной гиперплоскости является бесконечная или идеальная гиперплоскость , которая определяется множеством всех точек на бесконечности.
В проективном пространстве гиперплоскость не делит пространство на две части; скорее, для разделения точек и разделения пространства требуются две гиперплоскости. Причина этого в том, что пространство по сути «оборачивает» так, что обе стороны одиночной гиперплоскости соединены друг с другом.
В выпуклой геометрии два непересекающихся выпуклых множества в n-мерном евклидовом пространстве разделены гиперплоскостью; этот результат называется теоремой о разделении гиперплоскостей .
В машинном обучении гиперплоскости являются ключевым инструментом для создания машин опорных векторов для таких задач, как компьютерное зрение и обработка естественного языка .
Точка данных и ее прогнозируемое значение с помощью линейной модели представляют собой гиперплоскость.
Двугранный угол между двумя непараллельными гиперплоскостями евклидова пространства — это угол между соответствующими нормальными векторами . Произведение преобразований в двух гиперплоскостях — это поворот, осью которого является подпространство коразмерности 2, полученное пересечением гиперплоскостей, а угол — это удвоенный угол между гиперплоскостями.
Гиперплоскость H называется «опорной» гиперплоскостью многогранника P, если P содержится в одном из двух замкнутых полупространств, ограниченных H и . [3] Пересечение P и H определяется как «грань» многогранника. Теория многогранников и размерность граней анализируются путем рассмотрения этих пересечений, включающих гиперплоскости.
