Групповые когомологии

Инструменты для изучения групп, основанные на методах алгебраической топологии

В математике (точнее, в гомологической алгебре ) когомологии групп — это набор математических инструментов, используемых для изучения групп с использованием теории когомологий , метода из алгебраической топологии . Аналогично представлениям групп , когомологии групп рассматривают групповые действия группы G в ассоциированном G -модуле M для выяснения свойств группы. Рассматривая G -модуль как своего рода топологическое пространство с элементами представления n - симплексов , можно вычислить топологические свойства пространства, такие как набор групп когомологий . Группы когомологий, в свою очередь, дают представление о структуре группы G и самого G -модуля M. Когомологии групп играют роль в исследовании неподвижных точек действия группы в модуле или пространстве и фактор-модуле или пространстве относительно действия группы. Групповые когомологии используются в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии и алгебраической теории чисел , а также в приложениях к собственно теории групп . Как и в алгебраической топологии, существует дуальная теория, называемая групповыми гомологиями. Методы групповых когомологий также могут быть распространены на случай, когда вместо G -модуля G действует на неабелевой G -группе; по сути, это обобщение модуля на неабелевы коэффициенты. ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$

Эти алгебраические идеи тесно связаны с топологическими идеями. Групповые когомологии дискретной группы G являются сингулярными когомологиями подходящего пространства, имеющего G в качестве своей фундаментальной группы , а именно соответствующего пространства Эйленберга–Маклейна . Таким образом, групповые когомологии можно рассматривать как сингулярные когомологии окружности S ¹ . Аналогично, групповые когомологии являются сингулярными когомологиями ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Многое известно о когомологиях групп, включая интерпретации низкоразмерных когомологий, функториальность и то, как менять группы. Тема групповых когомологий началась в 1920-х годах, окрепла в конце 1940-х годов и продолжает оставаться областью активных исследований сегодня.

Мотивация

Общая парадигма в теории групп заключается в том, что группа G должна изучаться через ее групповые представления . Небольшим обобщением этих представлений являются G -модули : G -модуль — это абелева группа M вместе с групповым действием G на M , причем каждый элемент G действует как автоморфизм M. Мы будем записывать G мультипликативно, а M — аддитивно.

Для такого G -модуля M естественно рассмотреть подмодуль G -инвариантных элементов:

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .}$

Теперь, если N является G -подмодулем M (т.е. подгруппой M, отображаемой в себя действием G ), то в общем случае не верно, что инварианты в находятся как частное инвариантов в M по инвариантам в N : быть инвариантным «по модулю N » шире. Целью первых групповых когомологий является точное измерение этой разницы. ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$

Функторы групповых когомологий в общем измеряют степень, в которой взятие инвариантов не уважает точные последовательности . Это выражается длинной точной последовательностью . ${\displaystyle H^{*}}$

Определения

Совокупность всех G -модулей является категорией (морфизмы являются эквивариантными групповыми гомоморфизмами , то есть групповыми гомоморфизмами f со свойством для всех g в G и x в M ). Отправка каждого модуля M в группу инвариантов дает функтор из категории G -модулей в категорию Ab абелевых групп. Этот функтор является точным слева, но не обязательно точным справа. Поэтому мы можем образовать его правые производные функторы . ^[a] Их значениями являются абелевы группы, и они обозначаются как , " n -я группа когомологий группы G с коэффициентами в M ". Кроме того, группа может быть отождествлена ​​с . ${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$ ${\displaystyle M^{G}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,M)}$ ${\displaystyle M^{G}}$

Коцепные комплексы

Определение с использованием производных функторов концептуально очень ясно, но для конкретных приложений часто полезны следующие вычисления, которые некоторые авторы также используют в качестве определения. ^[1] Для пусть будет группой всех функций из в M (здесь означает ). Это абелева группа; ее элементы называются (неоднородными) n -коцепями. Кограничные гомоморфизмы определяются как ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

Можно проверить, что это определяет комплекс коцепи , когомологии которого можно вычислить. Можно показать, что вышеупомянутое определение групповых когомологий в терминах производных функторов изоморфно когомологиям этого комплекса ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Здесь группы n -коциклов и n -кограниц соответственно определяются как

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Функторы Extни формальное определение групповых когомологий

Интерпретируя G -модули как модули над групповым кольцом, можно заметить, что ${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

т.е. подгруппа G -инвариантных элементов в M отождествляется с группой гомоморфизмов из , которая рассматривается как тривиальный G -модуль (каждый элемент из G действует как единица) в M . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Следовательно, поскольку функторы Ext являются производными функторами Hom , существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Эти группы Ext также могут быть вычислены с помощью проективной резолюции , преимущество в том, что такая резолюция зависит только от G , а не от M . Напомним определение Ext более явно для этого контекста. Пусть F будет проективной -резолюцией (например, свободной -резолюцией ) тривиального -модуля : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

например, всегда можно взять разрешение групповых колец с морфизмами ${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Напомним, что для -модулей N и M , Hom _G ( N , M ) является абелевой группой , состоящей из -гомоморфизмов из N в M. Поскольку является контравариантным функтором и меняет стрелки на противоположные, применение к F почленно и отбрасывание дает коцепной комплекс : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Группы когомологий группы G с коэффициентами в модуле M определяются как когомологии указанного выше комплекса коцепей: ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Эта конструкция изначально приводит к оператору кограницы, который действует на «однородные» коцепи. Это элементы , то есть функции, которые подчиняются ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$ ${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

Оператор кограницы теперь естественным образом определяется, например, следующим образом: ${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

Связь с оператором кограницы d , который был определен в предыдущем разделе и который действует на «неоднородные» коцепи , задается путем перепараметризации таким образом, что ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

и т. д. Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

как и в предыдущем разделе.

Групповая гомология

Двойственно построению групповых когомологий существует следующее определение групповых гомологий : задан G -модуль M , положим DM как подмодуль , порожденный элементами вида g · m  −  m , g  ∈  G , m  ∈  M. Приписывая M его так называемые коинварианты , фактор

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

является правым точным функтором . Его левые производные функторы по определению являются групповыми гомологиями

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

Ковариантный функтор , который сопоставляет M _G с M, изоморфен функтору, который переводит M в , где наделен тривиальным G -действием. ^[b] Следовательно, можно также получить выражение для групповой гомологии в терминах функторов Tor , ${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

Обратите внимание, что соглашение о надстрочных/подстрочных индексах для когомологий/гомологий согласуется с соглашением для групповых инвариантов/коинвариантов, в то время как которые обозначаются переключателями «co-»:

• верхние индексы соответствуют когомологиям H* и инвариантам X ^G, тогда как
• нижние индексы соответствуют гомологии H _∗ и коинвариантам X _G  := X / G .

В частности, группы гомологий H _n ( G , M ) можно вычислить следующим образом. Начнем с проективной резолюции F тривиального -модуля , как в предыдущем разделе. Применим ковариантный функтор к F почленно, чтобы получить цепной комплекс : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

Тогда H _n ( G , M ) являются группами гомологии этого цепного комплекса, для n ≥ 0. ${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

Групповые гомологии и когомологии можно трактовать единообразно для некоторых групп, особенно конечных групп , в терминах полных резольвент и групп когомологий Тейта .

Групповая гомология абелевых групп G со значениями в области главных идеалов k тесно связана с внешней алгеброй . ^[c] ${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

Группы когомологий малой размерности

ЧАС 1

Первая группа когомологий является фактором так называемых скрещенных гомоморфизмов , то есть отображений (множеств) f  : G → M, удовлетворяющих f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) для всех a , b из G , по модулю так называемых главных скрещенных гомоморфизмов , то есть отображений f  : G → M , заданных формулой f ( g ) = gm − m для некоторого фиксированного m ∈ M. Это следует из определения коцепей выше.

Если действие G на M тривиально , то вышеизложенное сводится к H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), группе групповых гомоморфизмов G → M , поскольку скрещенные гомоморфизмы тогда являются просто обычными гомоморфизмами, а кограницы (т.е. главные скрещенные гомоморфизмы) должны иметь тождественно нулевой образ: следовательно, существует только нулевая кограница.

С другой стороны, рассмотрим случай , когда обозначает нетривиальную -структуру на аддитивной группе целых чисел, которая переводит a в -a для каждого ; и где мы рассматриваем как группу . Рассматривая все возможные случаи для образов , можно увидеть, что скрещенные гомоморфизмы составляют все отображения, удовлетворяющие и для некоторого произвольного выбора целого числа t . Главные скрещенные гомоморфизмы должны дополнительно удовлетворять для некоторого целого числа m : следовательно, каждый скрещенный гомоморфизм, переводящий -1 в четное целое число, является главным, и, следовательно: ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \{1,-1\}}$ ${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{t}(1)=0}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

причем групповая операция представляет собой поточечное сложение: , при этом следует отметить, что является единичным элементом. ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$ ${\displaystyle f_{0}}$

ЧАС 2

Если M является тривиальным G -модулем (т.е. действие G на M тривиально), вторая группа когомологий H ² ( G , M ) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством центральных расширений G посредством M (с точностью до естественного отношения эквивалентности). В более общем случае, если действие G на M нетривиально, H ² ( G , M ) классифицирует классы изоморфизма всех расширений G посредством M , в которых действие G на E ( внутренними автоморфизмами ) наделяет (образ) M изоморфной структурой G -модуля. ${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

В примере из раздела непосредственно выше, как единственное расширение by с данным нетривиальным действием является бесконечная диэдральная группа , которая является расщепляемым расширением и поэтому тривиальна внутри группы. Это на самом деле значимость в терминах теории групп уникального нетривиального элемента . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

Примером второй группы когомологий является группа Брауэра : это когомологии абсолютной группы Галуа поля k , которая действует на обратимые элементы в сепарабельном замыкании:

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

См. также [1].

Простые примеры

Групповые когомологии конечной циклической группы

Для конечной циклической группы порядка с генератором элемент в связанном групповом кольце является делителем нуля, поскольку его произведение с , заданное формулой ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$

Это свойство можно использовать для построения разрешения ^{[2] [3]} тривиального -модуля через комплекс ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$

давая вычисление групповых когомологий для любого -модуля . Обратите внимание, что отображение аугментации дает тривиальному модулю его -структуру ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

Это разрешение дает вычисление групповых когомологий, поскольку существует изоморфизм групп когомологий

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

показывая, что применение функтора к комплексу выше (с удаленным , поскольку это разрешение является квазиизоморфизмом ), дает вычисление ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

для

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

Например, если , тривиальный модуль, то , , и , следовательно ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

Явные коциклы

Коциклы для групповых когомологий циклической группы могут быть заданы явно ^[4] с использованием разрешения Бара. Мы получаем полный набор генераторов -коциклов для нечетных, как отображения ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$

предоставлено

${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$

для нечетных, , примитивный корень -й степени из единицы, поле, содержащее корни -й степени из единицы, и ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$ ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$

для рационального числа, обозначающего наибольшее целое число, не большее . Также мы используем обозначение ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$

где — генератор для . Обратите внимание, что для ненулевых четных индексов группы когомологий тривиальны. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle l}$

Когомологии свободных групп

Использование резолюции

При заданном наборе ассоциированная свободная группа имеет явное разрешение ^[5] тривиального модуля , которое можно легко вычислить. Обратите внимание на карту аугментации ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

имеет ядро, заданное свободным подмодулем, сгенерированным множеством , поэтому ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$.

Поскольку этот объект свободен, это дает разрешение

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$

следовательно, групповые когомологии с коэффициентами в можно вычислить, применив функтор к комплексу , что дает ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

это потому что двойная карта

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

отправляет любой -модульный морфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

к индуцированному морфизму на путем составления включения. Единственные карты, которые отправляются в - это -кратные карты аугментации, дающие первую группу когомологий. Вторую можно найти, заметив единственные другие карты ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

может быть сгенерирован на основе карт, отправляющих для фиксированного , и отправляющих для любого . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$ ${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

Использование топологии

Групповые когомологии свободных групп, порожденные буквами, можно легко вычислить, сравнив групповые когомологии с их интерпретацией в топологии. Напомним, что для каждой группы существует топологическое пространство , называемое классифицирующим пространством группы, которое обладает свойством ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$

Кроме того, он обладает тем свойством, что его топологические когомологии изоморфны групповым когомологиям

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

давая способ вычислить некоторые группы групповых когомологий. Примечание может быть заменено любой локальной системой , которая определяется отображением ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

для некоторой абелевой группы . В случае для букв это представлено клиновой суммой окружностей [ ^6] , которую можно показать с помощью теоремы Ван-Кампена , давая когомологии группы ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Групповые когомологии целочисленной решетки

Для целочисленной решетки ранга (следовательно, изоморфной ), ее групповые когомологии можно вычислить относительно легко. Во-первых, поскольку , и имеет , которые как абелевы группы изоморфны , групповые когомологии имеют изоморфизм ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )}$

с интегральными когомологиями тора ранга . ${\displaystyle n}$

Характеристики

Далее пусть M будет G -модулем.

Длинная точная последовательность когомологий

На практике группы когомологий часто вычисляют, используя следующий факт: если

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

является короткой точной последовательностью G -модулей , то индуцируется длинная точная последовательность:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Так называемые связующие гомоморфизмы ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

можно описать в терминах неоднородных коцепей следующим образом. ^[8] Если представлено n -коциклом , то представлено как , где - "поднятие" n -коцепи (т.е. является композицией с сюръективным отображением M → N ). ${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$ ${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$ ${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$ ${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G^{n}\to M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Функториальность

Групповые когомологии контравариантно зависят от группы G в следующем смысле: если f  : H → G — гомоморфизм групп , то мы имеем естественно индуцированный морфизм H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (где в последнем случае M рассматривается как H -модуль посредством f ). Это отображение называется отображением ограничения . Если индекс H в G конечен, существует также отображение в противоположном направлении, называемое отображением переноса , ^[9]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

В степени 0 это задается картой

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Если задан морфизм G -модулей M → N , то получим морфизм групп когомологий в H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

Продукция

Подобно другим теориям когомологий в топологии и геометрии, таким как сингулярные когомологии или когомологии де Рама , групповые когомологии обладают структурой произведения: существует естественное отображение, называемое чашечным произведением :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

для любых двух G -модулей M и N . Это дает градуированную антикоммутативную кольцевую структуру на , где R - это кольцо, такое как или Для конечной группы G четная часть этого кольца когомологий в характеристике p несет много информации о структуре группы G , например, размерность Крулля этого кольца равна максимальному рангу абелевой подгруппы . ^[10] ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$ ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

Например, пусть G — группа из двух элементов в дискретной топологии. Действительное проективное пространство является классифицирующим пространством для G. Пусть поле из двух элементов. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

полиномиальная k -алгебра с одним генератором, поскольку это клеточное кольцо когомологий ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Формула Кюннета

Если M = k — поле, то H* ( G ; k ) — градуированная k -алгебра, а когомологии произведения групп связаны с когомологиями отдельных групп формулой Кюннета :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Например, если G — элементарная абелева 2-группа ранга r , то формула Кюннета показывает, что когомологии группы G — это полиномиальная k -алгебра, порожденная r классами из H ¹ ( G ; k ). ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

Гомология против когомологий

Что касается других теорий когомологий, таких как сингулярные когомологии , групповые когомологии и гомологии связаны друг с другом посредством короткой точной последовательности ^[11]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

где A наделено тривиальным G -действием, а член слева представляет собой первую группу Ext .

Ассоциированные продукты

Если задана группа A , которая является подгруппой двух групп G ₁ и G ₂ , то гомологии объединенного произведения (с целыми коэффициентами) лежат в длинной точной последовательности ${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

Гомологию можно вычислить с помощью этого уравнения: ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Эту точную последовательность можно также применить, чтобы показать, что гомологии и специальной линейной группы совпадают для бесконечного поля k . ^[12] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

Изменение группы

Спектральная последовательность Хохшильда –Серра связывает когомологии нормальной подгруппы N группы G и фактора G/N с когомологиями группы G (для (про)конечных групп G ). Из нее получается точная последовательность инфляции-ограничения .

Когомологии классифицирующего пространства

Групповые когомологии тесно связаны с топологическими теориями когомологий, такими как когомологии пучков , посредством изоморфизма ^[13]

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

Выражение слева является классифицирующим пространством для . Это пространство Эйленберга–Маклейна , т. е. пространство, фундаментальная группа которого равна и чьи высшие гомотопические группы исчезают). ^[d] Классифицирующими пространствами для и являются 1-сфера S ¹ , бесконечное вещественное проективное пространство и линзовые пространства , соответственно. В общем случае может быть построено как фактор , где — стягиваемое пространство, на котором действует свободно. Однако обычно не имеет легко поддающегося геометрическому описанию. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle EG/G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

В более общем смысле, к любому -модулю можно присоединить локальную систему коэффициентов на и указанный выше изоморфизм обобщается до изоморфизма ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

Дополнительные примеры

Полупрямые произведения групп

Существует способ вычисления полупрямого произведения групп с использованием топологии расслоений и свойств пространств Эйленберга-Маклана. Напомним, что для полупрямого произведения групп существует соответствующая короткая точная последовательность групп ${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Используя ассоциированные пространства Эйленберга-Маклена, получаем расслоение Серра

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

который можно пропустить через спектральную последовательность Серра . Это дает -страницу ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

что дает информацию о групповых когомологиях из групп групповых когомологий . Обратите внимание, что этот формализм может быть применен чисто групповым способом с использованием спектральной последовательности Линдона–Хохшильда–Серра . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,N}$

Когомологии конечных групп

Высшие группы когомологий являются торсионными

Группы когомологий H ⁿ ( G , M ) конечных групп G все являются кручением для всех n ≥1. Действительно, по теореме Машке категория представлений конечной группы полупроста над любым полем нулевой характеристики (или, более общо, любым полем, характеристика которого не делит порядок группы), следовательно, рассматривая когомологии группы как производный функтор в этой абелевой категории , получаем, что она равна нулю. Другой аргумент состоит в том, что над полем нулевой характеристики групповая алгебра конечной группы является прямой суммой матричных алгебр (возможно, над алгебрами с делением, которые являются расширениями исходного поля), в то время как матричная алгебра Морита эквивалентна своему базовому полю и, следовательно, имеет тривиальные когомологии.

Если порядок G обратим в G -модуле M (например, если M является -векторным пространством), то отображение переноса можно использовать, чтобы показать, что для A типичное применение этого факта следующее: длинная точная последовательность когомологий короткой точной последовательности (где все три группы имеют тривиальное G -действие) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$ ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

дает изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

Когомологии Тейта

Группы когомологий Тейта объединяют как гомологию, так и когомологию конечной группы G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

где индуцируется картой нормы: ${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

Когомологии Тейта обладают схожими характеристиками, такими как длинные точные последовательности, структуры произведений. Важное применение — теория полей классов , см. формирование классов .

Когомологии Тейта конечных циклических групп являются 2-периодическими в том смысле, что существуют изоморфизмы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Необходимым и достаточным критерием для d -периодических когомологий является то, что единственные абелевы подгруппы группы G являются циклическими. ^[15] Например, любое полупрямое произведение обладает этим свойством для взаимно простых целых чисел n и m . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

Приложения

Алгебраическая К-теория и гомологии линейных групп

Алгебраическая K-теория тесно связана с групповыми когомологиями: в +-конструкции K-теории Квиллена K -теория кольца R определяется как гомотопические группы пространства Здесь — бесконечная общая линейная группа . Пространство имеет те же гомологии, что и ie , групповые гомологии GL( R ). В некоторых случаях результаты по стабильности утверждают, что последовательность групп когомологий ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

становится стационарным для достаточно большого n , тем самым сводя вычисление когомологий бесконечной общей линейной группы к вычислению некоторых . Такие результаты были установлены, когда R является полем ^[16] или для колец целых чисел в числовом поле . ^[17] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

Явление, что групповая гомология ряда групп стабилизирует, называется гомологической устойчивостью . В дополнение к только что упомянутому случаю , это применимо к различным другим группам, таким как симметричные группы или группы классов отображения . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

Проективные представления и групповые расширения

В квантовой механике мы часто имеем системы с группой симметрии Мы ожидаем действия в гильбертовом пространстве посредством унитарных матриц Мы могли бы ожидать , но правила квантовой механики требуют только ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle U(g).}$ ${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

где - фаза. Это проективное представление также можно рассматривать как обычное представление группового расширения по , как описано точной последовательностью ${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Требование ассоциативности

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

приводит к

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

которое мы распознаем как утверждение, что то есть это коцикл, принимающий значения в Мы можем спросить, можем ли мы устранить фазы, переопределив ${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

что меняет

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Это мы распознаем как сдвиг на кограницу. Отдельные проективные представления, таким образом, классифицируются по Обратите внимание, что если мы позволим самим фазам подвергаться воздействию группы (например, обращение времени будет комплексно-сопряженной фазой), то первый член в каждой из операций кограницы будет иметь действие на него, как в общих определениях кограницы в предыдущих разделах. Например, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$ ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Расширения

Когомологии топологических групп

Для топологической группы G , т.е. группы, снабженной топологией, такой, что произведение и обратное являются непрерывными отображениями, естественно рассматривать непрерывные G -модули, т.е. требовать, чтобы действие

${\displaystyle G\times M\to M}$

является непрерывным отображением. Для таких модулей можно снова рассмотреть производный функтор . Особый случай, встречающийся в алгебре и теории чисел, — это когда G проконечен, например, абсолютная группа Галуа поля. Полученные когомологии называются когомологиями Галуа . ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

Неабелевы группы когомологий

Используя G -инварианты и 1-коцепи, можно построить нулевую и первую групповые когомологии для группы G с коэффициентами в неабелевой группе. В частности, G -группа — это (не обязательно абелева) группа A вместе с действием G .

Нулевая когомология группы G с коэффициентами в A определяется как подгруппа

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

элементов A , зафиксированных G.

Первая когомология G с коэффициентами в A определяется как 1-коциклы по модулю отношения эквивалентности, а не 1-кограницами. Условие того, чтобы отображение было 1-коциклом, заключается в том, что и если в A есть a такое, что . В общем случае, не является группой, когда A неабелева. Вместо этого она имеет структуру точечного множества — точно такая же ситуация возникает в 0-й гомотопической группе , которая для общего топологического пространства является не группой, а точечным множеством. Обратите внимание, что группа, в частности, является точечным множеством с единичным элементом в качестве выделенной точки. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$ ${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$ ${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$ ${\displaystyle H^{1}(G,A)}$ ${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

Используя явные вычисления, все еще можно получить усеченную длинную точную последовательность в когомологиях. В частности, пусть

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

- короткая точная последовательность G -групп, то существует точная последовательность выделенных множеств

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

История и связь с другими областями

Низкомерные когомологии группы были классически изучены в других обличьях, задолго до того, как понятие групповых когомологий было сформулировано в 1943–45 годах. Первая теорема по этому предмету может быть идентифицирована как теорема Гильберта 90 в 1897 году; она была переработана в уравнения Эмми Нётер в теории Галуа (появление коциклов для ). Идея фактор-множеств для проблемы расширения для групп (связанной с ) возникла в работе Отто Гёльдера (1893), в исследовании проективных представлений Иссая Шура 1904 года, в трактовке Отто Шрайера 1926 года и в исследовании Рихарда Брауэра 1928 года простых алгебр и группы Брауэра . Более полное обсуждение этой истории можно найти в (Weibel 1999, стр. 806–811). ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

В 1941 году, изучая (что играет особую роль в группах), Хайнц Хопф открыл то, что сейчас называется интегральной формулой гомологии Хопфа (Hopf 1942), которая идентична формуле Шура для множителя Шура конечной, конечно представленной группы: ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

где и F — свободная группа. ${\displaystyle G\cong F/R}$

Результат Хопфа привел к независимому открытию групповых когомологий несколькими группами в 1943-45 годах: Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном в Соединенных Штатах (Ротман 1995, стр. 358); Хопфом и Бено Экманном в Швейцарии; Гансом Фройденталем в Нидерландах (Вайбель 1999, стр. 807); и Дмитрием Фаддеевым в Советском Союзе (Арсланов 2011, стр. 29, Фаддеев 1947). Ситуация была хаотичной, поскольку сообщение между этими странами было затруднено во время Второй мировой войны.

С топологической точки зрения гомологии и когомологии G были впервые определены как гомологии и когомологии модели для топологического классифицирующего пространства BG, как обсуждалось выше. На практике это означало использование топологии для создания цепных комплексов, используемых в формальных алгебраических определениях. С модульно-теоретической точки зрения это было интегрировано в теорию Картана – Эйленберга гомологической алгебры в начале 1950-х годов.

Применение алгебраической теории чисел к теории полей классов дало теоремы, справедливые для общих расширений Галуа (не только для абелевых расширений ). Когомологическая часть теории полей классов была аксиоматизирована как теория классовых формаций . В свою очередь, это привело к понятию когомологий Галуа и этальных когомологий (которые основываются на ней) (Weibel 1999, стр. 822). Некоторые уточнения в теории после 1960 года были сделаны, такие как непрерывные коциклы и переопределение Джона Тейта , но основные контуры остаются прежними. Это большая область, и теперь она является базовой в теориях алгебраических групп .

Аналогичная теория для алгебр Ли , называемая когомологиями алгебры Ли , была впервые разработана в конце 1940-х годов Клодом Шевалле и Эйленбергом, а также Жаном-Луи Кошулем (Weibel 1999, стр. 810). Она формально похожа, используя соответствующее определение инварианта для действия алгебры Ли. Она широко применяется в теории представлений и тесно связана с BRST-квантованием теоретической физики .

Теория групповых когомологий также имеет прямое применение в физике конденсированного состояния. Так же, как теория групп является математической основой фаз спонтанного нарушения симметрии , теория групповых когомологий является математической основой класса квантовых состояний материи — запутанных состояний с симметрией на коротком расстоянии. Запутанные состояния с симметрией на коротком расстоянии также известны как топологические состояния с защитой симметрии . ^{[18] [19]}

Смотрите также

• Спектральная последовательность Линдона–Хохшильда–Серра
• N-группа (теория категорий)
• Постниковская башня

Примечания

1. Это использует то, что категория G -модулей имеет достаточно инъективных элементов , поскольку она изоморфна категории всех модулей над групповым кольцом. ${\displaystyle \mathbb {Z} [G].}$
2. Напомним, что тензорное произведение определяется всякий раз, когда N является правым -модулем, а M является левым -модулем. Если N является левым -модулем, мы превращаем его в правый -модуль, устанавливая ag = g ⁻¹ a для каждого g ∈ G и каждого a ∈ N . Это соглашение позволяет определить тензорное произведение в случае, когда и M , и N являются левыми -модулями. ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
3. Например, эти два числа изоморфны, если все простые числа p, такие что G имеет p -кручение, обратимы в k . См. (Knudson 2001), теорема A.1.19 для точного утверждения.
4. Для этого предполагается, что G дискретна. Для общих топологических групп, . ${\displaystyle \pi _{n}(BG)=\pi _{n-1}(G)}$

Ссылки

1. Страница 62 Milne 2008 или раздел VII.3 Serre 1979
2. Даммит, Дэвид Стивен; Фут, Ричард М. (14 июля 2003 г.). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 801. ISBN 0-471-43334-9. OCLC  52559229.
3. Браун, Кеннет С. (6 декабря 2012 г.). Когомологии групп . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 87. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр. 35. ISBN 978-1-4684-9327-6. OCLC  853269200.
4. Хуан, Хуа-Лин; Лю, Гунсян; Йе, Юй (2014). «Сплетенные моноидальные структуры в классе линейных Gr-категорий». Алгебры и теория представлений . 17 (4): 1249–1265. arXiv : 1206.5402 . doi :10.1007/s10468-013-9445-8. MR  3228486.См. Предложение 2.3.
5. Эвенс, Леонард. (1991). Когомологии групп. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853580-5. OCLC  23732584.
6. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 43. ISBN 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
7. Уэбб, Питер. "Введение в когомологии групп" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 мая 2020 г.
8. Замечание II.1.21 Милна 2008 г.
9. (Браун 1972), §III.9
10. Квиллен, Дэниел. Спектр эквивариантного кольца когомологий. I. II. Ann. Math. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).
11. (Браун 1972), Упражнение III.1.3
12. (Кнудсон 2001), Глава 4
13. Сташефф, Джеймс Д. (1978-07-01). «Непрерывные когомологии групп и классифицирующие пространства». Бюллетень Американского математического общества . 84 (4): 513–531. doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14488-7 . ISSN  0002-9904.
14. (Адем и Милгрэм 2004), Глава II.
15. (Браун 1972), §VI.9
16. Суслин, Андрей А. (1984), "Гомологии , характеристические классы и K-теория Милнора", Алгебраическая K-теория, теория чисел, геометрия и анализ , Lecture Notes in Mathematics , т. 1046, Springer, стр. 357–375 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$
17. В данном случае коэффициенты рациональны. Борель, Арманд (1974). «Стабильные вещественные когомологии арифметических групп». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 4. 7 (2): 235–272. дои : 10.24033/asens.1269 .
18. Wang, Juven C.; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (22 января 2015 г.). «Представление теории поля топологических инвариантов, защищенных симметрией калибровочной гравитации, групповых когомологий и не только». Physical Review Letters . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Bibcode :2015PhRvL.114c1601W. doi :10.1103/physrevlett.114.031601. ISSN  0031-9007. PMID  25658993. S2CID  2370407.
19. Вэнь, Сяо-Ган (4 мая 2015 г.). "Построение бозонных симметрийно-защищенных-тривиальных состояний и их топологических инвариантов с помощью нелинейных σ-моделей G×SO(∞)". Physical Review B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Bibcode :2015PhRvB..91t5101W. doi :10.1103/physrevb.91.205101. ISSN  1098-0121. S2CID  13950401.

Цитируемые работы

• Адем, Алехандро ; Милгрэм, Р. Джеймс (2004), Когомологии конечных групп , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 309 (2-е изд.), Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-662-06280-7, ISBN 978-3-540-20283-7, MR  2035696, Zbl  1061.20044
• Арсланов М.М. (2011), Математическая жизнь в Казани в годы войны, Матем. Плюсы, сер. 3, том. 15, MCCME, стр. 20–34, ISBN. 978-5-94057-741-6
• Браун, Кеннет С. (1972), Когомологии групп , Graduate Texts in Mathematics , т. 87, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1, МР  0672956
• Фаддеев Д. К. (1947), О фактор-системах в абелевых группах с операторами, Докл. Акад. Наук СССР , вып. 58, Ленинградское отделение Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, стр. 361–364, ISSN  0002-3264
• Хопф, Хайнц (1942), «Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe», Commentarii Mathematici Helvetici , 14 (1): 257–309, doi : 10.1007/BF02565622, JFM  68.0503.01, MR  0006510, S2CID  12281978 4, Збл  0027.09503
• Кнудсон, Кевин П. (2001), Гомологии линейных групп , Progress in Mathematics, т. 193, Birkhäuser Verlag, Zbl  0997.20045
• Милн, Джеймс (2013), «Глава II: Когомологии групп», Теория полей классов , т. v4.02
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Graduate Texts in Mathematics , т. 148 (4-е изд.), Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-4176-8, ISBN 978-0-387-94285-8, МР  1307623
• Серр, Жан-Пьер (1979). "Глава VII". Локальные поля . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 67. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90424-5. MR  0554237. Zbl  0423.12016.
• Вайбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры», История топологии , Cambridge University Press, стр. 797–836, CiteSeerX  10.1.1.39.9076 , doi :10.1016/B978-044482375-5/50029-8, ISBN 978-0-444-82375-5, г-н  1721123

Дальнейшее чтение

• Серр, Жан-Пьер (1994), Галуазские когомологии , Конспекты лекций по математике, том. 5 (Пятое изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0108758, ISBN 978-3-540-58002-7, г-н  1324577
• Шатц, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, МР  0347778
• Глава 6 Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.