stringtranslate.com

Однородный многочлен

В математике однородный многочлен , иногда называемый квантическим в старых текстах, — это многочлен , все ненулевые члены которого имеют одинаковую степень . [1] Например, — однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей степеней в каждом члене всегда равна 5. Многочлен не является однородным, поскольку сумма показателей степеней не совпадает от члена к члену. Функция, определяемая однородным многочленом, всегда является однородной функцией .

Алгебраическая форма , или просто форма , — это функция, определяемая однородным многочленом. [примечания 1] Бинарная форма — это форма от двух переменных. Форма — это также функция, определяемая на векторном пространстве , которая может быть выражена как однородная функция координат по любому базису .

Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов , обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 — это линейная форма . [примечания 2] Форма степени 2 — это квадратичная форма . В геометрии евклидово расстояние — это квадратный корень квадратной формы.

Однородные многочлены повсеместно встречаются в математике и физике. [примечания 3] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии , поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.

Характеристики

Однородный многочлен определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный многочлен P однороден степени d , то

для каждого в любом поле, содержащем коэффициенты P. Наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числа, то многочлен является однородным степени d .

В частности, если P однородно, то

для каждого Это свойство является фундаментальным в определении проективного многообразия .

Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным образом в виде суммы однородных многочленов разных степеней, которые называются однородными компонентами многочлена.

Для данного кольца многочленов над полем (или, в более общем смысле, кольца ) K однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемое Указанное выше уникальное разложение означает, что является прямой суммой ( суммы по всем неотрицательным целым числам ).

Размерность векторного пространства (или свободный модуль ) — это число различных одночленов степени d от n переменных (т.е. максимальное число ненулевых членов в однородном многочлене степени d от n переменных). Она равна биномиальному коэффициенту

Однородный многочлен удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P — однородный многочлен степени d от имеющихся неопределенностей , то, какое бы ни было коммутативное кольцо коэффициентов,

где обозначает формальную частную производную P по

Гомогенизация

Неоднородный многочлен P ( x 1 ,..., x n ) можно гомогенизировать, введя дополнительную переменную x 0 и определив однородный многочлен, иногда обозначаемый h P : [2]

где dстепень P. Например, если

затем

Гомогенизированный полином можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x 0 = 1. То есть

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Однако, поскольку некоторые авторы не проводят четкого различия между многочленом и связанной с ним функцией, термины «однородный многочлен» и «форма» иногда рассматриваются как синонимы.
  2. ^ Линейные формы определены только для конечномерного векторного пространства и поэтому должны отличаться от линейных функционалов , которые определены для любого векторного пространства. «Линейный функционал» редко используется для конечномерных векторных пространств.
  3. ^ Однородные полиномы в физике часто появляются как следствие размерного анализа , где измеренные величины должны совпадать в реальных задачах.

Ссылки

  1. ^ Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). Использование алгебраической геометрии. Graduate Texts in Mathematics. Т. 185 (2-е изд.). Springer. С. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
  2. ^ Кокс, Литтл и О'Ши 2005, стр. 35

Внешние ссылки