График облигаций

Простая система масса-пружина-демпфер и ее эквивалентная форма графа связей

Граф связей — это графическое представление физической динамической системы . Он позволяет преобразовать систему в представление пространства состояний . Он похож на блок-схему или граф потока сигналов , с той лишь разницей, что дуги в графах связей представляют двунаправленный обмен физической энергией , тогда как дуги в блок-схемах и графах потока сигналов представляют однонаправленный поток информации. Графы связей являются доменами с несколькими энергиями (например, механическими, электрическими, гидравлическими и т. д.) и нейтральными по отношению к доменам. Это означает, что граф связей может легко включать несколько доменов.

Граф связей состоит из «связей», которые связывают вместе элементы «однопортовые», «двухпортовые» и «многопортовые» (подробности см. ниже). Каждая связь представляет собой мгновенный поток энергии ( $dE / dt$ ) или мощности . Поток в каждой связи обозначается парой переменных, называемых переменными мощности, родственными сопряженным переменным , произведение которых является мгновенной мощностью связи. Переменные мощности разбиваются на две части: поток и усилие . Например, для связи электрической системы поток является током, а усилие — напряжением. Умножая ток и напряжение в этом примере, вы можете получить мгновенную мощность связи.

Связь имеет две другие особенности, кратко описанные здесь и обсуждаемые более подробно ниже. Одна из них — это соглашение о знаке «полустрелка». Оно определяет предполагаемое направление положительного потока энергии. Как и в случае с электрическими схемами и схемами свободного тела, выбор положительного направления произволен, с оговоркой, что аналитик должен быть последовательным в отношении выбранного определения. Другая особенность — «причинность». Это вертикальная черта, размещенная только на одном конце связи. Она не произвольна. Как описано ниже, существуют правила для назначения надлежащей причинности данному порту и правила для приоритета среди портов. Причинность объясняет математическую связь между усилием и потоком. Положения причинностей показывают, какие из переменных мощности являются зависимыми, а какие — независимыми.

Если динамика моделируемой физической системы действует в сильно варьирующихся временных масштабах, то быстрое непрерывное поведение можно смоделировать как мгновенные явления, используя гибридный граф связей . Графы связей были изобретены Генри Пейнтером . ^[1]

Системы для графа облигаций

Многие системы могут быть выражены в терминах, используемых в графе облигаций. Эти термины выражены в таблице ниже.

Условные обозначения для таблицы ниже:

$P$ активная мощность ;
${\шляпа {X}}$ является матричным объектом;
${\vec {x}}$ является векторным объектом;
$x^{\dagger}$ является эрмитово сопряженным числом $x$ ; это комплексно сопряженное число транспонированного числа x . Если $x является скаляром, то эрмитово$ $сопряженное$ число совпадает с комплексно сопряженным числом;
$D_{t}^{n}$ — это обозначение Эйлера для дифференцирования, где: $D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}$
${\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}$
Фактор Вергента: $\phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}$

Другие системы:

Термодинамическая система питания (поток – это скорость энтропии, а усилие – это температура)
Электрохимическая энергетическая система (поток – это химическая активность, а усилие – это химический потенциал)
Термохимическая энергетическая система (поток – это массовая скорость, а усилие – это удельная массовая энтальпия)
Макроэкономическая система валютных курсов (перемещение — это товар, а усилие — это цена за товар)
Микроэкономическая система валютных курсов (перемещение — это численность населения, а усилия — это ВВП на душу населения)

Тетраэдр состояния

Тетраэдр состояния — это тетраэдр, который графически показывает преобразование между усилием и потоком. На соседнем изображении показан тетраэдр в его обобщенной форме. Тетраэдр может быть изменен в зависимости от энергетической области.

Используя тетраэдр состояния, можно найти математическую связь между любыми переменными на тетраэдре. Это делается путем следования стрелкам вокруг диаграммы и умножения любых констант по пути. Например, если вы хотите найти связь между обобщенным потоком и обобщенным смещением, вы должны начать с f $(t),$ а затем проинтегрировать его, чтобы получить $q (t)$ . Больше примеров уравнений можно увидеть ниже.

Соотношение между обобщенным перемещением и обобщенным потоком.

$q(t)=\int f(t)\,dt$

Взаимосвязь между обобщенным потоком и обобщенным усилием.

$f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)$

Связь между обобщенным потоком и обобщенным импульсом.

$f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)$

Соотношение между обобщенным импульсом и обобщенным усилием.

$p(t)=\int e(t)\,dt$

Соотношение между обобщенным потоком и обобщенным усилием, включающее константу C.

$e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt$

Все математические соотношения остаются прежними при переключении энергетических доменов, меняются только символы. Это можно увидеть на следующих примерах.

Соотношение между перемещением и скоростью.

$x(t)=\int v(t)\,dt$

Соотношение между током и напряжением также известно как закон Ома .

$i(t)={\frac {1}{R}}V(t)$

Соотношение между силой и смещением, также известное как закон Гука . Знак «минус» в этом уравнении опущен, поскольку он учитывается направлением стрелки на графике связи.

$F(t)=kx(t)$

Для энергосистем формула частоты резонанса выглядит следующим образом: $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

Для систем с плотностью мощности формула скорости резонансной волны выглядит следующим образом: $c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

Компоненты

Если двигатель соединен с колесом через вал, мощность передается во вращательно-механической области, то есть усилие и поток являются крутящим моментом (τ) и угловой скоростью (ω) соответственно. Граф связей слов является первым шагом к графу связей, в котором слова определяют компоненты. В качестве графа связей слов эта система будет выглядеть следующим образом: Полустрелка используется для обозначения знаков, поэтому, если двигатель выполняет работу, когда τ и ω положительны, то диаграмма будет нарисована так: Эту систему также можно представить более общим способом. Это включает в себя переход от использования слов к символам, представляющим те же элементы. Эти символы основаны на обобщенной форме, как объяснялось выше. Поскольку двигатель прикладывает крутящий момент к колесу, он будет представлен как источник усилия для системы. Колесо может быть представлено импедансом в системе. Кроме того, символы крутящего момента и угловой скорости опускаются и заменяются обобщенными символами для усилия и потока. Хотя в примере это не обязательно, принято нумеровать связи, чтобы отслеживать их в уравнениях. Упрощенную схему можно увидеть ниже. ${\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}$ ${\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}$

${S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}$

Учитывая, что усилие всегда выше потока на связи, можно также полностью отказаться от символов усилия и потока, не теряя никакой важной информации. Однако номер связи не следует отбрасывать. Пример можно увидеть ниже.

${S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}$

Номер связи будет важен позже при переходе от графа связей к уравнениям пространства состояний.

Ассоциация элементов

Ассоциация серий

Предположим, что элемент имеет следующее поведение: где — это общая функция (она может даже дифференцировать/интегрировать свой вход), а — константа элемента. Затем предположим, что в 1-переходе у вас много элементов этого типа. Тогда общее напряжение на переходе равно: $e(t)=\alpha g(q(t))$ $g(x)$ $\alpha$ $e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}$

Параллельная ассоциация

Предположим, что элемент имеет следующее поведение: где — это общая функция (она может даже дифференцировать/интегрировать свой вход), а — константа элемента. Затем предположим, что в 0-соединении у вас много элементов этого типа. Тогда это допустимо: $e(t)=g(\alpha q(t))$ $g(x)$ $\alpha$

$g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}$

Однопортовые элементы

Однопортовые элементы — это элементы в графе связей, которые могут иметь только один порт.

Источники и стоки

Источники — это элементы, которые представляют вход для системы. Они либо вводят усилие, либо вливают поток в систему. Они обозначаются заглавной буквой «S» с либо строчной буквой «e» или «f» для усилия или потока соответственно. Источники всегда будут иметь стрелку, направленную от элемента. Примерами источников являются: двигатели (источник усилия, крутящего момента), источники напряжения (источник усилия) и источники тока (источник потока).

$S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J$ где J обозначает перекресток.

Приёмники — это элементы, которые представляют выход для системы. Они представлены так же, как источники, но имеют стрелку, указывающую внутрь элемента, а не от него.

$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}$

Инерция

Элементы инерции обозначаются заглавной буквой «I» и всегда имеют втекающую в них мощность. Элементы инерции — это элементы, которые хранят энергию. Чаще всего это масса для механических систем и индукторы для электрических систем.

$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I$

Сопротивление

Элементы сопротивления обозначаются заглавной буквой "R" и всегда имеют ток, протекающий через них. Элементы сопротивления - это элементы, которые рассеивают энергию. Чаще всего это демпфер для механических систем и резисторы для электрических систем.

$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R$

Согласие

Элементы податливости обозначаются заглавной буквой «С» и всегда имеют ток, протекающий через них. Элементы податливости — это элементы, которые хранят потенциальную энергию. Чаще всего это пружины для механических систем и конденсаторы для электрических систем.

$J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C$

Двухпортовые элементы

Эти элементы имеют два порта. Они используются для изменения мощности между или внутри системы. При преобразовании из одного в другой, мощность не теряется во время передачи. Элементы имеют константу, которая будет указана вместе с ними. Константа называется константой трансформатора или константой гиратора в зависимости от того, какой элемент используется. Эти константы обычно отображаются в виде отношения под элементом.

Трансформатор

Трансформатор применяет соотношение между потоком в потоке наружу и усилием в усилии наружу. Примерами могут служить идеальный электрический трансформатор или рычаг .

Обозначается где r обозначает модуль трансформатора. Это означает и ${\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}$ $f_{1}r=f_{2}$ $e_{2}r=e_{1}$

Гиратор

Гиратор применяет соотношение между потоком на входе и усилием на выходе, и усилием на выходе. Примером гиратора является двигатель постоянного тока, который преобразует напряжение (электрическое усилие) в угловую скорость (угловой механический поток) .

${\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}$ это означает, что и $e_{2}=gf_{1}$ $e_{1}=gf_{2}.$

Многопортовые элементы

Соединения, в отличие от других элементов, могут иметь любое количество портов, как входящих, так и исходящих. Соединения разделяют мощность по своим портам. Существует два отдельных соединения, 0-соединение и 1-соединение, которые отличаются только тем, как передаются усилие и поток. Один и тот же последовательный узел можно объединить, но разные последовательные соединения нельзя.

0-перекрестки

0-соединения ведут себя так, что все значения усилия (и его временной интеграл/производная) равны по всем связям, но сумма значений потока на входе равна сумме значений потока на выходе, или, что эквивалентно, все потоки в сумме равны нулю. В электрической цепи 0-соединение является узлом и представляет напряжение, разделяемое всеми компонентами в этом узле. В механической цепи 0-соединение является соединением между компонентами и представляет силу, разделяемую всеми компонентами, подключенными к нему.

${\text{all }}e{\text{'s are equal}}$ $\sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}$

Пример показан ниже.

${\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}$

Полученные уравнения: $e_{1}=e_{2}=e_{3}$ $f_{1}=f_{2}+f_{3}$

1-перекрестки

1-соединения ведут себя противоположно 0-соединениям. 1-соединения ведут себя так, что все значения потока (и его временной интеграл/производная) равны по всем связям, но сумма значений усилия на входе равна сумме значений усилия на выходе, или, что эквивалентно, все усилия в сумме равны нулю. В электрической цепи 1-соединение представляет собой последовательное соединение между компонентами. В механической цепи 1-соединение представляет собой скорость, разделяемую всеми компонентами, подключенными к нему.

${\text{all }}f{\text{'s are equal}}$ $\sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}$

Пример показан ниже.

${\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}$

Полученные уравнения: $f_{1}=f_{2}=f_{3}$ $e_{1}=e_{2}+e_{3}$

Причинность

Графы связей имеют понятие причинности, указывающее, какая сторона связи определяет мгновенное усилие, а какая определяет мгновенный поток. При формулировании динамических уравнений, описывающих систему, причинность определяет для каждого элемента моделирования, какая переменная является зависимой, а какая — независимой. Распространяя причинность графически от одного элемента моделирования к другому, анализ крупномасштабных моделей становится проще. Завершение назначения причин в модели графа связей позволит обнаружить ситуацию моделирования, в которой существует алгебраический цикл; это ситуация, когда переменная определяется рекурсивно как функция самой себя.

В качестве примера причинности рассмотрим конденсатор, соединенный последовательно с батареей. Физически невозможно зарядить конденсатор мгновенно, поэтому все, что подключено параллельно с конденсатором, обязательно будет иметь то же напряжение (переменную усилия), что и на конденсаторе. Аналогично, индуктор не может мгновенно изменить поток, поэтому любой компонент, соединенный последовательно с индуктором, обязательно будет иметь тот же поток, что и индуктор. Поскольку конденсаторы и индукторы являются пассивными устройствами, они не могут поддерживать свое соответствующее напряжение и поток бесконечно — компоненты, к которым они присоединены, будут влиять на их соответствующее напряжение и поток, но только косвенно, влияя на их ток и напряжение соответственно.

Примечание: Причинность — это симметричное отношение. Когда одна сторона «вызывает» усилие, другая сторона «вызывает» поток.

В графе связи на одном конце связи может быть добавлен каузальный штрих, указывающий на то, что эта сторона определяет поток . Следовательно, сторона, противоположная каузальному штриху, контролирует усилие .

Источники потока ( ) определяют поток, поэтому они принимают причинный ход: Источники усилия ( ) определяют усилие, поэтому другой конец принимает причинный ход: $S_{f}$ $S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!$ $S_{e}$ $S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|$

Рассмотрим двигатель с постоянным крутящим моментом, приводящий в движение колесо, т.е. источник усилия ( ). Это можно изобразить следующим образом: $S_{e}$ ${\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}$

Симметрично, сторона с причинным штрихом (в данном случае колесо) определяет поток связи.

Причинность приводит к ограничениям совместимости. Очевидно, что только один конец связи мощности может определять усилие, и поэтому только один конец связи (другой конец) может иметь каузальный ход. Кроме того, два пассивных компонента с поведением, зависящим от времени, и , могут иметь только один вид причинности: компонент определяет поток; компонент определяет усилие. Таким образом, из узла, , предпочтительная каузальная ориентация выглядит следующим образом: $I$ $C$ $I$ $C$ $J$ $J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C$

Причину, по которой этот метод является предпочтительным для этих элементов, можно проанализировать более подробно, если рассмотреть уравнения, которые они дают, показанные тетраэдром состояния.

$f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt$

Полученные уравнения включают интеграл независимой степенной переменной. Это предпочтительнее результата с причинно-следственной связью в обратном направлении, что приводит к производной. Уравнения можно увидеть ниже.

$e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)$

Граф связей может иметь причинный бар на одном из этих элементов непредпочтительным образом. В таком случае говорят, что в этой связи произошел «причинный конфликт». Результаты причинного конфликта видны только при записи уравнений пространства состояний для графа. Это объясняется более подробно в этом разделе.

Резистор не имеет зависимого от времени поведения: подайте напряжение и получите мгновенный поток, или подайте поток и получите мгновенное напряжение, таким образом, резистор может находиться на любом конце причинно-следственной связи: $J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R$

Трансформаторы пассивны, они не рассеивают и не накапливают энергию, поэтому через них проходит причинно-следственная связь: $\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;$

Гиратор преобразует поток в усилие, а усилие в поток, поэтому, если поток возникает с одной стороны, усилие возникает с другой стороны, и наоборот: $\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;$

Соединения

В 0-узле усилия равны; в 1-узле потоки равны. Таким образом, при причинных связях только одна связь может вызвать усилие в 0-узле и только одна может вызвать поток в 1-узле. Таким образом, если причинность одной связи узла известна, причинность других также известна. Эта одна связь называется «сильной связью». Короче говоря, 0-узлы должны иметь одну причинную перемычку, 1-узлы должны иметь все, кроме одной причинной перемычки. ${\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash$

Определение причинно-следственной связи

Для определения причинно-следственной связи в графе связей необходимо выполнить следующие шаги:

Рисуем Источник Причинно-следственные полосы
Нарисуйте предпочтительную причинность для связей C и I
Нарисуйте причинно-следственные связи для узлов 0 и 1, трансформаторов и гираторов.
Нарисуйте причинно-следственные полосы связи R
Если возникает причинно-следственный конфликт, измените связь C или I на дифференциацию.

Пошаговое описание действий показано ниже. ${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$

Первый шаг — нарисовать причинно-следственную связь для источников, над которыми есть только один. Это приводит к графику ниже. ${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$

Следующий шаг — установить предпочтительную причинно-следственную связь для связей C. ${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$

Далее применим причинно-следственную связь для 0- и 1-контактов, трансформаторов и гираторов. ${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$

Однако есть проблема с 0-узлом слева. У 0-узла есть два каузальных столбца на узле, но 0-узлу нужен один и только один на узле. Это было вызвано нахождением в предпочтительной причинности. Единственный способ исправить это — перевернуть этот каузальный столбец. Это приводит к каузальному конфликту, исправленная версия графика приведена ниже, с изображением каузального конфликта. ${\textstyle C_{2}}$ ${\textstyle \star }$

${\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}$

Конвертация из других систем

Одним из главных преимуществ использования графов связей является то, что как только у вас есть граф связей, не имеет значения исходный энергетический домен. Ниже приведены некоторые шаги, которые следует применять при преобразовании из энергетического домена в граф связей.

Электромагнитный

Шаги решения электромагнитной задачи в виде графа связей следующие:

Разместите 0-переход в каждом узле
Вставьте источники, связи R, I, C, TR и GY с 1 соединением
Заземление (обе стороны, если есть трансформатор или гиратор)
Назначить направление потока мощности
Упрощать

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Линейный механический

Шаги решения линейной механической задачи в виде графа связей следующие:

Разместите 1-переходы для каждой отдельной скорости (обычно при массе)
Вставьте связи R и C в их собственные 0-соединения между 1-соединениями, где они действуют
Вставьте источники и связи I в 1-соединения, где они действуют.
Назначить направление потока мощности
Упрощать

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Упрощение

Шаг упрощения одинаков, независимо от того, была ли система электромагнитной или линейной механической. Шаги следующие:

Удалить связь нулевой мощности (из-за земли или нулевой скорости)
Удалить 0 и 1 соединения с менее чем тремя связями.
Упростить параллельную мощность
Объединить 0 соединений последовательно
Объединить 1 соединение последовательно

Эти шаги более наглядно показаны в примерах ниже.

Параллельная мощность

Параллельная мощность — это когда мощность идет параллельно в графе связей. Пример параллельной мощности показан ниже.

Параллельную мощность можно упростить, вспомнив соотношение между усилием и потоком для 0- и 1-соединений. Чтобы решить параллельную мощность, вам сначала нужно будет записать все уравнения для соединений. Для приведенного примера уравнения можно увидеть ниже. (Пожалуйста, обратите внимание на числовое соотношение, которое представляет переменная усилие/поток). ${\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}$

Манипулируя этими уравнениями, вы можете организовать их таким образом, чтобы найти эквивалентный набор 0- и 1-соединений для описания параллельной мощности.

Например, поскольку и вы можете заменить переменные в уравнении, получив в результате и поскольку , теперь мы знаем, что . Это соотношение двух равных переменных усилия можно объяснить 0-узлом. Манипулируя другими уравнениями, вы можете найти то, что описывает соотношение 1-узла. После того, как вы определили необходимые вам соотношения, вы можете перерисовать параллельный силовой участок с новыми соединениями. Результат для примера показан ниже. ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$ $e_{1}=e_{8}$ $f_{4}=f_{5}$

Примеры

Простая электрическая система

Простая электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных источника напряжения, резистора и конденсатора.

Первый шаг — нарисовать 0-соединения во всех узлах: ${\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}$

Следующий шаг — добавить все элементы, действующие на своем собственном 1-узле: ${\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}$

Следующий шаг — выбрать заземление. Заземление — это просто 0-соединение, которое, как предполагается, не имеет напряжения. В этом случае заземлением будет выбрано нижнее левое 0-соединение, подчеркнутое выше. Следующий шаг — нарисовать все стрелки для графика связей. Стрелки на соединениях должны указывать на землю (следуя аналогичному пути тока). Для элементов сопротивления, инерционности и податливости стрелки всегда указывают на элементы. Результат рисования стрелок можно увидеть ниже, при этом 0-соединение отмечено звездочкой как земля.

Теперь, когда у нас есть граф Бонда, мы можем начать процесс его упрощения. Первый шаг — удалить все заземляющие узлы. Оба нижних 0-соединения можно удалить, поскольку они оба заземлены. Результат показан ниже.

Далее, соединения с менее чем тремя связями могут быть удалены. Это происходит потому, что поток и усилие проходят через эти соединения без изменения, поэтому их можно удалить, чтобы мы могли рисовать меньше. Результат можно увидеть ниже.

Последний шаг — применить причинность к графу облигаций. Применение причинности было объяснено выше. Окончательный граф облигаций показан ниже.

Усовершенствованная электрическая система

Более совершенная электрическая система с источником тока, резисторами, конденсаторами и трансформатором.

Выполнение шагов с этой схемой приведет к графу связи ниже, до его упрощения. Узлы, отмеченные звездочкой, обозначают землю.

Упрощение графика облигаций приведет к изображению ниже.

Наконец, применение причинности приведет к графу связи ниже. Связь со звездой обозначает причинный конфликт.

Простая линейная механическая

Простая линейная механическая система, состоящая из массы на пружине, прикрепленной к стене. К массе приложена некоторая сила. Изображение системы показано ниже.

Для механической системы первым шагом является размещение 1-соединения на каждой отдельной скорости, в этом случае есть две отдельные скорости, масса и стена. Обычно полезно пометить 1-соединения для справки. Результат ниже. ${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

Следующий шаг — нарисовать связи R и C в их собственных 0-соединениях между 1-соединениями, где они действуют. Для этого примера есть только одна из этих связей, связь C для пружины. Она действует между 1-соединениями, представляющими массу, и 1-соединениями, представляющими стенку. Результат ниже. ${\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

Далее вы хотите добавить источники и связи I на 1-узле, где они действуют. Есть один источник, источник усилия (силы) и одна связь I, масса массы, оба из которых действуют на 1-узле массы. Результат показан ниже. ${\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}$

Следующий поток мощности должен быть назначен. Как и в электрических примерах, мощность должна течь к земле, в данном случае к 1-му соединению стены. Исключениями из этого являются связи R, C или I, которые всегда направлены к элементу. Результирующий график связи приведен ниже.

Теперь, когда граф связей сгенерирован, его можно упростить. Поскольку стена заземлена (имеет нулевую скорость), вы можете удалить это соединение. Таким образом, 0-соединение, на котором находится связь C, также можно удалить, поскольку тогда у него будет меньше трех связей. Упрощенный граф связей можно увидеть ниже.

Последний шаг — применение причинно-следственной связи, окончательный график связей можно увидеть ниже.

Усовершенствованный линейный механический

Ниже представлена более совершенная линейная механическая система.

Как и в примере выше, первым шагом является создание 1-соединений на каждой из удаленных скоростей. В этом примере есть три удаленные скорости, Масса 1, Масса 2 и стена. Затем вы соединяете все связи и назначаете поток мощности. Связь можно увидеть ниже.

Далее вы начинаете процесс упрощения графа связей, удаляя 1-соединение стены и удаляя соединения с менее чем тремя связями. Граф связей можно увидеть ниже.

В графе связей есть параллельная мощность. Решение параллельной мощности было объяснено выше. Результат решения можно увидеть ниже.

Наконец, примените причинно-следственную связь, окончательный график связей можно увидеть ниже.

Уравнения состояния

После завершения построения графа связей его можно использовать для генерации уравнений представления пространства состояний системы. Представление пространства состояний особенно эффективно, поскольку позволяет решать сложную многопорядковую дифференциальную систему как систему уравнений первого порядка. Общая форма уравнения состояния имеет вид , где — матрица-столбец переменных состояния или неизвестных системы. — производная по времени переменных состояния. — матрица-столбец входов системы. И и — матрицы констант, основанные на системе. Переменные состояния системы — это и значения для каждой связи C и I без причинного конфликта. Каждая связь I получает , а каждая связь C получает . ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle q(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle q(t)}$

Например, если у вас есть следующий график облигаций

у вас будут следующие матрицы , , и : ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$

Матрицы и решаются путем определения взаимосвязи переменных состояния и их соответствующих элементов, как было описано в тетраэдре состояния. Первым шагом для решения уравнений состояния является перечисление всех основных уравнений для графа связей. В таблице ниже показана взаимосвязь между связями и их основными уравнениями. ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$

«♦» обозначает предпочтительную причинность.

Для приведенного примера,

основные уравнения следующие.

${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

Эти уравнения можно манипулировать, чтобы получить уравнения состояния. Для этого примера вы пытаетесь найти уравнения, которые связывают и в терминах , , и . ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ ${\textstyle p_{3}(t)}$ ${\textstyle q_{6}(t)}$ ${\textstyle e_{1}(t)}$

Для начала вам следует вспомнить из тетраэдра состояний, что, начиная с уравнения 2, вы можете перестроить его так, чтобы . можно заменить уравнением 4, в то время как в уравнении 4 можно заменить на из-за уравнения 3, которое затем можно заменить уравнением 5. можно аналогичным образом заменить с помощью уравнения 7, в котором можно заменить на , которое затем можно заменить уравнением 10. После этих замен получается первое уравнение состояния, которое показано ниже. ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$ $e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}$ $e_{2}$ $f_{2}$ $f_{3}$ $e_{4}$ $e_{5}$ $e_{6}$

${\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)$

Второе уравнение состояния можно решить аналогичным образом, вспомнив, что . Второе уравнение состояния показано ниже. ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

${\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)$

Оба уравнения можно далее переписать в матричную форму. Результат приведен ниже.

${\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}$

На этом этапе уравнения можно рассматривать как любую другую задачу представления пространства состояний .

Международные конференции по моделированию графов облигаций (ECMS и ICBGM)

Библиографию по моделированию графов облигаций можно получить из следующих конференций:

ECMS-2013 27-я Европейская конференция по моделированию и имитации, 27–30 мая 2013 г., Олесунн, Норвегия
ECMS-2008 22-я Европейская конференция по моделированию и имитации, 3–6 июня 2008 г. Никосия, Кипр
ICBGM-2007: 8-я Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций, 15–17 января 2007 г., Сан-Диего, Калифорния, США
ECMS-2006 20-я Европейская конференция по моделированию и имитации, 28–31 мая 2006 г., Бонн, Германия
IMAACA-2005 Международная средиземноморская мультиконференция по моделированию
ICBGM-2005 Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций, 23–27 января 2005 г., Новый Орлеан, Луизиана, США – Доклады
ICBGM-2003 Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций (ICBGM'2003) 19–23 января 2003 г., Орландо, Флорида, США – Доклады
14-й Европейский симпозиум по моделированию 23–26 октября 2002 г. Дрезден, Германия
ESS'2001 13-й Европейский симпозиум по моделированию, Марсель, Франция, 18–20 октября 2001 г.
ICBGM-2001 Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций (ICBGM 2001), Финикс, Аризона, США
Европейская мультиконференция по моделированию 23–26 мая 2000 г., Гент, Бельгия
11-й Европейский симпозиум по моделированию, 26–28 октября 1999 г. Замок, Университет Фридриха-Александра, Эрланген-Нюрнберг, Германия
ICBGM-1999 Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций 17–20 января 1999 г. Сан-Франциско, Калифорния
ESS-97 9-й Европейский симпозиум и выставка по моделированию. Моделирование в промышленности, Пассау, Германия, 19–22 октября 1997 г.
ICBGM-1997 3-я Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций, 12–15 января 1997 г., отель Sheraton-Crescent, Финикс, Аризона
11-я Европейская мультиконференция по моделированию, Стамбул, Турция, 1–4 июня 1997 г.
ESM-1996 10-я ежегодная Европейская мультиконференция по моделированию Будапешт, Венгрия, 2–6 июня 1996 г.
ICBGM-1995 Международная конференция по моделированию и имитации графов облигаций (ICBGM'95), 15–18 января 1995 г., Лас-Вегас, Невада.

Смотрите также

Программное обеспечение для моделирования 20-sim на основе теории графа облигаций
Программное обеспечение для моделирования AMESim, основанное на теории графа облигаций
График гибридных облигаций
Коэнергия

Ссылки

^ Пейнтер, Генри М. (1961). Анализ и проектирование инженерных систем . MIT Press. ISBN 0-262-16004-8.
^ «Моделирование графа связей инженерных систем» (PDF) .

Дальнейшее чтение

Kypuros, Javier (2013). Системная динамика и управление с моделированием графа связей . Boca Raton: Taylor&Francis. doi :10.1201/b14676. ISBN 978-1-4665-6075-8.
Пейнтер, Генри М. (1960). Анализ и проектирование инженерных систем . MIT Press. ISBN 0-262-16004-8.
Карнопп, Дин К.; Марголис, Дональд Л.; Розенберг, Рональд К. (1990). Системная динамика: единый подход . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62171-4.
Тома, Жан Ульрих (1975). Графы облигаций: введение и приложения . Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 0-08-018882-6.
Gawthrop, Peter J.; Smith, Lorcan PS (1996). Метамоделирование: графы связей и динамические системы . Лондон: Prentice Hall. ISBN 0-13-489824-9.
Браун, Форбс Т. (2007). Динамика инженерных систем – унифицированный графоцентрический подход . Бока-Ратон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-8493-9648-4.
Мукерджи, Амаленду; Кармакар, Ранджит (2000). Моделирование и имитация инженерных систем с помощью графов связей . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 978-0-8493-0982-3.
Gawthrop, PJ; Ballance, DJ (1999). "Глава 2: Символические вычисления для манипулирования иерархическими графами связей". В Munro, N. (ред.). Символические методы в анализе и проектировании систем управления . Лондон: Институт инженеров-электриков. стр. 23-52. ISBN 0-85296-943-0.
Боруцки, Вольфганг (2010). Методология Bond Graph . Лондон: Springer. doi :10.1007/978-1-84882-882-7. ISBN 978-1-84882-881-0.
http://www.site.uottawa.ca/~rhabash/ESSModelFluid.pdf Объясняет моделирование графа связей в области жидкости.
http://www.dartmouth.edu/~sullivan/22files/Fluid_sys_anal_w_chart.pdf Объясняет моделирование графа связей в области жидкости.

Внешние ссылки

Simscape Официальная библиотека дополнений MATLAB/Simulink для графического программирования графов связей
BG V.2.1 Бесплатная библиотека расширения MATLAB/Simulink для графического программирования графов связей