График полюс – ноль

Диаграмма, показывающая особенности передаточной функции данной системы управления

В математике , теории обработки сигналов и теории управления график полюс-ноль представляет собой графическое представление рациональной передаточной функции в комплексной плоскости , которое помогает передать определенные свойства системы, такие как:

• Стабильность
• Причинная система / антипричинная система
• Область конвергенции (ROC)
• Минимальная фаза /неминимальная фаза

График полюс-ноль показывает расположение в комплексной плоскости полюсов и нулей передаточной функции динамической системы , такой как контроллер, компенсатор, датчик, эквалайзер, фильтр или канал связи. По соглашению полюса системы обозначаются на графике буквой X, а нули обозначаются кружком или О.

График полюс-ноль строится в плоскости комплексной частотной области , которая может представлять собой систему с непрерывным или дискретным временем:

• Системы с непрерывным временем используют преобразование Лапласа и отображаются в s-плоскости : ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • Реальные частотные составляющие располагаются вдоль вертикальной оси (воображаемая линия , где ) ${\displaystyle s{=}j\omega }$ ${\displaystyle \sigma {=}0}$
• Системы дискретного времени используют Z-преобразование и отображаются в z-плоскости : ${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • Компоненты реальной частоты расположены вдоль единичной окружности.

Системы непрерывного времени

В общем случае рациональная передаточная функция для системы LTI с непрерывным временем имеет вид:

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

где

• ${\displaystyle B}$и являются полиномами по , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle M}$- порядок полинома числителя,
• ${\displaystyle b_{m}}$- й ^{коэффициент} полинома числителя, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$- порядок полинома знаменателя, а
• ${\displaystyle a_{n}}$– й ^{коэффициент} полинома знаменателя. ${\displaystyle n}$

Один или оба могут быть нулевыми, но в реальных системах должно быть так : ; в противном случае усиление было бы неограниченным на высоких частотах. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$

Полюсы и нули

• нули системы являются корнями полинома числителя:
  $${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$
  такой, что
  $${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• полюса системы являются корнями многочлена знаменателя:
  $${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$
  такой, что
  $${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

Область конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной передаточной функции с непрерывным временем представляет собой полуплоскость или вертикальную полосу, каждая из которых не содержит полюсов. В общем, ROC не уникален, и конкретный ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система причинной или антикаузальной.

• Если ROC включает воображаемую ось , то система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) .
• Если ROC простирается вправо от полюса с наибольшей действительной частью (но не на бесконечности), то система является причинной.
• Если ROC простирается влево от полюса с наименьшей действительной частью (но не на отрицательной бесконечности), то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирается с включением воображаемой оси, поскольку для большинства практических систем важно иметь стабильность BIBO .

Пример

$${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}$$

Эта система не имеет (конечных) нулей и двух полюсов:

$${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}$$

$${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}$$

График полюс-ноль будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что эти два полюса являются комплексно-сопряженными , что является необходимым и достаточным условием наличия действительных коэффициентов в дифференциальном уравнении, представляющем систему.

Системы дискретного времени

В общем случае рациональная передаточная функция для системы LTI с дискретным временем имеет вид:

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

где

• ${\displaystyle M}$- порядок полинома числителя,
• ${\displaystyle b_{m}}$- й ^{коэффициент} полинома числителя, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$- порядок полинома знаменателя, а
• ${\displaystyle a_{n}}$– й ^{коэффициент} полинома знаменателя. ${\displaystyle n}$

Любой или оба могут быть нулевыми. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Полюсы и нули

• ${\displaystyle z=\beta _{m}}$такие, что являются нулями системы ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}$
• ${\displaystyle z=\alpha _{n}}$таковы полюса системы . ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0}$

Область конвергенции

Область сходимости (ROC) для данной передаточной функции дискретного времени представляет собой диск или кольцо , не содержащее несократившихся полюсов. В общем, ROC не уникален, и конкретный ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система причинной или антикаузальной.

• Если ROC включает в себя единичный круг , то система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) .
• Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей (но не бесконечной) величиной, то система имеет правостороннюю импульсную характеристику. Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей величиной и на бесконечности нет полюса, то система является причинной.
• Если ROC простирается внутрь от полюса с наименьшей (ненулевой) величиной, то система является антикаузальной.

ROC обычно выбирается с включением единичного круга, поскольку для большинства практических систем важно иметь стабильность BIBO .

Пример

Если и полностью факторизованы, их решение можно легко построить в плоскости z . Например, учитывая следующую передаточную функцию: ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle Q(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$$

Единственный (конечный) ноль расположен в точке: , а два полюса расположены в точке: , где – мнимая единица . ${\displaystyle z=-2}$ ${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$ ${\displaystyle j}$

График полюс-ноль будет выглядеть следующим образом:

Смотрите также

• Корневой локус
• Преобразование Лапласа
• Z-преобразование
• Рациональная функция

Библиография

• Хааг, Майкл (22 июня 2005 г.). «Понимание графиков полюса/нуля на Z-плоскости». OpenStax CNX . Проверено 9 июня 2018 г.^{[ мертвая ссылка ]}
• Эрик В. Вайсштейн . «Z-трансформация». Математический мир . Проверено 24 января 2010 г.