В математике сумма Куммера — это название некоторых кубических сумм Гаусса для простого модуля p , где p сравнимо с 1 по модулю 3. Они названы в честь Эрнста Куммера , который выдвинул гипотезу о статистических свойствах их аргументов, как комплексных чисел. Эти суммы были известны и использовались до Куммера, в теории циклотомии .
Следовательно, сумма Куммера является конечной суммой.
взятый по r по модулю p , где χ — характер Дирихле, принимающий значения в кубических корнях из единицы , и где e ( x ) — показательная функция exp(2π ix ). При наличии p требуемой формы имеются два таких характера вместе с тривиальным характером.
Кубическая показательная сумма K ( n , p ) определяется как
легко увидеть, что это линейная комбинация сумм Куммера. Фактически это 3 P , где P — один из гауссовых периодов для подгруппы индекса 3 в остатках mod p при умножении, в то время как суммы Гаусса являются линейными комбинациями P с кубическими корнями из единицы в качестве коэффициентов. Однако это сумма Гаусса, для которой выполняются алгебраические свойства. Такие кубические показательные суммы теперь также называются суммами Куммера.
Из общей теории сумм Гаусса известно, что
На самом деле, известно простое разложение G ( χ ) в циклотомическом поле, в котором оно естественным образом находится, что дает более сильную форму. То, что волновало Куммера, было аргументом
G ( χ ). В отличие от квадратичного случая, где квадрат суммы Гаусса известен, а точный квадратный корень был определен Гауссом, здесь куб G ( χ ) лежит в целых числах Эйзенштейна , но его аргумент определяется аргументом простого числа Эйзенштейна, делящего p , которое распадается в этом поле.
Куммер выдвинул статистическую гипотезу о θ p и его распределении по модулю 2π (другими словами, об аргументе суммы Куммера на единичной окружности). Чтобы это имело смысл, нужно выбрать между двумя возможными χ: на самом деле существует выдающийся выбор, основанный на символе кубического вычета . Куммер использовал доступные числовые данные для p до 500 (это описано в книге 1892 года «Теория чисел» Джорджа Б. Мэтьюза ). Однако действовал «закон малых чисел», что означало, что исходная гипотеза Куммера об отсутствии равномерного распределения страдала от смещения малых чисел. В 1952 году Джон фон Нейман и Герман Голдстайн расширили вычисления Куммера на ENIAC . [1] Расчеты были запрограммированы и закодированы Хедвиг Сельберг, но ее работа была отмечена только в конце статьи, аналогично работе Мэри Цингоу по проблеме Ферми–Паста–Улама–Цингоу (ранее проблема Ферми–Паста–Улама).
В двадцатом веке, наконец, был достигнут прогресс в этом вопросе, который оставался нетронутым более 100 лет. Основываясь на работе Томио Куботы , С. Дж. Паттерсон и Роджер Хит-Браун в 1978 году опровергли гипотезу Куммера и доказали модифицированную форму гипотезы Куммера. [2] Фактически, они показали, что существует равнораспределение θ p . Эта работа включала автоморфные формы для метаплектической группы и лемму Вогана в аналитической теории чисел . В 2000 году Хит-Браун добился дальнейших уточнений. [3]
Вторая гипотеза о суммах Куммера была выдвинута Дж. В. С. Касселсом , снова основываясь на предыдущих идеях Томио Куботы. Это была формула произведения в терминах эллиптических функций с комплексным умножением на целые числа Эйзенштейна. [4] Гипотеза была доказана в 1978 году Чарльзом Мэтьюзом. [5]
В 1978 году Паттерсон предположил, что θ p равномерно распределена с ошибкой асимптотически порядка, а не квадратичной, как в суммах Гаусса, что могло бы объяснить первоначальное смещение, наблюдаемое Куммером. [6] В следующем году его последующая работа с Хит-Брауном, опровергающая гипотезу Куммера, показала, что на самом деле она равномерно распределена, но был ли порядок асимптотики правильным, оставалось неизвестным. [ 7] Более 20 лет спустя Хит-Браун закрыл проблему, предложив новый метод решета, и предположил, что его можно улучшить, чтобы получить предсказанный порядок. [8] В 2021 году проблема была условно продемонстрирована на обобщенной гипотезе Римана Александром Данном и Максимом Радзивиллом , которые также показали, что решето Хита Брауна не может быть улучшено, как ожидалось. [9] [10]
