Гипотеза Крамера

В теории чисел гипотеза Крамера , сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, ^[1] является оценкой размера промежутков между последовательными простыми числами : интуитивно, промежутки между последовательными простыми числами всегда малы, и гипотеза количественно асимптотически определяет , насколько малыми они должны быть. Она утверждает, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\ }$

где p _n обозначает n- е простое число , O — это большая нотация O , а «log» — натуральный логарифм . Хотя это утверждение явно выдвинуто Крамером, его эвристика фактически поддерживает более сильное утверждение

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

и иногда эту формулировку называют гипотезой Крамера. Однако эта более сильная версия не поддерживается более точными эвристическими моделями, которые, тем не менее, поддерживают первую версию гипотезы Крамера. Ни одна из форм пока не была ни доказана, ни опровергнута.

Условно доказанные результаты по основным пробелам

Крамер дал условное доказательство гораздо более слабого утверждения, что

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

на основе гипотезы Римана . ^[1] Наиболее известная безусловная граница —

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

благодаря Бейкеру, Харману и Пинцу . ^[2]

В другом направлении Э. Вестзинтиус доказал в 1931 году, что разрывы между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть, ^[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Его результат был улучшен Р. А. Ранкиным , ^[4], который доказал, что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

Пол Эрдёш предположил, что левая часть приведенной выше формулы бесконечна, и это было доказано в 2014 году Кевином Фордом , Беном Грином , Сергеем Конягиным и Теренсом Тао ^[5] и независимо Джеймсом Мейнардом ^[6] . Две группы авторов улучшили результат на коэффициент позже в том же году. ^[7] ${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основана на вероятностной модели — по сути, эвристической — в которой вероятность того, что число размера x является простым, равна 1/log x . Это известно как случайная модель Крамера или модель Крамера простых чисел. ^[8]

В случайной модели Крамера,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

с вероятностью один . ^[1] Однако, как указал Эндрю Грэнвилл , ^[9] теорема Майера показывает, что случайная модель Крамера неадекватно описывает распределение простых чисел на коротких интервалах, а уточнение модели Крамера с учетом делимости на малые простые числа предполагает, что ^{[ необходимо разъяснение ]} ( OEIS : A125313 ), где — константа Эйлера–Маскерони . Янош Пинц предположил, что предел sup может быть бесконечным, ^[10] и аналогично Леонард Адлеман и Кевин МакКерли пишут ${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$ ${\displaystyle \gamma }$

В результате работы Х. Майера о промежутках между последовательными простыми числами точная формулировка гипотезы Крамера была поставлена ​​под сомнение [...] Вероятно, по-прежнему верно, что для каждой константы существует константа такая, что существует простое число между и . ${\displaystyle c>2}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$ ^[11]

Аналогично пишет Робин Виссер:

На самом деле, благодаря работе, проделанной Гранвилем, теперь широко распространено мнение, что гипотеза Крамера ложна. Действительно, существуют некоторые теоремы, касающиеся коротких интервалов между простыми числами, такие как теорема Майера, которые противоречат модели Крамера. ^[12]

(внутренние ссылки удалены).

Связанные предположения и эвристики

Функция простого разрыва

Дэниел Шэнкс предположил следующее асимптотическое равенство, более сильное, чем гипотеза Крамера, ^[13] для рекордных промежутков: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

Дж. Х. Кэдвелл ^[14] предложил формулу для максимальных зазоров: которая формально идентична гипотезе Шэнкса, но предполагает член более низкого порядка. ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$

Марек Вольф ^[15] предложил формулу для максимальных промежутков, выраженную через функцию подсчета простых чисел : ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

где и — удвоенная константа простых чисел-близнецов ; см. OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Это снова формально эквивалентно гипотезе Шэнкса, но предполагает члены более низкого порядка ${\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...}$ ${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$.

Томас Найсли вычислил много больших простых промежутков. ^[16] Он измеряет качество соответствия гипотезе Крамера, измеряя отношение

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Он пишет: «Для самых больших известных максимальных разрывов он оставался около 1,13». ${\displaystyle R}$

Смотрите также

• Теорема о простых числах
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — гораздо более слабые, но все еще недоказанные верхние границы промежутков между простыми числами.
• Гипотеза Фирузбахта
• Теорема Майера о количестве простых чисел в коротких интервалах, для которых модель предсказывает неверный ответ

Ссылки

1. Cramér, Harald (1936), «О порядке величины разности между последовательными простыми числами» (PDF) , Acta Arithmetica , 2 : 23–46, doi :10.4064/aa-2-1-23-46, архивировано из оригинала (PDF) 2018-07-23 , извлечено 2012-03-12
2. Бейкер, Р. К., Харман, Г., Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II», Труды Лондонского математического общества , 83 (3), Wiley: 532–562, doi :10.1112/plms/83.3.532
3. Вестзинтиус, Э. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (на немецком языке), 5 : 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
4. RA Rankin, Разница между последовательными простыми числами, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
5. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Тао, Теренс (2016). «Большие разрывы между последовательными простыми числами». Анналы математики . Вторая серия. 183 (3): 935–974. arXiv : 1408.4505 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.4 .
6. Мейнард, Джеймс (2016). «Большие промежутки между простыми числами». Annals of Mathematics . Вторая серия. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . doi : 10.4007/annals.2016.183.3.3 .
7. Форд, Кевин; Грин, Бен; Конягин, Сергей; Мейнард, Джеймс; Тао, Теренс (2018). «Длинные промежутки между простыми числами». Журнал Американского математического общества . 31 : 65–105. arXiv : 1412.5029 . doi : 10.1090/jams/876.
8. Терри Тао , 254A, Приложение 4: Вероятностные модели и эвристики для простых чисел (необязательно), раздел о случайной модели Крамера, январь 2015 г.
9. Granville, A. (1995), "Harald Cramér and the distribution of prime numbers" (PDF) , Scandinavian Actuarial Journal , 1 : 12–28, doi :10.1080/03461238.1995.10413946, архивировано из оригинала (PDF) 2015-09-23 , извлечено 2007-06-05.
10. Янош Пинц, Очень большие промежутки между последовательными простыми числами, Журнал теории чисел 63 :2 (апрель 1997 г.), стр. 286–301.
11. Леонард Адлеман и Кевин МакКерли, Открытые проблемы в теории чисел, II. Алгоритмическая теория чисел (Итака, Нью-Йорк, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Берлин, 1994.
12. Робин Виссер, Большие разрывы между простыми числами, Кембриджский университет (2020).
13. Шэнкс, Дэниел (1964), «О максимальных зазорах между последовательными простыми числами», Математика вычислений , 18 (88), Американское математическое общество: 646–651, doi : 10.2307/2002951 , JSTOR  2002951, Zbl  0128.04203.
14. Кэдвелл, Дж. Х. (1971), «Большие интервалы между последовательными простыми числами», Математика вычислений , 25 (116): 909–913, doi : 10.2307/2004355 , JSTOR  2004355
15. Вольф, Марек (2014), «Распределение расстояния между ближайшими соседями простых чисел и квантовый хаос», Phys. Rev. E , 89 (2): 022922, arXiv : 1212.3841 , Bibcode : 2014PhRvE..89b2922W, doi : 10.1103/physreve.89.022922, PMID  25353560, S2CID  25003349
16. Nicely, Thomas R. (1999), "Новые максимальные простые промежутки и первые вхождения", Mathematics of Computation , 68 (227): 1311–1315, Bibcode : 1999MaCom..68.1311N, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 , MR  1627813.

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.
• Пинц, Янош (2007). «Крамер против Крамера. О вероятностной модели Крамера для простых чисел». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 361–376. дои : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN  0208-6573. МР  2363833. Збл  1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). "Распределение простых чисел". В Granville, Andrew ; Rudnick, Zeév (ред.). Равнораспределение в теории чисел, введение. Труды Института передовых исследований НАТО по равнораспределению в теории чисел, Монреаль, Канада, 11–22 июля 2005 г. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . pp. 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Збл  1141.11043.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Крамера». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Крамера-Гранвиля». MathWorld .