Гомологическая сфера

Топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы.

В алгебраической топологии сфера гомологий представляет собой n - многообразие X , имеющее группы гомологий n - сферы для некоторого целого числа . То есть, ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$для всех остальных я .

Следовательно, X является связным пространством с одним ненулевым высшим числом Бетти , а именно . Отсюда не следует, что X односвязно , а следует лишь то , что его фундаментальная группа совершенна (см. теорему Гуревича ). ${\displaystyle b_{n}=1}$

Сфера рациональных гомологии определяется аналогично, но с использованием гомологии с рациональными коэффициентами.

Сфера гомологии Пуанкаре

Сфера гомологии Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером сферы гомологии, впервые построенной Анри Пуанкаре . Будучи сферическим 3-многообразием , это единственная 3-сфера гомологии (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Ее фундаментальная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Поскольку фундаментальная группа 3-сферы тривиальна, это показывает, что существуют 3-многообразия с теми же группами гомологий, что и 3-сфера, которые не гомеоморфны это.

Строительство

Простое построение этого пространства начинается с додекаэдра . Каждая грань додекаэдра идентифицируется с противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке для выравнивания граней. Склеивание каждой пары противоположных граней вместе с использованием этой идентификации дает замкнутое трехмерное многообразие. (См. аналогичную конструкцию в пространстве Зейферта – Вебера , в которой используется больше «поворотов», что приводит к гиперболическому трехмерному многообразию .)

Альтернативно, сфера гомологий Пуанкаре может быть построена как фактор-пространство SO(3) /I, где I — группа икосаэдра (т. е. группа вращательной симметрии правильного икосаэдра и додекаэдра, изоморфная знакопеременной группе A ₅ ). На более интуитивном уровне это означает, что сфера гомологий Пуанкаре представляет собой пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в евклидовом 3-мерном пространстве. Вместо этого можно также перейти к универсальному накрытию SO(3), которое может быть реализовано как группа единичных кватернионов и гомеоморфно 3-сфере. В этом случае сфера гомологий Пуанкаре изоморфна где – бинарная группа икосаэдра , совершенное двойное накрытие I, вложенное в . ${\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Другой подход – операция Дена . Сфера гомологий Пуанкаре получается в результате операции +1 на правом узле- трилистнике .

Космология

В 2003 году отсутствие структуры в самых крупных масштабах (более 60 градусов) в космическом микроволновом фоне , наблюдаемое в течение одного года космическим кораблем WMAP , привело Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег к предположению , что форма Вселенной является сфера Пуанкаре . ^{[1] [2]} В 2008 году астрономы нашли наилучшую ориентацию модели на небе и подтвердили некоторые предсказания модели, используя три года наблюдений с помощью космического корабля WMAP. ^[3] Анализ данных космического корабля «Планк» показывает, что во Вселенной не существует наблюдаемой нетривиальной топологии. ^[4]

Конструкции и примеры

• Перестройка узла в 3-сфере S ³ с оснащением +1 или −1 дает сферу гомологий.
• В более общем смысле, операция на ссылке дает сферу гомологии всякий раз, когда матрица, заданная числами пересечения (вне диагонали) и оснащением (по диагонали), имеет определитель +1 или -1.
• Если p , q и r попарно относительно простые положительные целые числа, то связь особенности x ^p + y ^q + z ^r = 0 (другими словами, пересечение небольшой 3-сферы вокруг 0 ​​с этой комплексной поверхностью) равна многообразие Брискорна , которое является гомологической 3-сферой, называемой 3-сферой Брискорна Σ( p , q , r ). Она гомеоморфна стандартной 3-сфере, если один из p , q и r равен 1, а Σ(2, 3, 5) — сфера Пуанкаре.
• Связная сумма двух ориентированных гомологических 3-сфер является гомологической 3-сферой. 3-сфера гомологий, которая не может быть записана как связная сумма двух 3-сфер гомологий, называется неприводимой или простой , и каждая 3-сфера гомологий может быть записана как связная сумма простых 3-сфер гомологий существенно единственным способом. (См. Простое разложение (3-многообразие) .)
• Предположим, что все целые числа не меньше 2, причем любые два из них взаимно просты. Тогда расслоение Зейферта ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

над сферой с исключительными слоями степеней a ₁ , ..., a _r — сфера гомологий, где b выбраны так, что

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(Всегда есть способ выбрать b , и сфера гомологий не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора b .) Если r не превосходит 2, это просто обычная 3-сфера; в противном случае они представляют собой различные нетривиальные сферы гомологии. Если a равны 2, 3 и 5, это дает сферу Пуанкаре. Если существует по крайней мере 3 a , а не 2, 3, 5, то это ациклическая гомологическая 3-сфера с бесконечной фундаментальной группой, которая имеет геометрию Терстона, смоделированную на универсальном накрытии SL ₂ ( R ) .

Инварианты

• Инвариант Рохлина — это -значный инвариант гомологических 3-сфер. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Инвариант Кэссона — это целочисленный инвариант гомологических 3-сфер, редукция которого по модулю 2 является инвариантом Рохлина.

Приложения

Если A — 3-сфера гомологий , не гомеоморфная стандартной 3-сфере, то надстройка A является примером 4-мерного гомологического многообразия , которое не является топологическим многообразием . Двойная подвеска A гомеоморфна стандартной 5-сфере, но ее триангуляция (индуцированная некоторой триангуляцией A ) не является PL-многообразием . Другими словами, это дает пример конечного симплициального комплекса , который является топологическим многообразием, но не PL-многообразием. (Это не PL-многообразие, поскольку точка не всегда является 4-сферой.)

Галевский и Штерн показали, что все компактные топологические многообразия (без края) размерности не менее 5 гомеоморфны симплициальным комплексам тогда и только тогда, когда существует сфера гомологии 3 Σ с инвариантом Рохлина 1 такая, что связная сумма Σ#Σ матрицы Σ с самой собой ограничивает гладкое ациклическое 4-многообразие. Чиприан Манолеску показал ^[5] , что такой сферы гомологии с данным свойством не существует, а значит, существуют 5-многообразия, не гомеоморфные симплициальным комплексам. В частности, пример, первоначально приведенный Галевским и Стерном ^[6], не является триангулируемым.

Смотрите также

• Пространство Эйленберга – Маклейна
• Пространство Мура (алгебраическая топология)

Рекомендации

1. «Является ли Вселенная додекаэдром?», статья в PhysicsWorld.
2. Люмине, Жан-Пьер ; Уикс, Джефф ; Риасуэло, Ален; Леук, Роланд; Узан, Жан-Филипп (9 октября 2003 г.). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Природа . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph/0310253 . Бибкод : 2003Natur.425..593L. дои : 10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
3. Рукема, Будевейн; Булинский, Збигнев; Саневская, Агнешка; Годен, Николя Э. (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными WMAP CMB». Астрономия и астрофизика . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Бибкод : 2008A&A...482..747L. дои : 10.1051/0004-6361: 20078777. S2CID  1616362.
4. Сотрудничество Planck, «Результаты Planck 2015. XVIII. Фоновая геометрия и топология», (2015) ArXiv 1502.01593
5. Манолеску, Чиприан (2016). «Pin (2)-эквивариантные гомологии Зайберга-Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». Журнал Американского математического общества . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . дои : 10.1090/jams829 .
6. Галевски, Дэвид; Стерн, Рональд (1979). «Универсальное 5-многообразие относительно симплициальных триангуляций». Геометрическая топология (Труды конференции по топологии Джорджии, Афины, Джорджия, 1977) . Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса . стр. 345–350. МР  0537740.

Избранное чтение

• Дрор, Эммануэль (1973). «Гомологические сферы». Израильский математический журнал . 15 (2): 115–129. дои : 10.1007/BF02764597. MR  0328926. S2CID  189796498.
• Галевски, Дэвид; Стерн, Рональд (1980). «Классификация симплициальных триангуляций топологических многообразий». Анналы математики . 111 (1): 1–34. дои : 10.2307/1971215. JSTOR  1971215. МР  0558395.
• Робион Кирби , Мартин Шарлеман, Восемь граней 3-сферы гомологии Пуанкаре . Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Афины, Джорджия, 1977), стр. 113–146, Academic Press , Нью-Йорк-Лондон, 1979.
• Кервер, Мишель (1969). «Гладкие сферы гомологии и их фундаментальные группы». Труды Американского математического общества . 144 : 67–72. дои : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269. MR  0253347. S2CID  54063849.
• Николай Савельев, Инварианты гомологий 3-сфер , Энциклопедия математических наук, том 140. Низкомерная топология, I. Springer-Verlag, Берлин, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7 

Внешние ссылки

• 16-вершинная триангуляция 3-сферы гомологии Пуанкаре и сфер без PL с небольшим количеством вершин, авторы Андерс Бьёрнер и Фрэнк Х. Лутц
• Лекция Дэвида Гиллмана «Лучшее изображение сферы гомологии Пуанкаре»