Групповая схема действия

В алгебраической геометрии действие групповой схемы есть обобщение действия группы на групповую схему . А именно, для групповой S -схемы G левое действие группы G на S -схему X является S -морфизмом.

${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

такой, что

• (ассоциативность) , где – групповой закон, ${\displaystyle \sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})}$ ${\displaystyle m:G\times _{S}G\to G}$
• (единичность) , где – единичное сечение G . ${\displaystyle \sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}}$ ${\displaystyle e:S\to G}$

Аналогично определяется правое действие группы G на X. Схема, снабженная левым или правым действием групповой схемы G , называется G -схемой . Эквивариантный морфизм между G -схемами — это морфизм схем , переплетающий соответствующие G -действия.

В более общем смысле можно также рассмотреть (по крайней мере, в каком-то частном случае) действие группового функтора : рассматривая G как функтор, действие задается как естественное преобразование, удовлетворяющее условиям, аналогичным приведенным выше. ^[1] Альтернативно, некоторые авторы изучают групповые действия на языке группоида ; действие групповой схемы тогда является примером группоидной схемы .

Конструкции

Обычные конструкции группового действия , такие как орбиты, обобщаются на действие групповой схемы. Пусть – данное действие групповой схемы, как указано выше. ${\displaystyle \sigma }$

• Для точки с Т-значением карта орбиты задается как . ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T}$ ${\displaystyle (\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})}$
• Орбита x — это изображение карты орбит . ${\displaystyle \sigma _{x}}$
• Стабилизатор x — это расслоение отображения​​ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle (x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.}$

Проблема построения частного

В отличие от теоретико-множественного группового действия, не существует простого способа построить фактор для действия групповой схемы. Единственным исключением является случай, когда действие является свободным, то есть случай главного расслоения .

Существует несколько подходов к преодолению этой трудности:

• Уровневая структура . Возможно, самый старый подход: классифицируемый объект заменяется объектом вместе с уровневой структурой.
• Геометрическая теория инвариантов : отбросьте плохие орбиты и возьмите частное. Недостаток заключается в том, что не существует канонического способа ввести понятие «плохих орбит»; понятие зависит от выбора линеаризации . См. также: категориальное частное , частное GIT .
• Борелевская конструкция — это подход, по существу, из алгебраической топологии; этот подход требует работы с бесконечномерным пространством .
• Аналитический подход, теория пространства Тейхмюллера
• Стек коэффициентов – в каком-то смысле это окончательный ответ на проблему. Грубо говоря, «частный предварительный стек» — это категория орбит, и ее можно сложить (т. е. ввести понятие торсора), чтобы получить факторный стек.

В зависимости от приложений другим подходом может быть перенос внимания с пространства на вещи в пространстве; например, топос . Таким образом, проблема переходит от классификации орбит к классификации эквивариантных объектов.

Смотрите также

• группоидная схема
• Теорема Сумихиро
• эквивариантный пучок
• Теорема Бореля о неподвижной точке

Рекомендации

1. Более подробно, учитывая действие групповой схемы , для каждого морфизма определяет групповое действие ; т. е. группа действует на множестве T -точек . И наоборот, если для каждого существует групповое действие и эти действия совместимы; т. е. образуют естественное преобразование , то по лемме Йонеды определяют действие групповой схемы . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle G(T)}$ ${\displaystyle X(T)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.