В геометрии призма — это многогранник , состоящий из n -стороннего многоугольника в основании , второго основания, представляющего собой транслированную копию (жестко перемещаемую без вращения) первой, и n других граней , обязательно все параллелограммы , соединяющие соответствующие стороны двух оснований . . Все сечения, параллельные основаниям, являются трансляциями оснований. Призмы называются по основаниям, например, призма с пятиугольным основанием называется пятиугольной призмой. Призмы — подкласс призматоидов . [2]
Как и многие основные геометрические термины, слово «призма» (от греческого πρίσμα (призма) «что-то распиленное») впервые было использовано в «Началах» Евклида . Евклид определил этот термин в книге XI как «твёрдую фигуру, состоящую из двух противоположных, равных и параллельных плоскостей, а остальные являются параллелограммами». Однако это определение подвергалось критике за недостаточную конкретность в отношении природы оснований (что вызывает некоторую путаницу среди поколений более поздних авторов геометрии). [3] [4]
Косая призма — это призма, у которой соединяемые ребра и грани не перпендикулярны основным граням.
Пример: параллелепипед — это наклонная призма, основанием которой является параллелограмм или, что то же самое, многогранник с шестью гранями параллелограмма.
Правильная призма — это призма, у которой соединяемые ребра и грани перпендикулярны основным граням. [5] Это применимо тогда и только тогда, когда все соединяемые грани прямоугольные .
Двойственной прямой n - призме является правая n - бипирамида .
Правая призма (с прямоугольными сторонами) с правильными n -угольными основаниями имеет символ Шлефли { }×{ n }. Он приближается к цилиндру , когда n приближается к бесконечности . [6]
Примечание: в некоторых текстах термин «прямоугольная призма» или «квадратная призма» может применяться как к прямой призме с прямоугольным основанием, так и к призме с прямым квадратным основанием.
Правильная призма – это призма с правильными основаниями.
Однородная призма или полуправильная призма — это прямая призма с правильными основаниями и всеми ребрами одинаковой длины.
Таким образом, все боковые грани однородной призмы являются квадратами .
Таким образом, все грани однородной призмы являются правильными многоугольниками. Кроме того, такие призмы изогональны ; таким образом, они являются однородными многогранниками . Они образуют одну из двух бесконечных серий полуправильных многогранников , другую серию образуют антипризмы .
Равномерная n -угольная призма имеет символ Шлефли t{2, n }.
Объем призмы — это произведение площади основания на высоту, т. е. расстояние между двумя гранями основания (в случае непрямой призмы обратите внимание, что это означает расстояние по перпендикуляру) .
Таким образом, объем составляет:
где B — площадь основания, а h — высота.
Следовательно, объем призмы, основанием которой является n -сторонний правильный многоугольник со стороной s , равен:
Площадь поверхности прямой призмы равна:
где B — площадь основания, h — высота, P — периметр основания .
Следовательно , площадь поверхности прямой призмы, основанием которой является правильный n -сторонний многоугольник с длиной стороны s и высотой h , равна:
Группа симметрии правосторонней n - сторонней призмы с правильным основанием равна D n h порядка 4 n , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии Oh порядка 48, которая имеет три версии D 4h как подгруппы . Группа вращения — это D n порядка 2 n , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии O порядка 24, которая имеет три версии D 4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии D n h содержит инверсию тогда и только тогда, когда n четно.
Осоэдры и диэдры также обладают двугранной симметрией, и n -угольная призма может быть построена путем геометрического усечения n - угольного осоэдра , а также путем сгибания или расширения n -угольного диэдра .
Усеченная призма образуется , когда призму разрезают плоскостью, не параллельной ее основаниям. У усеченной призмы основания не равны , а ее стороны не являются параллелограммами. [7]
Скрученная призма — это невыпуклый многогранник, построенный из однородной n -призмы, каждая боковая грань которой разделена пополам по диагонали квадрата, путем скручивания вершины, обычно на .π/н радианы ( 180/н градусов) в одном направлении, в результате чего стороны становятся вогнутыми. [8] [9]
Скрученную призму невозможно разрезать на тетраэдры без добавления новых вершин. Простейшая витая призма имеет треугольные основания и называется многогранником Шёнхардта .
n -угольная скрученная призма топологически идентична n -угольной однородной антипризме , но имеет половину группы симметрии : D n , [ n ,2] + , порядка 2 n . Его можно рассматривать как невыпуклую антипризму с удаленными тетраэдрами между парами треугольников.
Усеченная пирамида — это конструкция, похожая на призму, с трапециевидными боковыми гранями и верхними и нижними многоугольниками разного размера.
Звездная призма — это невыпуклый многогранник, построенный из двух одинаковых граней звездчатого многоугольника сверху и снизу, параллельных, смещенных на расстояние и соединенных прямоугольными гранями. Однородная звездная призма будет иметь символ Шлефли { p / q } × { }, с p прямоугольниками и 2 гранями { p / q } . Топологически она идентична p -угольной призме.
Скрещенная призма — невыпуклый многогранник, построенный из призмы, вершины одного основания которой перевернуты вокруг центра этого основания (или повернуты на 180°). Это преобразует боковые прямоугольные грани в скрещенные прямоугольники . Основание правильного многоугольника имеет вид n - угольных песочных часов . Все косые ребра проходят через один центр тела. Примечание: в центре тела нет вершин. Скрещенная призма топологически идентична n -угольной призме.
Тороидальная призма — это невыпуклый многогранник, подобный скрещенной призме , но без нижней и верхней граней основания, а также с простыми прямоугольными боковыми гранями, замыкающими многогранник. Это можно сделать только для односторонних базовых многоугольников. Это топологические торы с нулевой эйлеровой характеристикой . Топологическую многогранную сеть можно вырезать из двух рядов квадратной мозаики (с конфигурацией вершин 4.4.4.4 ): полосы из n квадратов, каждый из которых прикреплен к скрещенному прямоугольнику . n -угольная тороидальная призма имеет 2 n вершин, 2 n граней: n квадратов и n скрещенных прямоугольников, а также 4 n ребер. Оно топологически самодвойственно .
Призматический многогранник — это многомерное обобщение призмы. n -мерный призматический многогранник состоит из двух ( n - 1 )-мерных многогранников, переведенных в следующее измерение.
Призматические элементы n -многогранника удваиваются из элементов ( n - 1 )-многогранника, а затем создаются новые элементы из следующего нижнего элемента.
Возьмем n -многогранник с элементами Fi i i -грани ( i = 0, ..., n ). Его ( n + 1 )-многогранная призма будет иметь 2 F i + F i −1 i -гранных элемента. (При F −1 = 0 , F n = 1. )
По размеру:
Правильный n -многогранник, представленный символом Шлефли { p , q ,..., t }, может образовывать равномерный призматический ( n + 1 )-многогранник, представленный декартовым произведением двух символов Шлефли : { p , q ,... , т }×{ }.
По размеру:
Призматические многогранники более высокого порядка также существуют как декартово произведение любых двух или более многогранников. Размерность многогранника-произведения равна сумме размерностей его элементов. Первые их примеры существуют в 4-мерном пространстве; они называются дуопризмами как произведение двух многоугольников в 4-х измерениях.
Правильные дуопризмы представлены как { p } × { q }, с pq вершинами, 2 pq ребрами, pq квадратными гранями, p q -угольными гранями, q p -угольными гранями и ограничены p q -угольными призмами и q p -угольными гранями. призмы.
Например, {4}×{4}, дуопризма 4–4 , является формой более низкой симметрии тессеракта , как и {4,3}×{ }, кубическая призма . {4}×{4}×{ } (призма дуопризмы 4-4), {4,3}×{4} (дуопризма куба-4) и {4,3,3}×{ } (тессерактическая призма) расположены ниже формы симметрии 5-куба .