Космическая группа

В математике , физике и химии пространственная группа — это группа симметрии повторяющегося узора в пространстве, обычно в трёх измерениях . ^[1] Элементы пространственной группы (ее операции симметрии ) — это жесткие преобразования образца, которые оставляют его неизменным. В трех измерениях пространственные группы подразделяются на 219 различных типов или 230 типов, если киральные копии считаются отдельными. Пространственные группы — это дискретные кокомпактные группы изометрий ориентированного евклидова пространства любого числа измерений. В размерностях, отличных от 3, их иногда называют группами Бибербаха .

В кристаллографии пространственные группы также называются кристаллографическими или группами Федорова и представляют собой описание симметрии кристалла . Полным источником информации о трехмерных пространственных группах являются Международные таблицы кристаллографии Хана (2002).

История

Пространственные группы в двух измерениях — это 17 групп обоев , которые известны уже несколько столетий, хотя доказательство полноты списка было дано только в 1891 году, после того как гораздо более сложная классификация пространственных групп была в основном завершена. ^[2]

В 1879 году немецкий математик Леонхард Зонке перечислил 65 пространственных групп (называемых группами Зонке), элементы которых сохраняют киральность . ^[3] Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик и кристаллограф Евграф Федоров , и немецкий математик Артур Мориц Шенфлис заметили, что две из них на самом деле одинаковы. Пространственные группы в трех измерениях впервые были пронумерованы в 1891 г. Федоровым ^[4] (в списке которого было два пропуска (I 4 3d и Fdd2) и одно дублирование (Fmm2)), а вскоре после этого, в 1891 г., были независимо пронумерованы Шенфлисом ^[5] (в списке которых было четыре пропуска (I 4 3d, Pc, Cc, ?) и одно дублирование (P 4 2 ₁ m)). Правильный список из 230 пространственных групп был найден к 1892 году во время переписки Федорова и Шенфлиса. ^[6] Уильям Барлоу (1894) позже перечислил группы другим методом, но опустил четыре группы (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 ₁ d и P 4 2 ₁ c), хотя у него уже был правильный список 230 групп из Федорова и Шенфлиса; Распространенное утверждение о том, что Барлоу не знал об их работе, неверно. ^{[ нужна цитация ]} Буркхардт (1967) подробно описывает историю открытия космических групп.

Элементы

Пространственные группы в трех измерениях состоят из комбинаций 32 кристаллографических точечных групп с 14 решетками Браве , каждая из которых принадлежит одной из 7 решеточных систем . Это означает, что действие любого элемента данной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы, за которым необязательно следует перевод. Таким образом, пространственная группа представляет собой некоторую комбинацию трансляционной симметрии элементарной ячейки (включая центрирование решетки ), операций симметрии точечной группы отражения , вращения и неправильного вращения (также называемых ротоинверсией), а также операций симметрии оси винта и плоскости скольжения . Комбинация всех этих операций симметрии дает в общей сложности 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные симметрии кристалла.

Таким образом , количество повторений асимметричной единицы в элементарной ячейке равно количеству точек решетки в ячейке, умноженному на порядок точечной группы. Это значение варьируется от 1 в случае пространственной группы P1 до 192 для такой пространственной группы, как Fm 3 m, структура NaCl .

Элементы, фиксирующие точку

Элементами пространственной группы, фиксирующими точку пространства, являются единичный элемент, отражения, вращения и несобственные вращения , включая точки инверсии .

Переводы

Трансляции образуют нормальную абелеву подгруппу ранга 3, называемую решеткой Браве (названной так в честь французского физика Огюста Браве ). Существует 14 возможных типов решетки Браве. Фактор пространственной группы по решетке Браве — это конечная группа, которая является одной из 32 возможных точечных групп .

Планирующие самолеты

Плоскость скольжения — это отражение в плоскости, за которым следует перемещение, параллельное этой плоскости. Это отмечается , , или , в зависимости от того, по какой оси происходит скольжение. Существует также скольжение, которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение , которое составляет четверть пути либо по грани, либо по пространственной диагонали элементарной ячейки. Последняя называется плоскостью скольжения алмаза, поскольку она является особенностью структуры алмаза . В 17 пространственных группах благодаря центрированию ячейки скольжение происходит одновременно в двух перпендикулярных направлениях, т.е. одна и та же плоскость скольжения может называться b или c , a или b , a или c . Например, группа Abm2 может также называться Acm2, группа Ccca может называться Cccb. В 1992 году было предложено использовать для таких самолетов обозначение е . Были изменены символы пяти пространственных групп: $а$ $б$ $с$ $п$ $d$

Винтовые оси

Винтовая ось представляет собой вращение вокруг оси с последующим перемещением вдоль направления оси. Они обозначаются числом n для описания степени вращения, где число показывает, сколько операций необходимо выполнить для завершения полного вращения (например, 3 будет означать каждый раз поворот на одну треть вокруг оси). . Затем степень перевода добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, насколько далеко по оси находится сдвиг, как часть вектора параллельной решетки. Итак, 2 ₁ — это двукратный поворот с последующим сдвигом 1/2 вектора решетки.

Общая формула

Общая формула действия элемента пространственной группы такова:

у = М. _ х + Д

где M — его матрица, D — его вектор, и где элемент преобразует точку x в точку y . В общем, D = D ( решетка ) + D ( M ), где D ( M ) — уникальная функция от M , равная нулю, если M является единицей. Матрицы M образуют точечную группу , которая является базисом пространственной группы; решетка должна быть симметричной относительно этой точечной группы, но сама кристаллическая структура может не быть симметричной относительно этой точечной группы применительно к любой конкретной точке (то есть без перемещения). Например, кубическая структура ромба не имеет точки, к которой применима группа кубических точек .

Размер решетки может быть меньше общего размера, что приводит к образованию «субпериодической» пространственной группы. Для (габаритный размер, размер решетки):

(1,1): Одномерные группы прямых
(2,1): Двумерные группы линий : группы фризов
(2,2): Группы обоев
(3,1): Трехмерные группы линий ; с трехмерными кристаллографическими точечными группами, стержневыми группами
(3,2): Группы слоев
(3,3): Пространственные группы, обсуждаемые в этой статье.

Хиральность

65 пространственных групп «Зонке», не содержащих никаких зеркал, точек инверсии, несобственных вращений или плоскостей скольжения, дают киральные кристаллы, не идентичные своему зеркальному изображению; тогда как пространственные группы, которые включают хотя бы одну из них, дают ахиральные кристаллы. Ахиральные молекулы иногда образуют хиральные кристаллы, но хиральные молекулы всегда образуют хиральные кристаллы в одной из пространственных групп, которые это допускают.

Среди 65 групп Зонке 22 входят в 11 энантиоморфных пар.

Комбинации

В пространственной группе возможны только определенные комбинации элементов симметрии. Переводы присутствуют всегда, а пространственная группа P1 имеет только переводы и единичный элемент. Наличие зеркал подразумевает и плоскости скольжения, а наличие осей вращения подразумевает и винтовые оси, но обратное неверно. Инверсия и зеркало подразумевают двойные винтовые оси и так далее.

Обозначения

Существует как минимум десять способов именования пространственных групп. Некоторые из этих методов могут присваивать одной и той же пространственной группе несколько разных имен, поэтому в целом существует много тысяч разных имен.

Число: Международный союз кристаллографии публикует таблицы всех типов пространственных групп и присваивает каждому уникальный номер от 1 до 230. Нумерация произвольна, за исключением того, что группам с одной и той же кристаллической системой или точечной группой присваиваются последовательные номера.

Обозначение международных символов

Обозначения Германа – Могена

Обозначение Германа – Могена (или международное) описывает решетку и некоторые генераторы группы. Он имеет сокращенную форму, называемую международным коротким символом , который наиболее часто используется в кристаллографии и обычно состоит из набора из четырех символов. Первый описывает центрирование решетки Браве ( P , A , C , I , R или F ). Следующие три описывают наиболее заметную операцию симметрии, видимую при проецировании вдоль одного из направлений высокой симметрии кристалла. Эти символы такие же, как и в группах точек , с добавлением плоскостей скольжения и оси винта, описанных выше. Например, пространственная группа кварца - P3 ₁ 21, что показывает, что он демонстрирует примитивное центрирование мотива (т.е. один раз на элементарную ячейку) с винтовой осью третьего порядка и осью вращения двойного порядка. Обратите внимание, что он явно не содержит кристаллическую систему , хотя она уникальна для каждой пространственной группы (в случае P 3 ₁ 21 она тригональна).

В международном коротком символе первый символ (3 ₁ в данном примере) обозначает симметрию вдоль большой оси (ось c в тригональных случаях), второй (в данном случае 2) — вдоль осей второстепенного значения (a и b) и третий символ симметрия в другом направлении. В тригональном случае также существует пространственная группа P3 ₁ 12. В этой пространственной группе оси второго порядка расположены не вдоль осей a и b, а в направлении, повернутом на 30°.

Международные символы и международные короткие символы для некоторых космических групп были немного изменены в период с 1935 по 2002 год, поэтому в нескольких космических группах используются четыре разных международных символа.

Направления обзора семи кристаллических систем показаны следующим образом.

Обозначение Холла ^[7]: Обозначение пространственной группы с явным происхождением. Символы вращения, перемещения и направления оси четко разделены, а центры инверсии четко определены. Конструкция и формат обозначений делают их особенно подходящими для компьютерной генерации информации о симметрии. Например, группа номер 3 имеет три символа Холла: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Обозначение Шёнфлиса: Пространственные группы с данной точечной группой нумеруются 1, 2, 3, ... (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в качестве верхнего индекса к символу Шенфлиса для точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C _2, имеют символы Шёнфлиса C.¹
₂, С²
₂, С³
₂.

Обозначение Федорова

Символ Шубникова

Обозначение структурберихта

Соответствующие обозначения кристаллических структур с буквой и индексом: A Элементы (одноатомные), B для соединений AB, C для соединений AB _{2 ,}D для соединений A _m B _{n , (}E , F , ..., K Более сложные соединения ), L Сплавы, O Органические соединения, S Силикаты. Некоторые обозначения структур имеют одни и те же пространственные группы. Например, пространственная группа 225 — это A ₁ , B ₁ и C ₁ . Пространственная группа 221 — это A _h и B ₂ . ^[8] Однако кристаллографы не будут использовать обозначение Strukturbericht для описания пространственной группы, скорее оно будет использоваться для описания конкретной кристаллической структуры (например, пространственная группа + расположение атомов (мотив)).

Обозначение орбифолда (2D)

Обозначение фиброфолда (3D)

Как следует из названия, обозначение орбифолда описывает орбифолд, заданный фактором евклидова пространства по пространственной группе, а не генераторами пространственной группы. Он был введен Конвеем и Терстоном и мало используется за пределами математики. С некоторыми пространственными группами связано несколько разных волокон, поэтому они имеют несколько разных символов волокон.

Обозначение Кокстера: Группы пространственной и точечной симметрии, представленные как модификации чисто отражательных групп Кокстера .
Геометрические обозначения ^[9]: Обозначение геометрической алгебры .

Системы классификации

Существует (по крайней мере) 10 различных способов классификации пространственных групп на классы. Отношения между некоторыми из них описаны в следующей таблице. Каждая система классификации является усовершенствованием предшествующих ей систем. Чтобы понять объяснение, данное здесь, возможно, потребуется понять следующее.

Конвей , Дельгадо Фридрихс и Хьюсон и др. (2001) дали другую классификацию пространственных групп, названную фибрифолдной нотацией , в соответствии с фибрифолдными структурами на соответствующем орбифолде . Они разделили 219 аффинных пространственных групп на приводимые и неприводимые группы. Приводимые группы распадаются на 17 классов, соответствующих 17 группам обоев , а остальные 35 неприводимых групп такие же, как кубические группы , и классифицируются отдельно.

В других измерениях

Теоремы Бибербаха

В n измерениях аффинная пространственная группа или группа Бибербаха представляет собой дискретную подгруппу изометрий n -мерного евклидова пространства с компактной фундаментальной областью. Бибербах (1911, 1912) доказал, что подгруппа переводов любой такой группы содержит n линейно независимых сдвигов, является свободной абелевой подгруппой конечного индекса, а также единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Он также показал, что в любом измерении n существует только конечное число возможностей для класса изоморфизма основной группы пространственной группы, и, более того, действие группы в евклидовом пространстве уникально с точностью до сопряжения аффинными преобразованиями. Это частично отвечает на восемнадцатую проблему Гильберта . Зассенхаус (1948) показал, что, наоборот, любая группа, которая является расширением ^{[, если она определена как? ]} группы Z ⁿ конечной группой, действующей точно, является аффинной пространственной группой. Объединение этих результатов показывает, что классификация пространственных групп в n измерениях с точностью до сопряжения аффинными преобразованиями по существу совпадает с классификацией классов изоморфизма для групп, которые являются расширениями Z ⁿ , с помощью конечной группы, действующей точно.

В теоремах Бибербаха важно предположить, что группа действует как изометрия; теоремы не распространяются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпример дан трехмерной группой Гейзенберга целых чисел, действующей посредством сдвигов в группе Гейзенберга действительных чисел, отождествляемой с трехмерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но не содержащая подгруппы Z ³ .

Классификация по малым размерам

В этой таблице указано количество типов пространственных групп в малых размерностях, включая количество различных классов пространственных групп. В скобках указано количество энантиоморфных пар.

^ Тривиальная группа
^ Одна — это группа целых чисел, а другая — бесконечная группа диэдра ; см. группы симметрии в одном измерении .
^ Эти двухмерные пространственные группы также называются группами обоев или группами плоскостей .
^ В 3D существует 230 типов кристаллографических пространственных групп, что сокращается до 219 типов аффинных пространственных групп, поскольку некоторые типы отличаются от своего зеркального отображения; Говорят, что они различаются энантиоморфным характером (например, P3 ₁ 12 и P3 ₂ 12). Обычно космическая группа относится к 3D. Их независимо перечисляли Барлоу (1894), Федоров (1891а) и Шенфлис (1891).
^ 4895 четырехмерных групп были перечислены Гарольдом Брауном, Рольфом Бюловом и Иоахимом Нойбюзером и др. (1978) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) исправили количество энантиоморфных групп со 112 до 111, так что общее количество групп составляет 4783 + 111 = 4894 . В четырехмерном пространстве существует 44 энантиоморфные точечные группы. Если рассматривать энантиоморфные группы как разные, то общее количество точечных групп составит 227 + 44 = 271 .
^ Плескен и Шульц (2000) перечислили энантиоморфы размерности 5. Сувинье (2003) подсчитали энантиоморфы.
^ Плескен и Шульц (2000) перечислили фигуры размерности 6, позже были найдены исправленные цифры. ^[11] Первоначально опубликованное число 826 типов решеток в Plesken & Hanrath (1984) было исправлено до 841 в Opgenorth, Plesken & Schulz (1998). См. также Янсен и др. (2002). Сувинье (2003) подсчитал энантиоморфы, но эта статья опиралась на старые ошибочные данные CARAT для измерения 6.

Магнитные группы и обращение времени

Помимо кристаллографических пространственных групп существуют еще магнитные пространственные группы (также называемые двухцветными (черно-белыми) кристаллографическими группами или группами Шубникова ). Эти симметрии содержат элемент, известный как обращение времени. Они рассматривают время как дополнительное измерение, а элементы группы могут включать в себя обращение времени как отражение. Они играют важную роль в магнитных структурах , содержащих упорядоченные неспаренные спины, т. е. в ферро- , ферри- или антиферромагнитных структурах, изучаемых методом дифракции нейтронов . Элемент обращения времени переворачивает магнитный спин, оставляя всю остальную структуру прежней, и его можно комбинировать с рядом других элементов симметрии. С учетом обращения времени в 3D существует 1651 магнитная пространственная группа (Ким 1999, стр. 428). Также удалось построить магнитные версии для других габаритов и размеров решетки (работы Даниила Литвина, (Литвин 2008), (Литвин 2005)). Группы фризов представляют собой магнитные группы 1D-линий, группы слоев — это группы магнитных обоев, а группы осевых 3D-точек представляют собой магнитные 2D-группы точек. Количество исходных и магнитных групп по размеру (общему, решетке): (Палистрант, 2012) (Сувинье, 2006).

Таблица пространственных групп в 2 измерениях (группы обоев)

Таблица групп обоев с использованием классификации двумерных пространственных групп:

Для каждого геометрического класса возможны следующие арифметические классы:

Нет: нет линий отражения.
Вдоль: линии отражения вдоль направлений решетки.
Между: линии отражения посередине между направлениями решетки.
Оба: линии отражения как вдоль направлений решетки, так и между ними.

Таблица пространственных групп в 3 измерениях

Примечание. Самолет e — это самолет с двойным скольжением, один из которых скользит в двух разных направлениях. Они встречаются в семи ромбических, пяти тетрагональных и пяти кубических пространственных группах, все с центрированной решеткой. Использование символа e стало официальным благодаря Хану (2002).

Систему решетки можно найти следующим образом. Если кристаллическая система не тригональна, то и решётка того же типа. Если кристаллическая система тригональная, то система решетки является шестиугольной, если только пространственная группа не является одной из семи в ромбоэдрической системе решетки , состоящей из 7 тригональных пространственных групп в таблице выше, название которых начинается с R. (Термин ромбоэдрическая система также иногда используется как альтернативное название всей тригональной системы.) Шестиугольная кристаллическая система больше, чем гексагональная кристаллическая система, и состоит из гексагональной кристаллической системы вместе с 18 группами тригональной кристаллической системы, кроме семи, названия которых начинаются с Р.

Решетка Браве пространственной группы определяется системой решетки вместе с начальной буквой ее названия, которая для неромбоэдрических групп - P, I, F, A или C, что означает главную, объемноцентрированную, гранецентрированную группу. , Решетки с центрированием грани А или С. Существует семь ромбоэдрических пространственных групп с начальной буквой R.

Вывод кристаллического класса из пространственной группы

Оставьте тип Браве
Преобразование всех элементов симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винтов преобразуются в простые оси вращения).
Оси вращения, оси ротоинверсии и плоскости зеркал остаются неизменными.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с космическими группами .

Международный союз кристаллографии
Группы точек и решетки Браве, заархивировано 16 июля 2012 г. в Wayback Machine.
[1] Кристаллографический сервер Бильбао
Информация о космической группе (старая)
Информация о космической группе (новая)
Структуры кристаллической решетки: указатель по пространственной группе
Полный список 230 кристаллографических пространственных групп
Интерактивная 3D-визуализация всех 230 кристаллографических пространственных групп. Архивировано 18 апреля 2021 г. на Wayback Machine.
Хьюсон, Дэниел Х. (1999), Обозначение волокон и классификация трехмерных пространственных групп (PDF)^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (два измерения)
Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (трехмерные)