Специальная линейная группа

В математике специальная линейная группа SL( n , R ) степени n над коммутативным кольцом R — это множество матриц размера n × n с определителем 1, с групповыми операциями обычного умножения матриц и обращения матриц . Это нормальная подгруппа общей линейной группы, заданная ядром определителя

\det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.

где R ^× — мультипликативная группа R (то есть R , исключая 0, когда R — поле).

Эти элементы являются «специальными» в том смысле, что они образуют алгебраическое подмногообразие общей линейной группы — они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом по записям).

Когда R — конечное поле порядка q , иногда используется обозначение SL( n , q ) .

Геометрическая интерпретация

Специальную линейную группу SL( n , R ) можно охарактеризовать как группу сохраняющих объем и ориентацию линейных преобразований R ⁿ ; это соответствует интерпретации определителя как меры изменения объема и ориентации.

Подгруппа Ли

Когда F — это R или C , SL( n , F ) является подгруппой Ли в GL( n , F ) размерности n ² − 1 . Алгебра Ли SL( n , F ) состоит из всех матриц n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором . ${\mathfrak {sl}}(n,F)$

Топология

Любая обратимая матрица может быть однозначно представлена согласно полярному разложению как произведение унитарной матрицы и эрмитовой матрицы с положительными собственными значениями . Определитель унитарной матрицы находится на единичной окружности , в то время как определитель эрмитовой матрицы является действительным и положительным, и поскольку в случае матрицы из специальной линейной группы произведение этих двух определителей должно быть равно 1, то каждый из них должен быть равен 1. Следовательно, специальная линейная матрица может быть записана как произведение специальной унитарной матрицы (или специальной ортогональной матрицы в действительном случае) и положительно определенной эрмитовой матрицы (или симметричной матрицы в действительном случае), имеющей определитель 1.

Таким образом, топология группы SL( n , C ) является произведением топологии SU( n ) и топологии группы эрмитовых матриц единичного определителя с положительными собственными значениями. Эрмитова матрица единичного определителя, имеющая положительные собственные значения, может быть однозначно выражена как экспонента бесследовой эрмитовой матрицы, и, следовательно, ее топология является топологией ( n ² − 1) -мерного евклидова пространства . ^[1] Поскольку SU( n ) односвязна , ^[2] мы заключаем, что SL ( n , C ) также односвязна для всех n, больших или равных 2.

Топология SL( n , R ) является произведением топологии SO ( n ) и топологии группы симметричных матриц с положительными собственными значениями и единичным определителем. Поскольку последние матрицы могут быть однозначно выражены как экспонента симметричных бесследовых матриц, то эта последняя топология является топологией ( n + 2)( n − 1)/2 -мерного евклидова пространства. Таким образом, группа SL( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу , что и SO( n ), то есть Z для n = 2 и Z ₂ для n > 2 . ^[3] В частности, это означает, что SL( n , R ) , в отличие от SL( n , C ) , не является односвязной для n больше 1.

Отношения к другим подгруппам GL(н,А)

Две родственные подгруппы, которые в некоторых случаях совпадают с SL, а в других случаях случайно объединяются с SL, — это коммутаторная подгруппа GL и группа, порожденная трансвекциями . Они обе являются подгруппами SL (трансвекции имеют определитель 1, а det — отображение в абелеву группу, поэтому [GL, GL] ≤ SL), но в общем случае не совпадают с ней.

Группа, порожденная трансвекциями, обозначается E( n , A ) (для элементарных матриц ) или TV( n , A ) . По второму соотношению Стейнберга , при n ≥ 3 , трансвекции являются коммутаторами, поэтому при n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

При n = 2 трансвекции не обязательно должны быть коммутаторами ( матриц 2 × 2 ), как видно, например, когда A есть F ₂ , поле из двух элементов, тогда

\operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),

где Alt(3) и Sym(3) обозначают соответственно знакопеременную симметрическую группу из 3 букв.

Однако, если A — поле с более чем 2 элементами, то E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , а если A — поле с более чем 3 элементами, то E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

В некоторых случаях они совпадают: специальная линейная группа над полем или евклидовой областью порождается трансвекциями, а стабильная специальная линейная группа над дедекиндовой областью порождается трансвекциями. Для более общих колец стабильная разность измеряется специальной группой Уайтхеда SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , где SL( A ) и E( A ) — стабильные группы специальной линейной группы и элементарных матриц.

Генераторы и отношения

Если работать над кольцом, где SL генерируется трансвекциями (например, полем или евклидовой областью ), можно дать представление SL, используя трансвекции с некоторыми соотношениями. Трансвекции удовлетворяют соотношениям Стейнберга , но этого недостаточно: результирующая группа — это группа Стейнберга , которая не является специальной линейной группой, а скорее универсальным центральным расширением коммутантной подгруппы GL.

Достаточный набор соотношений для SL( n , Z ) для n ≥ 3 задается двумя соотношениями Стейнберга, плюс третье соотношение (Conder, Robertson & Williams 1992, стр. 19). Пусть T _ij := e _ij (1) будет элементарной матрицей с 1 на диагонали и в позиции ij и 0 в остальных местах (и i ≠ j ). Тогда

{\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}

представляют собой полный набор соотношений для SL( n , Z ), n ≥ 3.

СЛ±(н,Ф)

В характеристике , отличной от 2, множество матриц с определителем $\pm1$ образует другую подгруппу GL, с SL как подгруппой индекса 2 (обязательно нормальной); в характеристике 2 это то же самое, что и SL. Это образует короткую точную последовательность групп:

1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.

Эта последовательность расщепляется, если взять любую матрицу с определителем $-1$ , например, диагональную матрицу Если нечетно, то отрицательная единичная матрица находится в $SL$ $\pm$ $($ $n$ $,$ $F$ $),$ но не в $SL($ $n$ $,$ $F$ $),$ и, таким образом, группа расщепляется как внутреннее прямое произведение . Однако, если четно, то уже находится в $SL($ $n$ $,$ $F$ $)$ , $SL$ $\pm$ не расщепляется и в общем случае является нетривиальным расширением группы . $(-1,1,\dots ,1).$ $n=2k+1$ $-I$ $\operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}$ $n=2k$ $-I$

Над действительными числами $SL \pm (n, R)$ имеет две связные компоненты , соответствующие $SL(n, R)$ и еще одной компоненте, которые изоморфны с идентификацией, зависящей от выбора точки (матрица с определителем $-1$ ). В нечетном измерении они естественным образом идентифицируются , но в четном измерении нет ни одной естественной идентификации. $-I$

Структура GL(н,Ф)

Группа GL( n , F ) расщепляется по своему определителю (мы используем F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) как мономорфизм из F ^× в GL( n , F ) , см. полупрямое произведение ), и поэтому GL( n , F ) можно записать как полупрямое произведение SL( n , F ) на F ^× :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

Смотрите также

Ссылки

^ Холл 2015 Раздел 2.5
^ Холл 2015 Предложение 13.11
^ Зал 2015 Разделы 13.2 и 13.3

Кондер, Марстон ; Робертсон, Эдмунд; Уильямс, Питер (1992), «Презентации для 3-мерных специальных линейных групп над целочисленными кольцами», Труды Американского математического общества , 115 (1), Американское математическое общество: 19–26, doi :10.2307/2159559, JSTOR 2159559, MR 1079696
Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer