Градуированный коллектор

Многообразие с суперсимметричной структурой

В алгебраической геометрии градуированные многообразия являются расширениями концепции многообразий, основанными на идеях, пришедших из суперсимметрии и суперкоммутативной алгебры . Как градуированные многообразия, так и супермногообразия формулируются в терминах пучков градуированных коммутативных алгебр . Однако градуированные многообразия характеризуются пучками на гладких многообразиях , в то время как супермногообразия строятся путем склеивания пучков супервекторных пространств .

Градуированные коллекторы

Градуированное многообразие размерности определяется как локально окольцованное пространство , где — -мерное гладкое многообразие , а — -пучок алгебр Грассмана ранга , где — пучок гладких вещественных функций на . Пучок называется структурным пучком градуированного многообразия , а многообразие называется телом . Сечения пучка называются градуированными функциями на градуированном многообразии . Они составляют градуированное коммутативное -кольцо, называемое структурным кольцом . Известные теоремы Бэтчелора и Серра–Свана характеризуют градуированные многообразия следующим образом. ${\displaystyle (n,m)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$ ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$

Теорема Серра–Свана для градуированных многообразий

Пусть — градуированное многообразие. Существует векторное расслоение с -мерным типичным слоем , такое что структурный пучок изоморфен структурному пучку сечений внешнего произведения , типичным слоем которого является алгебра Грассмана . ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle E\to Z}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \Lambda (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

Пусть — гладкое многообразие. Градуированная коммутативная -алгебра изоморфна структурному кольцу градуированного многообразия с телом тогда и только тогда, когда она является внешней алгеброй некоторого проективного -модуля конечного ранга. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$

Градуированные функции

Обратите внимание, что упомянутый выше изоморфизм Бэтчелора не является каноническим, но он часто фиксируется с самого начала. В этом случае каждая карта тривиализации векторного расслоения дает область расщепления градуированного многообразия , где — базис слоев для . Градуированные функции на такой карте являются -значными функциями ${\displaystyle (U;z^{A},y^{a})}$ ${\displaystyle E\to Z}$ ${\displaystyle (U;z^{A},c^{a})}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \{c^{a}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}}$,

где — гладкие действительные функции на , а — нечетные порождающие элементы алгебры Грассмана . ${\displaystyle f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle c^{a}}$ ${\displaystyle \Lambda (V)}$

Градуированные векторные поля

При наличии градуированного многообразия градуированные дифференцирования структурного кольца градуированных функций называются градуированными векторными полями на . Они составляют действительную супералгебру Ли относительно суперскобки ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle (Z,A)}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$

${\displaystyle [u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u}$,

где обозначает четность Грассмана . Градуированные векторные поля локально читаются ${\displaystyle [u]}$ ${\displaystyle u\in \partial A(Z)}$

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}}$.

Они действуют на градуированные функции по правилу ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}}$.

Градуированные внешние формы

-Двойственный модуль градуированных векторных полей называется модулем градуированных внешних одноформ . Градуированные внешние одноформы локально читаются так, что дуальное (внутреннее) произведение между и принимает вид ${\displaystyle A(Z)}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$ ${\displaystyle O^{1}(Z)}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}}$ ${\displaystyle \partial A(Z)}$ ${\displaystyle O^{1}(Z)}$

${\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}}$.

Поставляется с градуированным внешним продуктом

${\displaystyle dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}}$,

Градуированные одноформы порождают градуированную внешнюю алгебру градуированных внешних форм на градуированном многообразии. Они подчиняются соотношению ${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle \phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi }$,

где обозначает степень формы . Градуированная внешняя алгебра является градуированной дифференциальной алгеброй относительно градуированной внешней дифференциальной ${\displaystyle |\phi |}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle O^{*}(Z)}$

${\displaystyle d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi }$,

где градуированные деривации , градуированно коммутативны с градуированными формами и . Имеются знакомые соотношения ${\displaystyle \partial _{A}}$ ${\displaystyle \partial /\partial c^{a}}$ ${\displaystyle dz^{A}}$ ${\displaystyle dc^{a}}$

${\displaystyle d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '}$.

Градуированная дифференциальная геометрия

В категории градуированных многообразий рассматриваются градуированные группы Ли, градуированные расслоения и градуированные главные расслоения. Также вводится понятие струй градуированных многообразий, но они отличаются от струй градуированных расслоений.

Градуированное дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление на градуированных многообразиях формулируется как дифференциальное исчисление над градуированными коммутативными алгебрами аналогично дифференциальному исчислению над коммутативными алгебрами .

Физический результат

Благодаря вышеупомянутой теореме Серра–Свана нечетные классические поля на гладком многообразии описываются в терминах градуированных многообразий. Расширенный на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс обеспечивает строгую математическую формулировку лагранжевой классической теории поля и лагранжевой BRST-теории .

Смотрите также

• Связность (алгебраическая структура)
• Оценено (математика)
• Теорема Серра–Свана
• Супергеометрия
• Супермногообразие
• Суперсимметрия

Ссылки

• К. Барточчи, У. Бруззо, Д. Эрнандес Руиперес, Геометрия супермногообразий (Kluwer, 1991) ISBN  0-7923-1440-9
• T. Stavracou, Теория связностей на градуированных главных расслоениях, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
• Б. Костант, Градуированные многообразия, градуированная теория Ли и предварительное квантование, в книге «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) стр. 177
• А. Алморокс, Суперкалибровочные теории в градуированных многообразиях, в книге «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) стр. 114
• Д. Эрнандес Руиперес, Дж. Муньос Маск, Глобальное вариационное исчисление на градуированных многообразиях, J. Math. Приложение Pures. 63 (1984) 283
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv :math-ph/0102016; arXiv :1304.1371. 

Внешние ссылки

• Г. Сарданашвили , Лекции по супергеометрии, arXiv :0910.0092.