В математике группа треугольников — это группа , которая может быть геометрически реализована последовательностями отражений относительно сторон треугольника . Треугольник может быть обычным евклидовым треугольником, треугольником на сфере или гиперболическим треугольником . Каждая группа треугольников — это группа симметрии мозаики евклидовой плоскости , сферы или гиперболической плоскости конгруэнтными треугольниками , называемыми треугольниками Мёбиуса , каждый из которых является фундаментальной областью для действия.
Пусть l , m , n — целые числа , большие или равные 2. Группа треугольника Δ( l , m , n ) — это группа движений евклидовой плоскости, двумерной сферы, действительной проективной плоскости или гиперболической плоскости, порожденных отражениями относительно сторон треугольника с углами π/ l , π/ m и π/ n (измеряемыми в радианах ). Произведение отражений относительно двух смежных сторон представляет собой поворот на угол, который в два раза больше угла между этими сторонами, 2π/ l , 2π/ m и 2π/ n . Следовательно, если порождающие отражения обозначены a , b , c , а углы между ними в циклическом порядке указаны выше, то выполняются следующие соотношения:
Это теорема, что все другие отношения между a, b, c являются следствиями этих отношений и что Δ( l,m,n ) является дискретной группой движений соответствующего пространства. Таким образом, группа треугольника является группой отражений , которая допускает групповое представление
Абстрактная группа с таким представлением является группой Кокстера с тремя образующими.
При любых натуральных числах l , m , n > 1 ровно одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π/l, π/m, π/n), и пространство замощено отражениями треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по теореме Гаусса –Бонне : она евклидова, если сумма углов равна точно π, сферическая, если она превышает π, и гиперболическая, если она строго меньше π. Более того, любые два треугольника с данными углами конгруэнтны. Каждая группа треугольников определяет замощение, которое традиционно раскрашивается в два цвета, так что любые две соседние плитки имеют противоположные цвета.
В терминах чисел l , m , n > 1 возможны следующие возможности.
Группа треугольников — это бесконечная группа симметрии определенного замощения (или мозаики) евклидовой плоскости треугольниками, углы которых в сумме составляют π (или 180°). С точностью до перестановок тройка ( l , m , n ) является одной из троек (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Соответствующие группы треугольников являются примерами групп обоев .
Группа треугольника — это конечная группа симметрии мозаики единичной сферы сферическими треугольниками, или треугольниками Мёбиуса , углы которых в сумме дают число, большее π. С точностью до перестановок тройка ( l , m , n ) имеет вид (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) или (2,2, n ), n > 1. Группы сферических треугольников можно отождествить с группами симметрии правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве: Δ(2,3,3) соответствует тетраэдру , Δ(2,3,4) — как кубу , так и октаэдру (имеющим одну и ту же группу симметрии), Δ(2,3,5) — как додекаэдру , так и икосаэдру . Группы Δ(2,2, n ), n > 1 диэдральной симметрии можно интерпретировать как группы симметрии семейства диэдров , которые являются вырожденными телами, образованными двумя одинаковыми правильными n -угольниками, соединенными вместе, или дуально осоэдрами , которые образованы соединением n двуугольников вместе в двух вершинах.
Сферическая мозаика, соответствующая правильному многограннику, получается путем формирования барицентрического подразделения многогранника и проецирования полученных точек и линий на описанную сферу. В случае тетраэдра имеется четыре грани, и каждая грань представляет собой равносторонний треугольник, который подразделяется на 6 меньших частей медианами, пересекающимися в центре. Полученная мозаика имеет 4 × 6=24 сферических треугольника (это сферический куб дисдьякиса ).
Эти группы конечны, что соответствует компактности сферы – площади дисков в сфере изначально растут по радиусу, но в конечном итоге покрывают всю сферу.
Ниже изображены треугольные мозаики:
Сферические мозаики, соответствующие октаэдру и икосаэдру, а также двугранные сферические мозаики с четным n являются центрально симметричными . Следовательно, каждая из них определяет мозаику действительной проективной плоскости, эллиптическую мозаику . Ее группа симметрии является фактором группы сферического треугольника по отражению через начало координат (- I ), которое является центральным элементом порядка 2. Поскольку проективная плоскость является моделью эллиптической геометрии , такие группы называются группами эллиптических треугольников. [1]
Группа треугольников — это бесконечная группа симметрии мозаики гиперболической плоскости гиперболическими треугольниками, углы которых в сумме дают число меньше π. Все тройки, не перечисленные ранее, представляют мозаики гиперболической плоскости. Например, тройка (2,3,7) дает группу треугольников (2,3,7) . Существует бесконечно много таких групп; мозаики, связанные с некоторыми малыми значениями:
Гиперболические треугольные группы являются примерами неевклидовых кристаллографических групп и были обобщены в теории гиперболических групп Громова .
Обозначим через D ( l , m , n ) подгруппу индекса 2 в Δ(l,m,n), порожденную словами четной длины в генераторах. Такие подгруппы иногда называют «обычными» группами треугольников [2] или группами фон Дейка , в честь Вальтера фон Дейка . Для сферических, евклидовых и гиперболических треугольников они соответствуют элементам группы, сохраняющим ориентацию треугольника – группе вращений. Для проективных (эллиптических) треугольников их нельзя интерпретировать таким образом, поскольку проективная плоскость неориентируема, поэтому нет понятия «сохраняющих ориентацию». Однако отражения локально обращают ориентацию (и каждое многообразие локально ориентируемо, поскольку локально евклидово): они фиксируют прямую и в каждой точке прямой являются отражением относительно прямой. [3]
Группа D ( l , m , n ) определяется следующим представлением:
В терминах генераторов выше это x = ab, y = ca, yx = cb . Геометрически три элемента x , y , xy соответствуют поворотам на 2π/ l , 2π/ m и 2π/ n вокруг трех вершин треугольника.
Обратите внимание, что D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ), поэтому D ( l , m , n ) не зависит от порядка l , m , n .
Гиперболическая группа фон Дейка — это фуксова группа , дискретная группа, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости.
Группы треугольников сохраняют мозаику треугольниками, а именно фундаментальную область для действия (треугольник, определяемый линиями отражения), называемую треугольником Мёбиуса , и задаются тройкой целых чисел ( l , m , n ), — целые числа соответствуют (2l , 2m , 2n ) треугольникам, сходящимся в вершине. Существуют также мозаики перекрывающимися треугольниками, которые соответствуют треугольникам Шварца с рациональными числами ( l / a , m / b , n / c ), где знаменатели взаимно просты с числителями. Это соответствует ребрам, встречающимся под углами aπ / l (соответственно), что соответствует повороту 2aπ / l ( соответственно), который имеет порядок l и, таким образом, идентичен как абстрактный элемент группы, но отличен при представлении отражением.
Например, треугольник Шварца (2 3 3) дает плотность 1 для замощения сферы, тогда как треугольник (2 3/2 3) дает плотность 3 для замощения сферы, но с той же абстрактной группой. Эти симметрии перекрывающихся замощений не считаются группами треугольников.
Группы треугольников датируются по крайней мере представлением группы икосаэдра как (вращательной) группы треугольников (2,3,5) Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье об исчислении икосаэдра . [4]
Группы треугольников возникают в арифметической геометрии . Модулярная группа порождается двумя элементами, S и T , при условии соотношений S ² = ( ST )³ = 1 (никакого соотношения на T ), является группой вращения треугольника (2,3,∞) и отображается на все группы треугольников (2,3, n ) добавлением соотношения T n = 1. В более общем смысле, группа Гекке H q порождается двумя элементами, S и T , при условии соотношений S 2 = ( ST ) q = 1 (никакого соотношения на T ), является группой вращения треугольника (2, q ,∞) и отображается на все группы треугольников (2, q , n ) добавлением соотношения T n = 1, модулярная группа является группой Гекке H 3 . В теории детских рисунков Гротендика функция Белого порождает разбиение римановой поверхности на области отражения треугольной группы.
Все 26 спорадических групп являются факторами треугольных групп, [6] из которых 12 являются группами Гурвица (факторами группы (2,3,7)).
В данной статье использованы материалы групп Triangle на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
