Модель гиратор–конденсатор

Модель магнитных цепей

Простой трансформатор и его гираторно-конденсаторная модель. R — магнитное сопротивление физической магнитной цепи.

Модель гиратор –конденсатор ^[1] — иногда также модель конденсатора-проницаемости ^[2] — это модель сосредоточенных элементов для магнитных цепей , которая может использоваться вместо более распространенной модели сопротивления–сопротивления . Модель делает элементы проницаемости аналогичными электрической емкости ( см. раздел магнитная емкость ), а не электрическому сопротивлению ( см. магнитное сопротивление ). Обмотки представлены как гираторы , взаимодействующие между электрической цепью и магнитной моделью.

Основное преимущество модели гиратора–конденсатора по сравнению с моделью магнитного сопротивления заключается в том, что модель сохраняет правильные значения потока энергии, накопления и рассеивания. ^{[3] [4]} Модель гиратора–конденсатора является примером группы аналогий , которые сохраняют поток энергии через энергетические домены, делая пары переменных, сопряженных по мощности, в различных доменах аналогичными. Она играет ту же роль, что и аналогия импеданса для механического домена.

Номенклатура

Магнитная цепь может относиться как к физической магнитной цепи, так и к модельной магнитной цепи. Элементы и динамические переменные , которые являются частью модельной магнитной цепи, имеют имена, начинающиеся с прилагательного магнитный , хотя это соглашение не строго соблюдается. Элементы или динамические переменные в модельной магнитной цепи могут не иметь однозначного соответствия с компонентами в физической магнитной цепи. Символы для элементов и переменных, которые являются частью модельной магнитной цепи, могут быть записаны с нижним индексом M. Например, будет магнитным конденсатором в модельной цепи. ${\displaystyle C_{M}}$

Электрические элементы в связанной электрической цепи могут быть введены в магнитную модель для простоты анализа. Элементы модели в магнитной цепи, которые представляют электрические элементы, обычно являются электрическими дуалами электрических элементов. Это происходит потому, что преобразователи между электрическими и магнитными доменами в этой модели обычно представлены гираторами. Гиратор преобразует элемент в его дуал. Например, магнитная индуктивность может представлять электрическую емкость.

Краткое изложение аналогии между магнитными цепями и электрическими цепями

В следующей таблице обобщена математическая аналогия между теорией электрических цепей и теорией магнитных цепей.

Гиратор

Определение гиратора, использованное Хэмиллом в статье о подходе гиратора-конденсатора.

Гиратор — это двухпортовый элемент , используемый в сетевом анализе. Гиратор — это дополнение к трансформатору ; в то время как в трансформаторе напряжение на одном порту преобразуется в пропорциональное напряжение на другом порту, в гираторе напряжение на одном порту преобразуется в ток на другом порту, и наоборот.

Роль гираторов в модели гиратор–конденсатор заключается в том, что они являются преобразователями между областью электрической энергии и областью магнитной энергии. ЭДС в электрической области аналогична МДС в магнитной области, и преобразователь, выполняющий такое преобразование, можно представить как трансформатор. Однако реальные электромагнитные преобразователи обычно ведут себя как гираторы. Преобразователь из магнитной области в электрическую будет подчиняться закону индукции Фарадея , то есть скорость изменения магнитного потока (магнитного тока в этой аналогии) создает пропорциональную ЭДС в электрической области. Аналогично, преобразователь из электрической области в магнитную будет подчиняться закону цепей Ампера , то есть электрический ток будет создавать МДС.

Обмотка из N витков моделируется гиратором с сопротивлением гирации N Ом. ^{[1] : 100}

Преобразователи, не основанные на магнитной индукции, не могут быть представлены гиратором. Например, датчик Холла моделируется трансформатором.

Магнитное напряжение

Магнитное напряжение , , является альтернативным названием магнитодвижущей силы (МДС), ( единица СИ : А или ампер-виток ), которая аналогична электрическому напряжению в электрической цепи. ^{[4] : 42  [3] : 5} Не все авторы используют термин магнитное напряжение . Магнитодвижущая сила, приложенная к элементу между точкой А и точкой В, равна линейному интегралу через компонент напряженности магнитного поля, . Модель сопротивления-сопротивления использует ту же эквивалентность между магнитным напряжением и магнитодвижущей силой. ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ $${\displaystyle v_{m}={\mathcal {F}}=-\int _{A}^{B}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }$$

Магнитный ток

Магнитный ток , , является альтернативным названием для скорости изменения потока во времени , ( единица СИ : Вб /сек или вольт ), которая аналогична электрическому току в электрической цепи. ^{[2] : 2429  [4] : 37} В физической цепи, , является магнитным током смещения . ^{[4] : 37} Магнитный ток, текущий через элемент поперечного сечения, , является интегралом площади плотности магнитного потока . ${\displaystyle i_{m}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle i_{m}={\dot {\Phi }}={\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$$Модель сопротивления–сопротивления использует другую эквивалентность, принимая магнитный ток как альтернативное название для потока, . Это различие в определении магнитного тока является фундаментальным различием между моделью гиратора-конденсатора и моделью сопротивления–сопротивления. Определения магнитного тока и магнитного напряжения подразумевают определения других магнитных элементов. ^{[4] : 35} ${\displaystyle \Phi }$

Магнитная емкость

Проницаемость элемента прямоугольной призмы

Магнитная емкость — это альтернативное название для магнитной проводимости ( единица СИ : Гн ). Она представлена ​​емкостью в модельной магнитной цепи. Некоторые авторы используют для обозначения магнитной емкости, в то время как другие используют и называют емкость магнитной проводимостью. Магнитная проводимость элемента — это обширное свойство , определяемое как магнитный поток , через поверхность поперечного сечения элемента, деленный на магнитодвижущую силу , через элемент ^{[3] : 6} ${\displaystyle C_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P={\frac {\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }{\int \mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }}={\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}}$$

Для стержня постоянного сечения магнитная емкость определяется по формуле, где: $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\frac {S}{l}}}$$

• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}=\mu }$- магнитная проницаемость ,
• ${\displaystyle S}$- поперечное сечение элемента, а
• ${\displaystyle l}$длина элемента.

Для фазового анализа магнитная проницаемость ^[5] и магнитная проводимость являются комплексными величинами. ^{[5] [6]}

Проницаемость — это величина, обратная сопротивлению .

Магнитная индуктивность

Эквивалентность цепи между магнитной индуктивностью и электрической емкостью.

В контексте гираторно-конденсаторной модели магнитной цепи магнитная индуктивность ( единица СИ : Ф ) является аналогией индуктивности в электрической цепи. ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$

Для векторного анализа магнитное индуктивное сопротивление равно: где: $${\displaystyle x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }}$$

• ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$это магнитная индуктивность
• ${\displaystyle \omega }$угловая частота магнитной цепи

В комплексной форме это положительное мнимое число: $${\displaystyle jx_{\mathrm {L} }=j\omega L_{\mathrm {M} }}$$

Магнитная потенциальная энергия, поддерживаемая магнитной индукцией, изменяется в зависимости от частоты колебаний в электрических полях. Средняя мощность в заданный период равна нулю. Из-за своей зависимости от частоты магнитная индукция в основном наблюдается в магнитных цепях, которые работают на частотах VHF и/или UHF . ^{[ необходима цитата ]}

Понятие магнитной индуктивности используется при анализе и расчете поведения цепи в модели гиратор–конденсатор аналогично индуктивности в электрических цепях.

Магнитный индуктор может представлять собой электрический конденсатор. ^{[4] : 43} Шунтирующая емкость в электрической цепи, такая как внутриобмоточная емкость, может быть представлена ​​как последовательная индуктивность в магнитной цепи.

Примеры

Трехфазный трансформатор

Трехфазный трансформатор с обмотками и магнитопроводящими элементами.

Схема с использованием модели гиратора-конденсатора для обмоток трансформатора и конденсаторов для элементов проводимости

В этом примере показан трехфазный трансформатор, смоделированный с помощью подхода гиратор-конденсатор. Трансформатор в этом примере имеет три первичные обмотки и три вторичные обмотки. Магнитная цепь разделена на семь элементов сопротивления или проводимости. Каждая обмотка моделируется гиратором. Сопротивление гирации каждого гиратора равно числу витков на соответствующей обмотке. Каждый элемент проводимости моделируется конденсатором. Значение каждого конденсатора в фарадах такое же, как индуктивность связанной проводимости в генри .

N ₁ , N ₂ и N ₃ — число витков в трех первичных обмотках. N ₄ , N ₅ и N ₆ — число витков в трех вторичных обмотках. Φ ₁ , Φ ₂ и Φ ₃ — потоки в трех вертикальных элементах. Магнитный поток в каждом элементе проводимости в веберах численно равен заряду в связанной емкости в кулонах . Энергия в каждом элементе проводимости такая же, как и энергия в связанном конденсаторе.

На схеме, в дополнение к схеме модели трансформатора, показаны трехфазный генератор и трехфазная нагрузка.

Трансформатор с зазором и потоком рассеяния

Трансформатор с зазором и потоком рассеяния.

Гираторно-конденсаторная модель трансформатора с зазором и потоком рассеяния.

Подход гиратор-конденсатор может учитывать индуктивность рассеяния и воздушные зазоры в магнитной цепи. Зазоры и поток рассеяния имеют проводимость, которая может быть добавлена ​​к эквивалентной схеме как конденсаторы. Проницаемость зазора вычисляется так же, как и субстантивные элементы, за исключением того, что используется относительная проницаемость единицы. Проницаемость потока рассеяния может быть трудно вычислить из-за сложной геометрии. Она может быть вычислена из других соображений, таких как измерения или спецификации.

C _PL и C _SL представляют собой первичную и вторичную индуктивность рассеяния соответственно. C _GAP представляет собой проницаемость воздушного зазора.

Магнитное сопротивление

Магнитное комплексное сопротивление

Эквивалентность цепи между магнитным импедансом и электрической проводимостью.

Магнитный комплексный импеданс , также называемый полным магнитным сопротивлением, является отношением комплексного синусоидального магнитного напряжения ( магнитодвижущая сила , ) на пассивной магнитной цепи и результирующего комплексного синусоидального магнитного тока ( ) в цепи. Магнитный импеданс аналогичен электрическому импедансу . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$

Магнитное комплексное сопротивление ( единица СИ : S ) определяется по формуле: где - модуль , а - его фаза. Аргумент комплексного магнитного сопротивления равен разности фаз магнитного напряжения и магнитного тока. Комплексное магнитное сопротивление можно представить в следующем виде: где - действительная часть комплексного магнитного сопротивления, называемая эффективным магнитным сопротивлением, а - мнимая часть комплексного магнитного сопротивления, называемая реактивным магнитным сопротивлением. Магнитное сопротивление равно $${\displaystyle Z_{M}={\frac {\mathcal {F}}{\dot {\Phi }}}=z_{M}e^{j\phi }}$$ ${\displaystyle z_{M}}$ ${\displaystyle Z_{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle Z_{M}=z_{M}e^{j\phi }=z_{M}\cos \phi +jz_{M}\sin \phi =r_{M}+jx_{M}}$$ ${\displaystyle r_{M}=z_{M}\cos \phi }$ ${\displaystyle x_{M}=z_{M}\sin \phi }$ $${\displaystyle z_{M}={\sqrt {r_{M}^{2}+x_{M}^{2}}},}$$ $${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {x_{M}}{r_{M}}}}$$

Магнитное эффективное сопротивление

Магнитное эффективное сопротивление является действительной составляющей комплексного магнитного импеданса. Это приводит к потере магнитной потенциальной энергии магнитной цепью. ^{[7] [8]} Активная мощность в магнитной цепи равна произведению магнитного эффективного сопротивления и магнитного тока в квадрате . ${\displaystyle r_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle I_{\mathrm {M} }^{2}}$

$${\displaystyle P=r_{\mathrm {M} }I_{\mathrm {M} }^{2}}$$

Эффективное магнитное сопротивление на комплексной плоскости представляется как сторона треугольника сопротивлений магнитной цепи переменного тока. Эффективное магнитное сопротивление связано с эффективной магнитной проводимостью выражением, где - полное магнитное сопротивление магнитной цепи. ${\displaystyle g_{\mathrm {M} }}$ $${\displaystyle g_{\mathrm {M} }={\frac {r_{\mathrm {M} }}{z_{\mathrm {M} }^{2}}}}$$ ${\displaystyle z_{\mathrm {M} }}$

Магнитное реактивное сопротивление

Магнитное сопротивление — параметр пассивной магнитной цепи или элемента цепи, равный квадратному корню из разности квадратов магнитного комплексного сопротивления и магнитного эффективного сопротивления магнитному току, взятому со знаком плюс, если магнитный ток отстает по фазе от магнитной напряжённости, и со знаком минус, если магнитный ток опережает магнитную напряжённость по фазе.

Магнитное сопротивление ^{[7] [6] [8]} — составляющая комплексного магнитного сопротивления цепи переменного тока , которая создает сдвиг фаз между магнитным током и магнитной напряженностью в цепи. Она измеряется в единицах и обозначается (или ). Она может быть индуктивной или емкостной , где — угловая частота магнитного тока, — магнитная индуктивность цепи, — магнитная емкость цепи. Магнитное сопротивление неразвернутой цепи с последовательно соединенными индуктивностью и емкостью равно: . Если , то в цепи имеет место чистое реактивное сопротивление и резонанс . В общем случае . При отсутствии потерь энергии ( ), . Угол сдвига фаз в магнитной цепи . На комплексной плоскости магнитное сопротивление выглядит как сторона треугольника сопротивлений цепи переменного тока. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Omega }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{L}=\omega L_{M}}$ ${\displaystyle x_{C}={\tfrac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{M}}$ ${\displaystyle C_{M}}$ ${\textstyle x=x_{L}-x_{C}=\omega L_{M}-{\frac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle x_{L}=x_{C}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\textstyle x={\sqrt {z^{2}-r^{2}}}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle x=z}$ ${\textstyle \phi =\arctan {\frac {x}{r}}}$

Ограничения аналогии

Ограничения этой аналогии между магнитными цепями и электрическими цепями включают в себя следующее:

• Ток в типичных электрических цепях ограничен цепью с очень небольшой «утечкой». В типичных магнитных цепях не все магнитное поле ограничено магнитной цепью, поскольку магнитная проницаемость существует также вне материалов (см. проницаемость вакуума ). Таким образом, может быть значительный « поток утечки » в пространстве вне магнитных сердечников. Если поток утечки мал по сравнению с основной цепью, его часто можно представить в виде дополнительных элементов. В крайних случаях модель с сосредоточенными элементами может быть вообще неподходящей, и вместо нее используется теория поля .
• Магнитные цепи нелинейны ; магнитная проводимость в магнитной цепи не является постоянной, в отличие от емкости в электрической цепи, а изменяется в зависимости от магнитного поля. При высоких магнитных потоках ферромагнитные материалы, используемые для сердечников магнитных цепей , насыщаются , ограничивая дальнейшее увеличение магнитного потока, поэтому выше этого уровня магнитная проводимость быстро уменьшается. Кроме того, поток в ферромагнитных материалах подвержен гистерезису ; он зависит не только от мгновенного MMF, но и от истории MMF. После того, как источник магнитного потока выключен, в ферромагнитных материалах остается остаточный магнетизм , создавая поток без MMF.

Ссылки

1. Хэмилл в скобках включает «(за ход)» на странице 97. ^[1]

1. Hamill, DC (1993). "Сосредоточенные эквивалентные схемы магнитных компонентов: подход гиратор-конденсатор". IEEE Transactions on Power Electronics . 8 (2): 97–103. Bibcode : 1993ITPE....8...97H. doi : 10.1109/63.223957.
2. Lambert, M.; Mahseredjian, J.; Martı´nez-Duró, M.; Sirois, F. (2015). «Магнитные цепи в электрических цепях: критический обзор существующих методов и новых реализаций мутаторов». IEEE Transactions on Power Delivery . 30 (6): 2427–2434. doi :10.1109/TPWRD.2015.2391231. S2CID  38890643.
3. González, Guadalupe G.; Ehsani, Mehrdad (2018-03-12). «Моделирование магнитной системы с инвариантной мощностью». International Journal of Magnetics and Electromagnetism . 4 (1): 1–9. doi : 10.35840/2631-5068/6512 . hdl : 1969.1/ETD-TAMU-2011-08-9730 . ISSN  2631-5068.
4. Мохаммад, Мунир (2014-04-22). Исследование многодоменной энергетической динамики (кандидатская диссертация).
5. Аркадьев В. Эйн Теория электромагнитных полей в ферромагнитных металлах . – Физ. Зс., Ч. 14, № 19, 1913, С. 928-934.
6. Попов, В. П. (1985) Основы теории цепей . М.: Высшая школа.
7. Поль, RW (1960). Elektrizitätslehre (на немецком языке). Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag.
8. Купфмюллер К. Einführung в теоретической электротехнике, Springer-Verlag, 1959.