Сферическая волновая трансформация

Математическое преобразование

Преобразования сферических волн оставляют форму сферических волн , а также законы оптики и электродинамики инвариантными во всех инерциальных системах отсчета . Они были определены между 1908 и 1909 годами Гарри Бейтманом и Эбенезером Каннингемом , причем Бейтман дал преобразованию его название. ^{[M 1]} Они соответствуют конформной группе «преобразований по обратным радиусам» по отношению к структуре геометрии сферы Ли , которая была известна уже в 19 веке. Время используется как четвертое измерение , как в пространстве Минковского , поэтому преобразования сферических волн связаны с преобразованием Лоренца специальной теории относительности , и оказывается, что конформная группа пространства-времени включает в себя группу Лоренца и группу Пуанкаре в качестве подгрупп. Однако только группы Лоренца/Пуанкаре представляют симметрии всех законов природы, включая механику, тогда как конформная группа связана с определенными областями, такими как электродинамика. ^{[1] [2] [3]} Кроме того, можно показать, что конформная группа плоскости (соответствующая группе Мёбиуса расширенной комплексной плоскости ) изоморфна группе Лоренца. ^[4]

Частным случаем геометрии сфер Ли является преобразование по обратным направлениям или инверсия Лагерра, являющаяся генератором группы Лагерра. Оно преобразует не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости. ^{[5] [6] [7]} Если время используется как четвертое измерение, то близкая аналогия с преобразованием Лоренца, а также изоморфизм с группой Лоренца были отмечены несколькими авторами, такими как Бейтман, Картан или Пуанкаре . ^{[M 2] [8] [M 3] [9] [10] [11] [12] [13]}

Преобразование по обратным радиусам

Развитие в 19 веке

Инверсии, сохраняющие углы между окружностями, впервые были рассмотрены Дюррандом (1820), а Кетле (1827) и Плюккер (1828) записали соответствующую формулу преобразования, представляющую собой радиус инверсии: ^[14] ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Эти инверсии позже были названы «преобразованиями по обратным радиусам» и стали более известны, когда Томсон (1845, 1847) применил их к сферам с координатами в ходе разработки метода инверсии в электростатике . ^[15] Жозеф Лиувилль (1847) продемонстрировал его математическое значение, показав, что оно принадлежит к конформным преобразованиям, производящим следующую квадратичную форму : ^{[M 4]} ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

Сам Лиувилль ^{[M 5]} и более подробно Софус Ли (1871) ^{[M 6]} показали, что связанная конформная группа может быть дифференцирована ( теорема Лиувилля ): Например, включает в себя евклидову группу обычных движений; масштабные или подобия преобразования, в которых координаты предыдущих преобразований умножаются на ; и дает преобразование Томсона по обратным радиусам (инверсии): ^{[M 5]} ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Впоследствии теорема Лиувилля была распространена на размерности Ли (1871) ^{[M 6]} и другими, такими как Дарбу (1878): ^{[M 7]} ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

Эта группа конформных преобразований по обратным радиусам сохраняет углы и преобразует сферы в сферы или гиперсферы (см. преобразование Мёбиуса , конформная симметрия , специальное конформное преобразование ). Это 6-параметрическая группа в плоскости R2 ^, которая соответствует группе Мёбиуса расширенной комплексной плоскости , ^{[16] [4]} 10-параметрическая группа в пространстве R3 и ¹⁵ -параметрическая группа в R4 . В R2 она представляет ^собой лишь небольшое подмножество всех конформных преобразований в нем, тогда как в R2 ^{+n она идентична группе всех конформных преобразований (} соответствующих преобразованиям Мёбиуса в более высоких измерениях) в нем, в соответствии с теоремой Лиувилля. ^[16] Конформные преобразования в R3 часто применялись к тому, что Дарбу (1873) называл «пентасферическими координатами», связывая точки с однородными координатами, ^{основанными} на пяти сферах. ^{[17] [18]}

Ориентированные сферы

Другим методом решения таких задач со сферами было записывать координаты вместе с радиусом сферы. ^[19] Это было использовано Ли (1871) в контексте геометрии сфер Ли , которая представляет собой общую структуру преобразований сфер (являющихся частным случаем контактных преобразований ), сохраняющих линии кривизны и преобразующих сферы в сферы. ^{[M 8]} Ранее упомянутая 10-параметрическая группа в R ^3, связанная с пентасферическими координатами, расширяется до 15-параметрической группы преобразований сфер Ли, связанных с «гексасферическими координатами» (названными Клейном в 1893 году), путем добавления шестой однородной координаты, связанной с радиусом. ^{[M 9] [17] [20]} Поскольку радиус сферы может иметь положительный или отрицательный знак, одна сфера всегда соответствует двум преобразованным сферам. Выгодно устранить эту неоднозначность, приписав радиусу определенный знак, следовательно, придав сферам также определенную ориентацию, так что одна ориентированная сфера соответствует одной преобразованной ориентированной сфере. ^[21] Этот метод иногда и неявно использовался самим Ли (1871) ^{[M 6]} и явно введен Лагерром (1880). ^{[M 10]} Кроме того, Дарбу (1887) привел преобразования по обратным радиусам к форме, с помощью которой радиус r сферы может быть определен, если радиус другой сферы известен: ^{[M 11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

Использование координат вместе с радиусом часто связывалось с методом, называемым «минимальной проекцией» Клейна (1893), ^{[M 12],} который позже был назван «изотропной проекцией» Блашке (1926), подчеркивая связь с ориентированными окружностями и сферами. ^[22] Например, окружность с прямоугольными координатами и радиусом в R ² соответствует точке в R ³ с координатами . Этот метод был известен некоторое время в геометрии окружности (хотя и без использования концепции ориентации) и может быть дополнительно дифференцирован в зависимости от того, рассматривается ли дополнительная координата как мнимая или действительная: использовался Шалем (1852), Мёбиусом (1857), Кэли (1867) и Дарбу (1872); ^{[M 13]} использовался Кузинери (1826), Дракенмюллером (1842) и в «циклографии» Фидлера (1882), поэтому последний метод также назывался «циклографической проекцией» – см. Э. Мюллер (1910) для краткого изложения. ^[23] Этот метод также применялся к сферам ^{[M 14]} Дарбу (1872), ^{[M 15]} Ли (1871), ^{[M 6]} или Клейном (1893). ^{[M 12]} Пусть и будут координатами центров и радиусами двух сфер в трехмерном пространстве R ³ . Если сферы касаются друг друга с одинаковой ориентацией, их уравнение задается ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle z=ir}$ ${\displaystyle z=r}$ ${\displaystyle x,y,z,r}$ ${\displaystyle x',y',z',r'}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0}$.

Задавая , эти координаты соответствуют прямоугольным координатам в четырехмерном пространстве R ⁴ : ^{[M 15] [M 12]} ${\displaystyle t=ir}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0}$.

В общем, Ли (1871) показал, что конформные точечные преобразования в R ⁿ (состоящие из движений, подобий и преобразований по обратным радиусам) соответствуют в R ^n-1 тем преобразованиям сферы, которые являются контактными преобразованиями . ^{[M 16] [24]} Клейн (1893) указал, что при использовании минимальной проекции на гексасферические координаты 15-параметрические преобразования сферы Ли в R ³ являются просто проекциями 15-параметрических конформных точечных преобразований в R ⁴ , тогда как точки в R ⁴ можно рассматривать как стереографическую проекцию точек сферы в R ⁵ . ^{[M 9] [25]}

Связь с электродинамикой

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем (1909) ^{[M 1]} показали, что электромагнитные уравнения не только инвариантны относительно Лоренца, но также масштабно и конформно. ^[26] Они инвариантны относительно 15-параметрической группы конформных преобразований (преобразований по обратным радиусам) в R ^{4 ,} что приводит к соотношению ${\displaystyle G_{15}}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$,

где включает в себя как временную составляющую и как скорость света . Бейтман (1909) также заметил эквивалентность ранее упомянутым преобразованиям сферы Ли в R ³ , поскольку радиус, используемый в них, можно интерпретировать как радиус сферической волны, сжимающейся или расширяющейся с , поэтому он назвал их «преобразованиями сферической волны». ^{[M 17]} Он писал: ^{[M 18]} ${\displaystyle u=ict}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle c}$

Когда мы используем представление Дарбу точки в сферической волной в , группа становится группой преобразований сферической волны, которые преобразуют сферическую волну в сферическую волну. Эта группа преобразований обсуждалась С. Ли; это группа преобразований, которые преобразуют линии кривизны на поверхности, охваченной сферическими волнами, в линии кривизны на поверхности, охваченной соответствующими сферическими волнами. ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle G_{15}}$

В зависимости от этого их можно разделить на подгруппы: ^[27] ${\displaystyle \lambda }$

(a) соответствуют отображениям, которые преобразуют не только сферы в сферы, но и плоскости в плоскости. Они называются преобразованиями/инверсиями Лагерра, образующими группу Лагерра, которая в физике соответствует преобразованиям Лоренца, образующим 6-параметрическую группу Лоренца или 10-параметрическую группу Пуанкаре с трансляциями. ^[28] ${\displaystyle \lambda =1}$

(b) представляет масштабные или подобия преобразований путем умножения пространственно-временных переменных преобразований Лоренца на постоянный множитель, зависящий от . ^[29] Например, если используется , то преобразование, данное Пуанкаре в 1905 году, выглядит следующим образом: ^{[M 19]} ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

Однако Пуанкаре и Эйнштейн показали , что создается только группа, которая является симметрией всех законов природы, как того требует принцип относительности (группа Лоренца), в то время как группа масштабных преобразований является лишь симметрией оптики и электродинамики. ${\displaystyle l=1}$

(c) Установка в частности относится к широкой конформной группе преобразований по обратным радиусам. Она состоит из элементарных преобразований, которые представляют собой обобщенную инверсию в четырехмерную гиперсферу : ^[30] ${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

которые становятся действительными сферическими волновыми преобразованиями в терминах геометрии сферы Ли, если вместо используется действительный радиус , поэтому он указан в знаменателе. ^{[M 1]} ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle u=ict}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$

Феликс Клейн (1921) указал на сходство этих соотношений с исследованиями Ли и его собственными исследованиями 1871 года, добавив, что конформная группа не имеет того же значения, что и группа Лоренца, поскольку первая применяется к электродинамике, тогда как вторая является симметрией всех законов природы, включая механику. ^{[M 20]} Некоторое время обсуждалась возможность того, допускают ли конформные преобразования преобразование в равномерно ускоренные системы отсчета. ^[31] Позднее конформная инвариантность снова стала важной в определенных областях, таких как конформная теория поля . ^[32]

Группа Лоренца изоморфна группе Мёбиуса

Оказывается, что также 6-параметрическая конформная группа R ² (т.е. группа Мёбиуса, состоящая из автоморфизмов сферы Римана ) ^[4] , которая в свою очередь изоморфна 6-параметрической группе гиперболических движений (т.е. изометрическим автоморфизмам гиперболического пространства ) в R ^{3 [33]} , может быть физически интерпретирована: она изоморфна группе Лоренца.

Например, Фрике и Клейн (1897) начали с определения «абсолютной» метрики Кэли в терминах одночастной криволинейной поверхности второй степени, которая может быть представлена ​​сферой, внутренняя часть которой представляет гиперболическое пространство с уравнением ^[34]

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$,

где — однородные координаты. Они указали, что движения гиперболического пространства в себя также преобразуют эту сферу в себя. Они разработали соответствующее преобразование, определив комплексный параметр сферы ^[35] ${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

который связан с другим параметром заменой ${\displaystyle \xi '}$

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

где - комплексные коэффициенты. Кроме того, они показали, что, положив , вышеуказанные соотношения принимают вид в терминах единичной сферы в R ³ : ^[36] ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

что идентично стереографической проекции -плоскости на сферическую поверхность, уже данной Клейном в 1884 году. ^{[M 21]} Поскольку замены являются преобразованиями Мёбиуса ( нем . Kreisverwandtschaften ) в -плоскости или на -сфере, они пришли к выводу, что, осуществляя произвольное движение гиперболического пространства в себе, -сфера подвергается преобразованию Мёбиуса, что вся группа гиперболических движений дает все прямые преобразования Мёбиуса, и, наконец, что любое прямое преобразование Мёбиуса соответствует движению гиперболического пространства. ^[37] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi ,\xi '}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

На основе работы Фрике и Клейна изоморфизм этой группы гиперболических движений (и, следовательно, группы Мёбиуса) группе Лоренца был продемонстрирован Густавом Герглотцем (1909). ^{[M 22]} А именно, метрика Минковского соответствует указанной выше метрике Кэли (основанной на действительном коническом сечении), если пространственно-временные координаты отождествляются с указанными выше однородными координатами.

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$,

с помощью которого вышеуказанный параметр становится

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$снова связаны заменой . ${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

Герглотц пришел к выводу, что любая такая замена соответствует преобразованию Лоренца, устанавливая однозначное соответствие гиперболическим движениям в R ³ . Связь между группой Лоренца и метрикой Кэли в гиперболическом пространстве была также указана Клейном (1910) ^{[M 23],} а также Паули (1921). ^[38] Соответствующий изоморфизм группы Мёбиуса к группе Лоренца был использован, среди прочего, Роджером Пенроузом .

Трансформация по обратным направлениям

Развитие в 19 веке

Выше упоминалась связь конформных преобразований с координатами, включая радиус сфер в пределах сферической геометрии Ли. Частный случай соответствует сферическому преобразованию, данному Эдмоном Лагерром (1880-1885), который назвал его «преобразованием по обратным направлениям» и заложил основу геометрии ориентированных сфер и плоскостей . ^{[M 10] [5] [6]} Согласно Дарбу ^{[M 24]} и Бейтману, ^{[M 2]} подобные соотношения обсуждались ранее Альбертом Рибокуром (1870) ^{[M 25]} и самим Ли (1871). ^{[M 6]} Стефанос (1881) указал, что геометрия Лагерра действительно является частным случаем сферической геометрии Ли. ^{[M 26]} Он также представлял ориентированные сферы Лагерра кватернионами (1883). ^{[M 27]} ${\displaystyle \lambda =1}$

Прямые, окружности, плоскости или сферы с радиусами определенной ориентации называются Лагерром полупрямыми, полуокружностями (циклами), полуплоскостями, полусферами и т. д. Касательная — это полупрямая, пересекающая цикл в точке, где оба направления одинаковы. Преобразование по обратным направлениям преобразует ориентированные сферы в ориентированные сферы, а ориентированные плоскости — в ориентированные плоскости, оставляя неизменным «тангенциальное расстояние» двух циклов (расстояние между точками каждой из их общих касательных), а также сохраняет линии кривизны . ^[39] Лагерр (1882) применил преобразование к двум циклам при следующих условиях: их радикальная ось является осью преобразования, а их общие касательные параллельны двум фиксированным направлениям полупрямых, которые преобразуются в себя (Лагерр назвал этот специфический метод «преобразованием обратными полупрямыми», который позже был назван «инверсией Лагерра» ^{[40] [41]} ). Полагая и как радиусы циклов, а и как расстояния их центров до оси, он получил: ^{[M 28]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D'}$

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

с преобразованием: ^{[М 29]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Дарбу (1887) получил те же формулы в разных обозначениях (с и ) в своей трактовке «преобразования по обратным направлениям», хотя он также включил координаты и : ^{[M 30]} ${\displaystyle z=D}$ ${\displaystyle k=\alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

следовательно, он получил соотношение

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

Как упоминалось выше, ориентированные сферы в R ³ могут быть представлены точками четырехмерного пространства R ⁴ с использованием минимальной (изотропной) проекции, что стало особенно важным в геометрии Лагерра. ^[5] Например, Э. Мюллер (1898) основывал свое обсуждение ориентированных сфер на том факте, что они могут быть отображены на точки плоского многообразия четырех измерений (которое он сравнивал с «циклографией» Фидлера из 1882 года). Он систематически сравнивал преобразования по обратным радиусам (называя это «инверсией на сфере») с преобразованиями по обратным направлениям (называя это «инверсией на плоском сферическом комплексе»). ^{[M 31]} После статьи Мюллера Смит (1900) обсуждал преобразование Лагерра и связанную с ним «группу геометрии обратных направлений». Ссылаясь на трактовку минимальной проекции Клейном (1893), он указал, что эта группа «просто изоморфна группе всех смещений и преобразований симметрии в пространстве четырех измерений». ^{[M 32]} Смит получил то же преобразование, что и Лагерр и Дарбу, в других обозначениях, назвав его «инверсией в сферический комплекс»: ^{[M 33]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

с отношениями

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

Инверсия Лагерра и преобразование Лоренца

В 1905 году Пуанкаре и Эйнштейн указали, что преобразование Лоренца специальной теории относительности (установка ) ${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

оставляет отношение инвариантным. ^[2] Эйнштейн подчеркивал тот факт, что посредством этого преобразования сферическая световая волна в одной системе отсчета преобразуется в сферическую световую волну в другой. ^[42] Пуанкаре показал, что преобразование Лоренца можно рассматривать как вращение в четырехмерном пространстве со временем в качестве четвертой координаты, а Минковский углубил это понимание еще больше (см. Историю специальной теории относительности ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$

Как показано выше, также преобразование Лагерра по обратным направлениям или полупрямым – позже названное инверсией Лагерра ^{[40] [41]} – в форме, данной Дарбу (1887), оставляет выражение инвариантным. Впоследствии связь с преобразованием Лоренца была отмечена несколькими авторами. Например, Бейтман (1910) утверждал, что это преобразование (которое он приписал Рибокуру) «идентично» преобразованию Лоренца. ^{[M 2]} В частности, он утверждал (1912), что вариант, данный Дарбу (1887), соответствует преобразованию Лоренца по направлению, если , , и члены заменены скоростями. ^{[M 34]} Бейтман (1910) также набросал геометрические представления релятивистских световых сфер, используя такие сферические системы. ^{[M 35] [43]} Однако Кубота (1925) ответил Бейтману, утверждая, что инверсия Лагерра является инволютивной , тогда как преобразование Лоренца — нет. Он пришел к выводу, что для того, чтобы сделать их эквивалентными, инверсию Лагерра следует объединить с изменением направления циклов на обратное. ^{[M 36]} ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle R=ct}$ ${\displaystyle R'=ct'}$ ${\displaystyle k}$

Конкретную связь между преобразованием Лоренца и инверсией Лагерра можно также продемонстрировать следующим образом (см. HR Müller (1948) ^{[M 37]} для аналогичных формул в других обозначениях). Формулы инверсии Лагерра от 1882 года (эквивалентные формулам Дарбу 1887 года) читаются следующим образом:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

установив

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

это следует

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

наконец, установив инверсию Лагерра, получаем очень похожую на преобразование Лоренца, за исключением того, что выражение принимает обратный вид : ${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$ ${\displaystyle t-vx}$ ${\displaystyle wx-t}$

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

Согласно Мюллеру, преобразование Лоренца можно рассматривать как произведение четного числа таких инверсий Лагерра, которые меняют знак. Сначала инверсия проводится в плоскость, которая наклонена по отношению к плоскости под определенным углом, а затем следует еще одна инверсия обратно в . ^{[M 37]} Подробнее о связи инверсии Лагерра с другими вариантами преобразований Лагерра см. в разделе #Группа Лагерра, изоморфная группе Лоренца. ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Преобразование Лоренца в геометрии Лагерра

Таймёрдинг (1911) ^{[M 38]} использовал концепцию ориентированных сфер Лагерра для представления и вывода преобразования Лоренца. Учитывая сферу радиуса , с расстоянием между ее центром и центральной плоскостью, он получил соотношения к соответствующей сфере ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

в результате чего происходит трансформация

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

При задании и оно становится преобразованием Лоренца. ${\displaystyle \lambda =v/c}$ ${\displaystyle r=ct}$

Вслед за Таймердингом и Бейтманом Огура (1913) проанализировал преобразование Лагерра в форме ^{[M 39]}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$,

которые становятся преобразованием Лоренца с

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$     ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

Он заявил, что «преобразование Лагерра в сферическом многообразии эквивалентно преобразованию Лоренца в пространственно-временном многообразии».

Группа Лагерра изоморфна группе Лоренца

Как показано выше, группа конформных точечных преобразований в R ⁿ (состоящая из движений, подобий и инверсий) может быть связана минимальной проекцией с группой контактных преобразований в R ^n-1, преобразующих окружности или сферы в другие окружности или сферы. Кроме того, Ли (1871, 1896) указал, что в R ³ существует 7-параметрическая подгруппа точечных преобразований, состоящая из движений и подобий, которая при использовании минимальной проекции соответствует 7-параметрической подгруппе контактных преобразований в R ² , преобразующих окружности в окружности. ^{[M 40]} Эти соотношения были дополнительно изучены Смитом (1900), ^{[M 32]} Блашке (1910), ^{[M 41]} Кулиджем (1916) ^[44] и другими, которые указали на связь с геометрией Лагерра обратных направлений, относящихся к ориентированным линиям, окружностям, плоскостям и сферам. Поэтому Смит (1900) назвал ее «группой геометрии обратных направлений», ^{[M 32]} и Блашке (1910) использовал выражение «группа Лагерра». ^{[M 41]} «Расширенная группа Лагерра» состоит из движений и подобий, имеющих 7 параметров в R ^{2 ,} преобразующих ориентированные прямые и окружности, или 11 параметров в R ^{3 ,} преобразующих ориентированные плоскости и сферы. Если подобия исключить, она становится «ограниченной группой Лагерра», имеющей 6 параметров в R ² и 10 параметров в R ³ , состоящей из движений, сохраняющих или изменяющих ориентацию, и сохраняющих тангенциальное расстояние между ориентированными окружностями или сферами. ^{[M 42] [45]} Впоследствии стало общепринятым, что термин «группа Лагерра» относится только к ограниченной группе Лагерра. ^{[45] [46] Также было отмечено, что группа Лагерра является частью более широкой группы, сохраняющей тангенциальные расстояния, названной} Шефферсом (1905) «группой равной длины» . ^{[M 43] [47]}

В R ² группа Лагерра оставляет инвариантным отношение , которое может быть распространено и на произвольные R ^{n . [48]} Например, в R ³ она оставляет инвариантным отношение . ^[49] Это эквивалентно отношению в R ⁴ при использовании минимальной (изотропной) проекции с мнимой радиусной координатой или циклографической проекции (в начертательной геометрии ) с действительной радиусной координатой. ^[9] Преобразования, образующие группу Лагерра, можно далее дифференцировать на «прямые преобразования Лагерра», которые связаны с движениями, сохраняющими как тангенциальное расстояние, так и знак; или «косвенные преобразования Лагерра», которые связаны с движениями, меняющими ориентацию, сохраняющими тангенциальное расстояние с обратным знаком. ^{[M 43] [50]} Инверсия Лагерра, впервые данная Лагерром в 1882 году, является инволютивной , поэтому она относится к косвенным преобразованиям Лагерра. Сам Лагерр не обсуждал группу, связанную с его инверсией, но оказалось, что каждое преобразование Лагерра может быть порождено максимум четырьмя инверсиями Лагерра, а каждое прямое преобразование Лагерра является произведением двух инволютивных преобразований, поэтому инверсии Лагерра имеют особое значение, поскольку они порождают операторы всей группы Лагерра. ^{[M 44] [51]} ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$

Было отмечено, что группа Лагерра действительно изоморфна группе Лоренца (или группе Пуанкаре, если включены переводы), поскольку обе группы оставляют инвариантной форму . После первого сравнения преобразования Лоренца и инверсии Лагерра Бейтманом (1910), как упоминалось выше, эквивалентность обеих групп была указана Картаном в 1912 ^{[M 45]} и 1914, ^{[M 46]} , и он расширил ее в 1915 (опубликовано в 1955) во французской версии энциклопедии Клейна . ^[8] Также Пуанкаре (1912, опубликовано в 1921) писал: ^{[M 3] [52]} ${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$

Недавно г-н Картан привел любопытный пример. Мы знаем, какое значение в математической физике имеет то, что называется группой Лоренца; именно на этой группе основаны наши новые идеи о принципе относительности и динамике электрона. С другой стороны, Лагерр однажды ввел в геометрию группу преобразований, которые превращают сферы в сферы. Эти две группы изоморфны, так что математически эти две теории, одна физическая, другая геометрическая, не показывают существенной разницы. ^{[M 47]}

—  Анри Пуанкаре, 1912

Другие, кто заметил эту связь, включают Кулидж (1916), ^[9] Кляйн и Блашке (1926), ^[10] Блашке (1929), ^[11] Х. Р. Мюллер , ^{[M 48]} Кунле и Фладт (1970), ^[12] Бенц (1992). ^[13] Недавно было отмечено:

Преобразование Лагерра (L-преобразование) — это отображение, которое является биективным на множествах ориентированных плоскостей и ориентированных сфер соответственно и сохраняет касание между плоскостью и сферой. L-преобразования легче понять, если использовать так называемую циклографическую модель геометрии Лагерра. В ней ориентированная сфера представлена ​​как точка . Ориентированная плоскость в может быть интерпретирована как множество всех ориентированных сфер, которые касаются . Отображая через это множество сфер в , можно найти гиперплоскость в , которая параллельна касательной гиперплоскости конуса . В циклографической модели L-преобразование рассматривается как специальное аффинное отображение (преобразование Лоренца),... ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E^{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$

—  Поттманн, Грохс, Митра (2009) ^[53]

Смотрите также

• История преобразований Лоренца

Первичные источники

• Бейтман, Гарри (1909) [1908]. «Конформные преобразования пространства четырех измерений и их применение в геометрической оптике»  . Труды Лондонского математического общества . 7 : 70–89. doi :10.1112/plms/s2-7.1.70.
• Бейтман, Гарри (1910) [1909]. «Преобразование электродинамических уравнений»  . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. doi :10.1112/plms/s2-8.1.223.
• Бейтман, Гарри (1910a). «Физический аспект времени»  . Manchester Memoirs . 54 (14): 1–13.
• Бейтман, Гарри (1910b). «Связь между электромагнетизмом и геометрией». Philosophical Magazine . 20 (118): 623–628. doi :10.1080/14786441008636944.
• Бейтман, Гарри (1912) [1910]. «Некоторые геометрические теоремы, связанные с уравнением Лапласа и уравнением волнового движения». American Journal of Mathematics . 34 (3): 325–360. doi :10.2307/2370223. JSTOR  2370223.
• Блашке, Вильгельм (1910). «Untersuchungen über die Geometry der Speere in der Euklidischen Geometry». Монашефте по математике и физике . 21 (1): 3–60. дои : 10.1007/bf01693218. S2CID  120182503.
• Картан, Эли (1912). «Сюр-ле-группы трансформации контакта и нового кинематографа». Société de Mathématique the France - Comptes Rendus des Séances : 23.
• Картан, Эли (1914). «Теория групп». Ревю дю Муа : 452–457.
• Каннингем, Эбенезер (1910) [1909]. «Принцип относительности в электродинамике и его расширение». Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. doi :10.1112/plms/s2-8.1.77.
• Дарбу, Гастон (1872). «Sur les Relations Entre les Groupes de Points, de cercles et de spheres». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 1 : 323–392. дои : 10.24033/asens.87 .
• Дарбу, Гастон (1878). «Мемуар о теории криволинейных координат и ортогональных систем. Тройская вечеринка». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 : 275–348. дои : 10.24033/asens.164 .
• Дарбу, Гастон (1887). Уроки общей теории поверхностей. Премьерная вечеринка. Париж: Готье-Виллар.
• Херглотц, Густав (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [Перевод из Wikisource: О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Бибкод : 1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
• Феликс Кляйн (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Тойбнер, Лейпциг; Английский перевод: Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени (1888 г.)
• Кляйн, Феликс (1921). «Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe». Gesammelte Mathematische Abhandlungen  . Том. 19. стр. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (неактивен 22 июня 2024 г.). ISBN 978-3-642-51898-0. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь ) Перепечатано в книге Кляйн, Феликс (1921). «Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe». Gesammelte Mathematische Abhandlungen . Том. 1. С. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (неактивен 22 июня 2024 г.). ISBNCS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link) 978-3-642-51898-0.{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link)Перевод на английский язык Дэвида Делфенича: О геометрических основах группы Лоренца
• Кубота, Тадахико (1925). «Über die (2-2)-deutigenquaratischen Verwandtschaften V». Научные отчеты Императорского университета Тохоку . 14 : 155–164..
• Лагерр, Эдмон (1881). «Сюр-ла-трансформация по взаимному направлению»  . Комптес Рендус . 92 : 71–73.
• Лагерр, Эдмон (1882). «Преобразования по принципу взаимного права»  . Новые анналы математики . 1 : 542–556.
• Лагерр, Эдмон (1905). «Сборник статей, изданных между 1880 и 1885 годами». Œuvres de Laguerre, vol. 2 . Париж: Готье-Виллар. стр. 592–684.
• Ложь, Софус (1871). «Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht». Геттингер Нахрихтен : 191–209.
• Ложь, Софус (1872). «Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen». Математические Аннален . 5 : 145–256. дои : 10.1007/bf01446331. S2CID  122317672.Перевод на английский язык Дэвида Дельфенича: О комплексах — в частности, линейных и сферических комплексах — с приложениями к теории уравнений с частными производными
• Ложь, Софус ; Шефферс, Георг (1896). Геометрия берунгстрансформации. Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Лиувилл, Жозеф (1847). «Примечание к предыдущей статье». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 265–290.
• Лиувилл, Жозеф (1850а). «Теорема о равенстве dx²+dy²+dz²=λ(dα²+dβ²+dγ²)». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 15 :103.
• Лиувилл, Жозеф (1850b). «Расширение трех измерений вопроса о географическом отслеживании». В Гаспаре Монже (ред.). Применение анализа в геометрии . Париж: Башелье. стр. 609–616.
• Мюллер, Эмиль (1898). «Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden». Монашефте по математике и физике . 9 (1): 269–315. дои : 10.1007/bf01707874. S2CID  121786469.
• Мюллер, Ганс Роберт (1948). «Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie». Монашефте по математике и физике . 52 (4): 337–353. дои : 10.1007/bf01525338. S2CID  120150204.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Огура, Кинносукэ (1913). «О преобразовании Лоренца с некоторыми геометрическими интерпретациями». Научные отчеты Университета Тохуку . 2 : 95–116.
• Пуанкаре, Анри (1906) [1905], «Sur la dynamice de l'électron»  [Перевод из Wikisource: О динамике электрона], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP... 21..129P, номер документа : 10.1007/BF03013466, S2CID  120211823
• Пуанкаре, Анри (1921) [1912]. «Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des Sciences Парижского университета)». Акта Математика . 38 (1): 137–145. дои : 10.1007/bf02392064 . S2CID  122517182.. Написано Пуанкаре в 1912 году, напечатано в Acta Mathematica в 1914 году, хотя опубликовано с опозданием в 1921 году.
• Рибокур, Альберт (1870). «Сюр-ла-деформация поверхностей»  . Комптес Рендус . 70 : 330–333.
• Смит, Перси Ф. (1900). «О преобразовании Лагерра». Annals of Mathematics . 1 (1/4): 153–172. doi :10.2307/1967282. JSTOR  1967282.
• Стефанос, К. (1881). «Сюр ла геометрия сфер». Комптес Рендус . 92 : 1195–1197.
• Стефанос, К. (1883). «Сюр ла теория кватернионов». Математические Аннален . 7 (4): 589–592. дои : 10.1007/bf01443267. S2CID  179178015.
• Таймердинг, HE (1912). «Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 21 : 274–285.

---

1. Бейтман (1908); Бейтман (1909); Каннингем (1909)
2. Bateman (1910b), стр. 624
3. Poincaré (1912), стр. 145
4. Лиувилль (1847); Лиувилль (1850a); Лиувилль (1850b)
5. Liouville (1850b)
6. Ли (1871); Ложь (1872)
7. Дарбу (1872), стр. 282
8. Ложь (1872), стр. 183
9. Klein (1893), стр. 474
10. Laguerre (1881); Laguerre (1905), стр. 592–684 (сборник статей, опубликованных между 1880 и 1885 годами).
11. Дарбу (1887), стр. 225
12. Klein (1893), стр. 473
13. Дарбу (1872), стр. 343-349, 369-383
14. Бейтман (1912), стр. 328 и 336.
15. Darboux (1872), стр. 366
16. Ложь (1871), с. 201 и далее; Ложь (1872), с. 186; Ли и Шефферс (1896), стр. 433–444.
17. Бейтман (1909), стр. 225, 240; (1910b), стр. 623
18. Бейтман (1912), стр. 358
19. Пуанкаре (1906), стр. 132.
20. Кляйн (1910/21)
21. Клейн (1884), стр. 32; (английский перевод: стр. 34)
22. Герглотц (1909)
23. Кляйн (1910)
24. Дарбу (1887), стр. 259
25. Рибокур (1870)
26. Стефанос (1881)
27. Стефанос (1883)
28. Лагерр (1882), стр. 550.
29. Лагерр (1882), стр. 551.
30. Дарбу (1887), стр. 254
31. Э. Мюллер (1898), см. сноску на стр. 274.
32. Smith (1900), стр. 172
33. Смит (1900), стр. 159
34. Бейтман (1912), стр. 358
35. Бейтман (1910a), см. сноску на стр. 5–7.
36. Кубота (1925), см. сноску на стр. 162.
37. HR Müller (1948), с. 349
38. Таймердинг (1911), стр. 285
39. Огура (1913), стр. 107
40. Ложь (1871), с. 201 и далее; Ли (1872), стр. 180–186; Ли и Шефферс (1896), с. 443
41. Blaschke (1910)
42. Блашке (1910), стр. 11–13
43. Blaschke (1910), стр. 13
44. Блашке (1910), стр. 15
45. Картан (1912), стр. 23
46. Картан (1914), стр. 452–457.
47. Пуанкаре (1912), с. 145: М. Картан в одном из самых любопытных примеров. О важности математической физики того, что было обращено к группе Лоренца; это наша группа, в которой представлены наши новые идеи о принципе относительности и о динамике электрона. В другом месте Лагер снова вводит в геометрию группу преобразований, которые меняют сферы в сферах. Эти две группы являются изоморфами, de sorte que mathématiquement ces deux theories, l'une Physique, l'autre geométrique, ne presentent pas de différence essentielle .
48. HR Müller (1948), стр. 338

Вторичные источники

Учебники, энциклопедические статьи, исторические обзоры:

• Бейтман, Гарри (1915). Математический анализ движения электрических и оптических волн на основе уравнений Максвелла. Кембридж: University Press.
• Benz, Walter (2005) [1992]. Классические геометрии в современных контекстах: геометрия пространств реальных внутренних произведений, третье издание . Springer. стр. 133–175. ISBN 978-3034804202.
• Блашке, Вильгельм (1929). Томсен, Герхард (ред.). Vorlesungen über Differentialgeometry und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3 . Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-642-50823-3. hdl :2027/mdp.39015017405492. ISBN 978-3-642-50513-3.
• Картан, Эли ; Фано, Джино (1915). «Теория непрерывных групп и геометрии». Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . 3 (1): 39–43.(В 1915 году были опубликованы только страницы 1–21, вся статья, включая страницы 39–43, касающиеся групп Лагерра и Лоренца, была посмертно опубликована в 1955 году в собрании статей Картана и переиздана в Encyclopédie в 1991 году.)
• Сесил, Томас Э. (2008) [1992], «Геометрия Лагерра», Геометрия сфер Ли , Springer, стр. 37–46, ISBN 978-0387746555
• Кулидж, Джулиан (1916). Трактат о круге и сфере . Оксфорд: Clarendon Press.
• Каннингем, Эбенезер (1914). Принцип относительности. Кембридж: University Press.
• Фано, Джино (1910). «Continuierliche Geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als Geometrisches Einteilungsprinzip». Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Том. 3.1.1. стр. 289–388. дои : 10.1007/978-3-663-16027-4_5. ISBN 978-3-663-15456-3. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
• Роберт Фрике и Феликс Кляйн (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen, Teubner, Лейпциг
• Kastrup, HA (2008). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметриях в геометрии и теоретической физике». Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Bibcode : 2008AnP...520..631K. doi : 10.1002/andp.200810324. S2CID  12020510.
• Кляйн, Феликс (1893). Einleitung in die höhere Геометрия И. Геттинген: Геттинген.
• Кляйн, Феликс ; Блашке, Вильгельм (1926). Vorlesungen über höhere Geometry. Берлин: Шпрингер.(Лекции Кляйна 1893 года, обновленные и отредактированные Блашке в 1926 году.)
• Кунле Х.; Фладт К. (1926). «Программа Эрлангена и высшая геометрия – геометрия Лагерра». В Heinrich Behnke (ред.). Основы математики: Геометрия . MIT Press. стр. 460–516.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Мюллер, Эмиль (1910). «Die Verschiedenen Koordinatensysteme». Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . Том. 3.1.1. стр. 596–770. дои : 10.1007/978-3-663-16027-4_9. ISBN 978-3-663-15456-3. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
• Педо, Дэниел (1972). «Забытое геометрическое преобразование». L'Enseignement Mathématique . 18 : 255–267. дои : 10.5169/seals-45376.
• Руже, Андре (2008). Ограничение относительности: вклад Анри Пуанкаре . Издания Ecole Polytechnique. ISBN 978-2730215251.
• Уолтер, Скотт А. (2018). «Фигуры света в ранней истории теории относительности (1905-1914)». В Роу, Дэвид; и др. (ред.). Beyond Einstein . Einstein Studies. Том 14. Базель: Birkhäuser. стр. 1–50. doi :10.1007/978-1-4939-7708-6_1. ISBN 978-1-4939-7706-2.
• Уорик, Эндрю (1992). «Кембриджская математика и физика Кавендиша: теория относительности Каннингема, Кэмпбелла и Эйнштейна 1905–1911 Часть I: Использование теории». Исследования по истории и философии науки Часть A. 23 ( 4): 625–656. Bibcode : 1992SHPSA..23..625W. doi : 10.1016/0039-3681(92)90015-X.
• Уорик, Эндрю (2003). Мастера теории: Кембридж и подъем математической физики. Том 57. Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 58. Bibcode : 2004PhT....57i..58W. doi : 10.1063/1.1809094. ISBN 978-0-226-87375-6. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )

---

1. Каструп (2008)
2. Уолтер (2018)
3. Уорик (1992), (2012)
4. Kastrup (2008), стр. 22
5. Fano (1907), стр. 320
6. Мюллер (1910), глава 25
7. Педоу (1972)
8. Картан (1915), стр. 39–43.
9. Coolidge (1916), стр. 422, — инвариантное расстояние между двумя точками в R ⁴ . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(r-r')^{2}}}}$
10. Кляйн и Блашке (1926), стр. 253-262.
11. Блашке (1929), Глава 4
12. Кунле и Фладт (1970), с. 481
13. Benz (1992), Глава 3.17
14. Каструп (2008), раздел 2.2
15. Каструп (2008), раздел 2.3
16. Fano (1907), стр. 312-315
17. Э. Мюллер (1910), стр. 706-712.
18. Каструп (2008), раздел 2.4.
19. Э. Мюллер (1910), стр. 706
20. Фано (1907), стр. 316
21. Мюллер (1910), стр. 717
22. Кляйн и Блашке (1926), стр. 246-253.
23. Э. Мюллер (1910), стр. 706–707, см. особенно сноску 424.
24. Кляйн и Блашке (1926), с. 258
25. Кляйн и Блашке (1926), с. 253
26. Каструп (2008), раздел 1.1
27. Каннингем (1914), стр. 87–89.
28. Каннингем (1914), стр. 87–88.
29. Каннингем (1914), стр. 88
30. Каннингем (1914), стр. 88–89.
31. Каструп (2008), раздел 5.2
32. Каструп (2008), раздел 6
33. Фрике и Кляйн (1897), Введение - §§ 12, 13
34. Фрике и Кляйн (1897), стр. 44
35. Фрике и Кляйн (1897), стр. 46
36. Фрике и Кляйн (1897), стр. 49
37. Фрике и Кляйн (1897), стр. 50
38. Паули (1921), стр. 626
39. Фано (1907), стр. 318-320.
40. Coolidge (1916), стр. 355
41. Pedoe (1972), стр. 256
42. Уолтер (2018), раздел 1
43. Уолтер (2018), раздел 4
44. Кулидж (1916), главы 10 и 11.
45. Coolidge (1916), стр. 369 и стр. 415
46. Сесил (1992)
47. Кулидж (1916), стр. 370-372.
48. Картан (1915), стр. 40
49. Картан (1915), стр. 42, — это степень инвариантного тангенциального расстояния между двумя ориентированными сферами. ${\displaystyle \scriptstyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(t-t')^{2}}$
50. Кулидж (1916), стр. 372.
51. Кулидж (1916), стр. 378, стр. 382
52. Руже (2008), стр. 127–128.
53. Поттманн, Грохс, Митра (2009)